4-1积分学“人文概述”

1、模块基本信息级模块名称三级模块名称先行知识积分学 “积分学”人 文概述极限导数二级模块名称模块编号人文模块4-1知识内容模块编号 模块编号 教学要求1- 52- 2掌握程度1、“积分学”模块中学什么内容2、为什么学这些内容3、怎么学这些内容能力目标时间分配修订1、了解在“积分学”模块 中学什么内容2、了解为什么学这些内容3、了解怎么学这些内容逐步培养学生整合章节的能力_校对 二审35分钟编撰张云霞周东琼王清玲了解审核危子青危了青前面我们学习了一元函数微分学，这节课开始我们学习一元函数积分 学，其中包括不定积分和定积分两部分内容在学习本节内容之前，我 们先来看一个大家比较感兴趣的例子.一、引例：

2、城市交通流下黄灯闪烁时间应该怎样设置？在北京、上海、广州等大城市乘坐公交车，我们常会遇到等交通灯 的烦恼问题。交通路口的指挥灯信号有红、黃、绿三种颜色，在绿灯 转换成红灯之前有一个过渡状态，这个过渡状态是由黄灯来完成的。 通常是亮一段吋间黄灯后才变成红灯信号。交通指挥信号设置合理， 即可保证交通安全又能避免某一方向的车流等待太久，减少司机、乘 客的烦恼，如果交通指挥灯闪烁实践设置不合理，虽也可在一定程度 上保证交通安全，但往往会造成人们等待某一方向的“车龙”太长， 白白浪费了司机、乘客的宝贵吋间，无谓的增添了司机、乘客的烦恼。那么，怎样设置交通指挥灯各种颜色信号灯闪烁吋间长短，特别是 黄灯闪烁

3、的时间才合理呢？学习完本章的内容，利用定积分的思想就可以解决这个问题下面我们先来了解下积分学的起源与发展。二、积分学的萌芽与发展1. 酝酿时期15、16世纪在欧洲文艺复兴的高潮小，数学的发展与科学的革命紧 密结合在一起，捉出了以下亟待解决的问题：（1）确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近h点与远h点等涉及 的函数极大值、极小值问题。（2）行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的而积及物体重心与引力 的计算等。为解决科学发展所带来的一系列问题，17世纪上半叶被人们遗忘千年 的微积分重又成为重点研究对彖。许多著名的数学家、天文学家、物 理学家都为解决上述儿类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、 笛

4、卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意 大利的卡瓦列利等人捉出了许多很冇建树的理论，为微积分的创立做 出了贡献。其小代表性的成果有以下几个方面:开普勒与旋转体体积； 卡瓦列里不叮分量原理；沃利斯“无穷算术”；笛卡尔“圆法”；费马 求极大值与极小值的方法；巴罗微分三角。2. 建立阶段十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和徳国 数学家莱布尼茨分别在口己的国度里独口研究和完成了微积分的创立 工作，一个是切线问题（微分学的小心问题），一个是求积问题（积分学 的中心问题）。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是宜观的无穷小 量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在

5、数学中分析学 这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱 布尼茨却是侧重于几何学來考虑的。牛顿的“流数术”英国数学家牛顿（1642-1727）于1665年11月发明“正流数术”（微 分法），1666年5月建立“反流数术“（积分法）o 1666年10月，牛顿 将前两年的工作总结为流数简论，明确了现代微积分的基木方法, 是历史上第一篇系统的微积分文献。牛顿将自古希腊以来的求解无限 小问题的各种技巧统一为两类普通的算法：正、反流数术（流数就是微 商），并证明了二者的互逆关系，将这两类运算进一步统一成整体。这是 他超越前人的功绩，也正是在这样的背景下，我们说牛顿发明了微积 分。牛顿在

6、1687-1693年里相继发表了运用无限多项方程的分析（分 析学）、流数术与无穷级数（流数法）、曲线求积术（求 积术）。在这些文献屮他改变了自己对无限小量的依赖，提出了极限 方法的先导“首末比方法”，第一次引进流数记号，比如一次流数x, y, z, 二次流数 x. . , y. . , z.,等。莱布尼茨的贡献徳国数学家莱布尼茨（1646-1716）是从巴罗的“微分三角形”切入微 积分研究工作的，他在研究“微分三角形”时认识到：“求曲线的切线 依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值在变成无限小时z比；求曲线的 面积则依赖于无限小区间上的纵坐标之和”。早在1666年，莱布尼茨在 组合艺术一书屮讨论过数

7、列问题并求得许多重要结论。1672年开 始，莱布尼茨将他对数列研究的结果与微积分运算结合起来，在1675 年10丿29 fi的一份手稿中，他决定用sum拉长的s,即j表示积分。 1676年11月，莱彳j尼茨i经能够给出幕函数的微分与积分公式: dxe = exedx与2心二丄（其中不一定是正整数）。1677年，莱布尼j + 1茨在一篇手稿小明确陈述了微积分基本定理 fxdx =f（b） _f（a）。“3、积分学的完善牛顿与莱布尼茨的理论述不完善，因为他们在无穷和无穷小量这 个问题上，说法不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有 时候不是零而是有限的小量，而莱布尼茨的也不能口圆其说。积分学

8、 是在历经了众多数学大家的努力才有了今天的体系，主要代表人物有: 瑞士数学家欧拉（在1748年出版的无限小分析引论以及随后发表 的积分学中同时引进了一批标准的符号，如:f（x）函数符号，i虚数 号等，对分析表达的规范化起了重要作用。法国数学家柯西在分析教 程和无限小计算教程概论中，以严格化为目标，证明连续函数的 积分（作为和式的极限）的存在性、证明级数sn收敛的判别准则、中值 定理等，柯西的工作向分析的全面严格化迈出了关键的一步。但又由于实数系的不明确，积分学还不够完善，逻辑上仍存在着一 些问题，这导致了 19世纪后半叶数学史上著名的分析算术化运动。 德国数学家维尔斯特拉斯（1815-1897

9、）认为实数系是解决极限与连续 等概念的关键，从而成为全部分析的本源。要使分析严格化，必须使实 数系严格化，最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数（有理 数），这样分析的所有概念便可由整数导岀，使以往的漏洞和缺陷都能 得以填补。这就是“分析算术化”纲领。维尔斯特拉斯和他的学生们 为实现这一纲领付出了艰苦的努力并获得了很大的成功。现代的£-5 语言就是由他创造的，也为他博得了 “现代分析z父”的称号。积分学 至此也基本发展完善。三、积分学的主要内容了解了积分学的起源z后，我们会问：到底什么是积分学，它的理 论是什么？因此，接下来我们来理解积分学的主要内容：不定积分和 定积分.1、不

10、定积分：如果在区间i ±,可导函数f（e的导函数为/（x）,即对任一归, 都有fz（x） = /（x）或f（兀）=fx）dx ,那么函数f（x）就称为/（%）（或 fx）dx）在区间/上的原函数例如：因为（sin兀）'=cos x ,所以$加兀是cos兀的原函数。在区间/上,函数/（兀）的带有任意常数项的原函数称为/（x）（或 f（x）dx）在区间/上的不定积分，记作/ f（x）dx。例如：因为sin x是cos x的原函数，所以j*cosxdx = sinx+c 即不定积分运算与导数（微分）运算互为逆运算.2、定积分:定积分这个概念来源于对实际问题的研究，是人们在研究实际问题的 过程中抽象出來的.它与不定积分是两个不同的概念，但是他们的计算 z间却有着密切的联系，通过牛顿莱布尼茨公式可以将定积分的计算 转化为不定积分的运算，总之，积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，分为定 积分与不定积分。作为一种数学思想积分就是“无限求和”。在后续 内容中我们