第6章双变量线性回归模型的延伸

1、第6章 双变量线性回归模型的延伸6.1 过原点回归过原点回归 在实践中，双变量PRF有时采取如下的形式： （6.1.1） 此模型的特点是没有截距项，因此被称为过原点回归（regression through the origin）。 适用于这种模型的例子：M弗里德曼的持久收入假说（permanent income hypothesis）；资本资产定价模型（ CAPM ），等等。 下面以资本资产定价模型为例来加以说明。CAPM：the Capital Asset Pricing Model. （6.1.2） 这就是所谓风险溢价或升水（risk-premium）的形式。 iiiuXY2)()(fm

2、ifirERrER其中： 第i种证券的期望回报率 市场组合证券的期望回报率，比如，它可用标准蒲尔S&P500股票指数来代表。 无风险回报，比如，90天国库券回报率 Beta系数，指不能通过分散化而消除的系统风险（systematic risk）的一种度量，也用来指第i种证券回报与市场互动程度的一种度量。 ，该证券是易波动性的（volatile）或进攻型（aggressive）证券； ，为防御型（defensive）证券。 第i种证券的期望风险溢价 期望市场风险溢价iERmERfri1i1ifirER fmrER 如果资本市场能够有效运行，则CAPM要求：（6.1.2）式成立。于是，可以

3、得到P165图6.1，这条直线就叫做证券市场线（security market line, 即SML）。 为了做实证研究，（6.1.2）也常常写成： （6.1.3）或： （6.1.4） （6.1.4）式就是所谓的市场模型（Market Model）。需要注意的是：这里的解释变量为波动性系数 ，而不是 。而 需要从特征线（characteristic line）中估计出来，见见P152习题习题5.5。CAPM成立，则预期 为零。这样的模型如何估计呢？这类模型的SRF可以写成： （6.1.5）ifmifiurRrR)(ifmiifiurRrR)(ii)(fmrR iiiiuXY2 OLS法： 对

4、求一阶条件： （2） （6.1.6） 下面求 的方差： 将PRF： 代入（6.1.6）式得： 222)(iiiXYu220)( )(2222iiiiXXYdud22iiiXYXiiiuXY222222)(iiiiiiiXuXXuXX22)(E0)()(iiiiXuEuXE （5） （6.1.7）将（5）式的右端展开，注意到 是非随机的， ，且无自相关。（2）式意味着： （7）总体方差 的估计式为： （6.1.8）把上述公式和下面的有截距项的模型的公式比较一下： （3.1.6）22222)(iiiXuXEE222)var(iXiX2)(iuE0iiXu2122nui22iiixyx （3.3.1

5、） 可见：第一，对有截距项的模型来说， ；对无截距项的模型， 不一定成立，只有 。第二，对有截距项的模型，判定系数 ；但是，对无截距模型来说，有时可能出现负值。这时，一般可以计算“粗 ”：而222)var(ix222nui0 iu0 iu0iiXu02r2r2222)(iiiiYXYXrraw22211iiyuTSSRSSr 对于有截距的模型： 对于无截距的模型： 于是有可能再现 ， RSS有可能大于TSS，所以， 。 但是，在截距项经过检验在统计上不显著时，用过原点回归模型将提高估计的准确性。222222iiiiyxyuRSS22222iiiXYuRSS222YNYyTSSii2222YNX

6、i可能是负的2r6.2 尺度与测量单位尺度与测量单位 在回归分析中，因变量Y和解释变量X的测量单位的不同会造成回归结果的差异吗？ 令： （6.2.1） 其中，Y代表GPDI（Goss Private Domestic Investment），X代表GNP，见P169 Table 6.2 定义： （6.2.2） （6.2.3） 其中， 和 为常数，称为尺度因子； 和 可相等或不等。 如果 和 是以10亿美元计量的，我们把它们改为用百万美元去度量，就会有： ， ， iiiuXY21iiYY1*iiXX2*1122iYiXiiYY1000*iiXX1000*100021 运用 和 的回归为： （6.

7、2.4） 其中， ， ，并且 。 用OLS法，得： （6.2.10） （6.2.11） （6.2.12） （6.2.13）*iY*iX*2*1*iiiuXYiiYY1*iiXX2*iiuu1*2*1XY2*2*iiixyx2*2*2*1)var(iixnX2*2*2)var(ix （ 6.2.14）把上述结果和第3章OLS估计量结果进行比较，可见：22*2*nui221*211*12212*)var()var(121*1)var()()var(2221*2 （6.2.20） 结论：（1）当 ，即尺度因子相等时， 斜率系数及其标准误不受尺度从（ ）到（ ）的影响。截距及其标准误却放大或缩小至 倍

8、。 （2）X尺度不变（ ），Y尺度因子 变化，那么，斜率和截距系数以及它们各自的标准误都要乘以同样的因子。 （3）Y尺度不变（ ）， 而X尺度因子 变化，那么，斜率系数及其标准误都要乘以因子 ，而截距系数及其标准误不变。2*2yxxyrr21iiXY ,*,iiXY11121112216.5 如何测度弹性：对数线性模型如何测度弹性：对数线性模型指数回归模型（exponential regression model） （6.5.1）可化为： （6.5.2） 表示自然对数（natural log）。 iuiieXY21iiiuXYlnlnln21ln 进一步可以写为： （6.5.3） 其中 。这个

9、模型对参数 和 为线性的，因而可以用OLS法来做回归分析。 这种模型被称为对数一对数（log-log），双对数（double-log）或对数一线性（log-linear）模型。 如果令 ， ，则（6.4.3）式可以写成： （6.5.4）这样以来，就可以直接使用OLS法做回归，所得的 ， 分别是 ， 的最佳线性无偏估计量。iiiuXYlnln21lniiYYln*iiXXln*iiiuXY*2*22 双对数模型的一个最大的优点是，斜率 就是Y对X的弹性： 如果Y代表商品需求量Q，X代表商品价格P，可见 就表示该商品的需求价格弹性。而弹性在经济学中具有广泛的运用： 对数线性模型有两个特点：Y对X的

10、弹性在整个研究范围内是常数，一直为 ，因此这种模型也称为不变弹性模型（constant elasticity model）。虽然 和 是无偏估计量，但是进入原始模型的参数 的估计值 却是有偏估计， （ 等于 的反对数）XdXYdYdXXdYYXdYd/11)(ln)(ln2222211log1anti16.6 半对数模型半对数模型线性到对数与对数到线性模型线性到对数与对数到线性模型一、怎样测量增长率：线性到对数模型（The Log-Lin Model） 习题3.22列示了1972-1991年间美国的国内生产总值（GDP）。如何根据这些数据，求实际GDP的增长率？令Yt时间t的实际GDP（RGD

11、P） Y0实际GDP的初始值（为1972年的值）则有： （6.6.1） 其中r是Y的复合增长率（在时间轴上的增长率，类似于连续复利）。ttrYY)1 (0 对上式取自然对数，得： （6.6.2）再令： （6.6.3） （6.6.4） （6.6.2）式变为： （6.6.5） 对应的计量模型为： （6.6.6）注意：这里的回归元是时间，取值为1，2，3， 形为（6.6.6）这样的模型叫做半对数模型（semilog models）。只有回归子Y取对数的模型叫做线性到对数模型（log-lin model）。)1ln(lnln0rtYYt01lnY)1ln(2rtYt21lnttutY21ln （6.6

12、.7） 由于解释变量X代表时间，所以这种模型描述了因变量Y的恒定相对增长率（如果 ）；或恒定相对衰减率（ ）。因此，（6.6.5）式也叫恒定增长模型。 P180例子瞬时增长率与复合增长率： 瞬时增长率：在某一时点的增长率,（6.6.5）式中的 代表的就是瞬时增长率（instantaneous rate of growth）。 复合增长率：compond rate of growth，指在某一时段的增长率。 回归元的绝对改变量回归子的相对改变量dXYdYdXYd/ln202022 线性趋势模型：Y直接对时间t回归： （6.6.9） 这里的时间变量t被称为趋势变量（trend variable）。

13、所谓“趋势”是指某种变量中有一种持续上升或下降的运动。 注：（6.6.8）和（6.6.10）两模型的回归子不同，因而不能比较它们的r 2值。 见P180-181ttutY21二、对数到线性模型 如果我们的目的是测量X的一个百分比变化时，Y的绝对变化量，则要用对数到线性模型（lin-log model）： （6.6.11）tituXYln21的相对变化的绝对变化XYXdXdYXddY/ln26.7 倒数模型（倒数模型（Reciprocal Model） （6.7.1） 就是一个倒数模型。它是一个线性模型吗？ 该模型的特点： 时， ， 。因此，（6.7.1）式有一条内在的渐近线。 P184 Fig

14、ure 6.6（a）图适合于模拟平均固定成本（AFC）曲线。（b）图适合于模拟菲利普斯曲线（Phillips curve）。iiiuXY)1(21X0)1(2X1Y 图6.7的Phillips curve表明，在工资变化对失业水平的反应中存在一种不对称性：当失业率低于经济学家所称的自然失业率U N时，由失业的单位变化引起的工资上升，要快于当失业率高于自然水平时，由失业的同样变化引起 的 工 资 下 降 。 则 表 示 工 资 变 化 的 渐 近 底 限（asymptotic floor）。 （c）图适于模拟恩格尔支出曲线（the Engel expenditure curve）。即表示消费者的总支出与总收入之间的关系的曲线。（c）图的特征是： 收入上存在一个临界水平（critical level）或门槛水平（threshold level），如图中的 处，当收入低于此水平，消费者就不会购买这种商品。 112 消费上存在一个饱和水平（satiety level）：消费达到这一水平时，无论收入有多高，消费者都不会多购买一点。在图中，这一水平就是 。 1对数双曲线或