统计学原理之时间数列分析

1、第六章第六章 时间数列分析 第一节第一节 动态数列的编制动态数列的编制 一、动态数列的概念一、动态数列的概念动动态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或态数列又称时间数列。它是将某种统计指标，或在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列在不同时间上的不同数值，按时间先后顺序排列起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并起来，以便于研究其发展变化的水平和速度，并以此来预测未来的一种统计方法。以此来预测未来的一种统计方法。上海市国内生产总值年份1999200020012002200320042005亿元4034.964551.154950.845408.766250.817450.279143.

2、95例例动动态数列由两个基本要素构成：态数列由两个基本要素构成： 时间标度，即观察值所属的时间；时间标度，即观察值所属的时间； 现象的具体数量表现，即观察值。现象的具体数量表现，即观察值。 时间数列（时间数列（Time series）:在连续时在连续时点或连续时期上测量的观测值的集合。点或连续时期上测量的观测值的集合。年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）年份年份国内生产总值国内生产总值（亿元）（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.2119

3、62.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7时间数列的要时间数列的要素之一：时间素之一：时间t时间数列的要时间数列的要素之二：变量素之二：变量a全国城乡居民储蓄存款年末199920002001200220032004余额2597.122524.053001.894915.546054.606960.99例例单位：亿元上海职工2001 - 2005年年平均工资年份2001200220032004200

4、5年平均工资1776419473221602439826823例例单位：元时间数列的作用时间数列的作用 时间数列是按时序排列的指标数值时间数列是按时序排列的指标数值 从动态上描述现象发展的状态、趋势和速度；从动态上描述现象发展的状态、趋势和速度；通过对时间数列的分析可以探索某些事物发展通过对时间数列的分析可以探索某些事物发展的规律；的规律；可通过时间数列对某些现象进行预测；可通过时间数列对某些现象进行预测；可结合几个时间数列进行现象之间相互关系的可结合几个时间数列进行现象之间相互关系的对比分析。对比分析。ta经济周期经济周期:循环性变动循环性变动繁荣繁荣拐点拐点繁荣繁荣拐点拐点衰退衰退拐点拐点

5、萧条萧条拐点拐点复苏复苏拐点拐点时间数时间数列分类列分类按指标按指标形式分形式分按变量按变量性质分性质分按变化按变化形态分形态分总量指标数列总量指标数列相对指标数列相对指标数列平均指标数列平均指标数列确定性数列确定性数列随机性数列随机性数列平稳性数列平稳性数列趋势性数列趋势性数列季节性数列季节性数列时间序列的种类：时时期期数数数数列列时时点点数数数数列列相相对对数数数数列列平平均均数数数数列列年 份20012002200320042005社会商品零社会商品零售总额售总额（亿元）（亿元） 939810894 12237 16053 20598 年末居民存年末居民存款余额款余额（亿元）（亿元）91

6、1011545147642151929662国有经济单位职工工资总额所占比重()78.4577.5577.7845.0674.81职工平均货职工平均货币工资币工资（元）（元）23652677323645105500 时间数列的特点：时间数列的特点：派生性有绝对数列派生而得不可加性可加性、关联性、连续登记不可加性不同时期资料不可加无关联性与时间的长短无关联间断登记资料的收集登记平均相对时期时点特 点序列平稳性数列平稳性数列趋势性数列趋势性数列三、动态数列的编制原则三、动态数列的编制原则 基本原则是遵守其可比性。基本原则是遵守其可比性。 具体说有以下几点：具体说有以下几点： 注注意时间的长短应统一

7、；意时间的长短应统一；总总体范围应该一致；体范围应该一致；指指标的经济内容应该相同；标的经济内容应该相同；指指标的计算方法和计量单位应该一致。标的计算方法和计量单位应该一致。时间属性可比：时间属性可比：总体范围可比：总体范围可比：指标口径可比：指标口径可比：计量单位可比：计量单位可比：等期、等间隔等期、等间隔等空间、等地域等空间、等地域名、实相同名、实相同质、级相同质、级相同指标指标1952-1952-195719571958-1958-196219621963-1963-196519651966-1966-197619761977-1977-19861986社会总产值社会总产值 （亿元）（亿

8、元）工业总产值工业总产值（亿元）（亿元）工业总产值工业总产值比重（比重（% %）8283.48283.43404.53404.541.141.111448.211448.26903.36903.360.360.3669866983878.13878.157.957.947210.747210.729553.929553.962.662.6103902.5103902.583849.383849.380.780.76年年5年年3年年11年年10年年 二二 动态数列的水平分析指标动态数列的水平分析指标 属属于现象发展的水平分析指标有：于现象发展的水平分析指标有：发展水平发展水平平均发展水平平均发展

9、水平增长量增长量平均增长量。平均增长量。 一、发展水平一、发展水平 在在动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发动态数列中，每个绝对数指标数值叫做发展水平或动态数列水平。展水平或动态数列水平。如如果用果用a a0 0，a a1 1，a a2 2，a a3 3，aan n，代表数列中，代表数列中各个发展水平，则其中各个发展水平，则其中a a0 0即最初水平，即最初水平，a an n即即最末水平最末水平。nnaaaa,121nnaaaa,110最初水平最初水平中间水平中间水平最末水平最末水平n 项数据，项数据，n-1 个增长量、发展速度个增长量、发展速度n+1 项数据，项数据，n个增长量、发展速度个增

10、长量、发展速度发展水平发展水平二、平均发展水平二、平均发展水平 平平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均发展水平是对不同时期的发展水平求平均数，统计上又叫序时平均数均数，统计上又叫序时平均数。平均发展水平平均发展水平序序时时平平均均方方法法总量指标总量指标时期时期数列数列简单算术平均简单算术平均时点时点数列数列连续连续时点时点间隔相等间隔相等 简单算术平均简单算术平均间隔不等间隔不等 加权算术平均加权算术平均间断间断时点时点间隔相等间隔相等 两次简单平均两次简单平均间隔不等间隔不等 先简单后加权先简单后加权相对指标、相对指标、平均指标平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再视情况选用：先平

11、均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等相除、加权算术平均、加权调和平均等年份年份能源生产总量（万吨标准煤）能源生产总量（万吨标准煤）199419951996199719981187291290341326161324101240001994-1998年中国能源生产总量年中国能源生产总量118729 129034 132616 132410 124000127357.85aan日期日期6月月1日日 6月月2日日6月月3日日6月月4日日 6月月5日日人数人数162人人167人人175人人182人人178人人某企业连续某企业连续 5 天的出勤人数天的出勤人数162 167 175 18

12、2 178172.8()5aan元序时平均数与一般平均数的异同点：序时平均数与一般平均数的异同点： 二者都是将现象的个别数量差异抽象化，二者都是将现象的个别数量差异抽象化，概括地反映现象的一般水平。概括地反映现象的一般水平。-计算方法不同；计算方法不同； -差异抽象化不同；差异抽象化不同；-序时平均数还可解决某些可比性问题。序时平均数还可解决某些可比性问题。不不同点同点 相相同点同点 序时平均数的计算方法：序时平均数的计算方法： 绝绝对数动态数列的序时平均数对数动态数列的序时平均数 123123n , nnaaaaaannaa a aa LL式式中中：序序时时平平均均数数各各时时期期发发展展水

13、水平平时时期期项项数数1. 1. 时时期数列的序时平均数期数列的序时平均数月份一二三四五六产量(万件)242028283029)26.5( 6293028282024万件则上半年平均月产例例2. 2. 时时点数列的序时平均数点数列的序时平均数(1) (1) 如果资料是连续时点资料，可分为二种情况：如果资料是连续时点资料，可分为二种情况： 2). 2). 对对非连续变动的连续时点数列非连续变动的连续时点数列( (即分组资料即分组资料) )afaf 1). 1). 对对连续变动的连续时点数列连续变动的连续时点数列( (即未分组资料即未分组资料) )aan 某厂7月份的职工人数自7月1日至7月10日

14、为258人，7月11日起至7月底均为279人，则该厂7月份平均职工人数为：)(272312792125810人a例例 如果资料是间断时点资料，也可分为如果资料是间断时点资料，也可分为 二种情况二种情况：1) 1) 对对间隔相等的间断时点资料间隔相等的间断时点资料某成品库存量如下：现假定：每天变化是均匀的；本月初与上月末的库存量相等。则各月平均库存量为：)(2960)274029903150(31)(27402280026806)(29902268033005)(31502330030004件第二季度平均库存量件月份件月份件月份aaa3月31日4月30日5月31日6月30日库存量(件)30003

15、30026802800例例)(29603274029903150 3228002680226803300233003000件第二季度平均库存量：上面计算可合并简化为 122 1222132132211首末折半法这种计算方法称为般公式：上面计算过程概括为一naaaaanaaaaaaannnn2) 2) 对对间隔不等的间断时点资料间隔不等的间断时点资料2311212111222nnnniiaaaaaafffaf L某城市2003年各时点的人口数日期1月1日5月1日8月1日12月31日人口数(万人)256.2257.1258.3259.4)(83.257123094534524 .2593 .258

16、323 .2581 .257421 .2572 .256万人年平均人口数为：该市则，2003 例例三动态数列的速度分析指标三动态数列的速度分析指标 动动态数列的速度指标有态数列的速度指标有：发展速度发展速度增长速度增长速度平均发展速度平均发展速度平均增长速度平均增长速度 一、发展速度一、发展速度 反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。反映社会经济现象发展程度的动态相对指标。报报 告告 期期 水水 平平发发 展展 速速 度度基基 期期 水水 平平定定 基基 发发 展展 速速 度度 ：可可 分分 为为 ：环环 比比 发发 展展 速速 度度 ：01100%iiiaaaa 110iininaaaa

17、推推 理理 ：1i001 iiiaaaaaa 二、增长速度二、增长速度 反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。反映社会经济现象增长程度的动态相对指标。增增长长速速度度发发展展速速度度 - - 定定基基增增长长速速度度无无关关系系环环比比增增长长速速度度增增长长量量前前一一时时期期水水平平增增长长的的绝绝对对值值增增长长百百分分比比基基期期水水平平或或 1 (100%) 1%100 100 注意：注意： 发展速度与增长速度性质不同。前者是动态发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；相对数，后者是强度相对数； 定基增长速度与环比增长速度之间没有直接定基增长速度与环比增长速

18、度之间没有直接的换算关系。的换算关系。某省2000-2005年某工业产品产量年份200020012002200320042005发展水平: 产量1104.31351.11707.02215.52872.43301.0增长量累计 - 246.8 602.71111.21768.12196.7逐期 - 246.8 355.9 508.5 656.9 428.6发展速度(%)定基 100 122.3 154.6 200.6 260.1 298.9环比 - 122.3 126.3 129.8 129.7 114.9增长速度(%)定基 - 22.3 54.6 100.6 160.1 198.9环比 -

19、22.3 26.3 29.8 29.7 14.9增长1%绝对值 - 11.0 13.5 17.1 22.2 28.7例例单位：万台三、平均发展速度和平均增长速度三、平均发展速度和平均增长速度 平平均发展速度是各个环比发展速度的动态平均均发展速度是各个环比发展速度的动态平均数数( (序时平均数序时平均数) )，说明某种现象在一个较长时，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均发展变化的程度期中逐年平均发展变化的程度； 平平均增长速度是各个环比增长速度的动态平均均增长速度是各个环比增长速度的动态平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均数，说明某种现象在一个较长时期中逐年平均增长变化的程度增长变化的

20、程度。 平均发展速度平均发展速度1. 1. 几几何平均法，又称水平法何平均法，又称水平法。nXX nnXXXX321 nnnaaaaaaaa1231201 nnaa0 nR 某企业总产值资料基年第一年第二年第三年第四年第五年总产值(万元)270.1273.80289.20314.40322.30340.70环比发展速度(%)-101.37101.62108.71102.51105.71定基发展速度(%)-101.37107.07116.40119.33126.14例例%75.1042614. 1%75.104261385. 11 .2707 .340%75.104261268. 10571.

21、10251. 155555XX 1.08711.01621.0137X 或或平均发展速度2.2. 方方程法，又称累计法。程法，又称累计法。 在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用在实践中，如果长期计划按累计法制定，则要求用 方程法计算平均发展速度方程法计算平均发展速度。 niinaaaaa1321 niinaXaXaXaXa1030200naXXXXniinn 121解这样的高次方程，用查表法。104.40%X 01.570%31.5701 .2704 .1540 1 .2707 .3403 .3224 .3142 .2898 .273 01i近似，见表中仍用前例数据：aani水平法与累

22、计法之比较：水平法与累计法之比较：实际资料按水平法计算按累计法计算发展水平(万元)环比发展速度(%)定基发展速度(%)平均发展速度(%)推算定基发展速度(%)推算发展水平平均发展速度(%)推算定基发展速度(%)推算发展水平aXYYaY”a”基 年270.1-100-100- 100-第一年273.8101.37101.37104.75104.75282.93104.40104.40281.98第二年289.2105.62107.07104.75109.73296.38104.40108.99294.39第三年314.4108.71116.40104.75114.94310.45104.4011

23、3.79307.34第四年322.3102.51119.33104.75120.40325.19104.40118.80320.87第五年340.7105.71126.14104.75126.12340.64104.40124.02334.99合 计1540.4-570.31-575.941555.58-570.001539.57XX 平均增长速度平均增长速度平均增长速度平均增长速度= =平均发展速度平均发展速度-1 (100%)-1 (100%)平平均发展速度大于均发展速度大于“1”“1”，平均增长速度就为正值。，平均增长速度就为正值。 则称则称“平均递增速度平均递增速度”或或“平均递增率平

24、均递增率”。平平均发展速度小于均发展速度小于“1”“1”，平均增长速度就为负值。，平均增长速度就为负值。 则称则称“平均递减速度平均递减速度”或或“平均递减率平均递减率”。第二节、时间数列的因素分解(一)长期趋势(T)长期趋势变动是时间数列中最基本的规律性变动。长期趋势，是指现象在一个相当长的时期内持续发展变化的总态势，如持续上升、下降和基本持平。长期趋势变动是由于现象受到各个时期普遍的、持续的、决定性的基本因素影响的结果。例如，一般情况下，由于人口增长、资源开发、科技进步等因素影响，社会生产的总量呈增长变动的趋势。(二)季节变动(S)季节变动，是指时间数列受自然季节变换和社会习俗等因素影响而

25、发生的有规律的周期性波动。例如有许多商品的销售随季节变 (三)循环变动(C)循环变动，是指现象受多种因素的影响而发生的周期性涨落起伏波动。其成因比较复杂，周期一般在一年以上，长短不一。如经济发展的周期性波动，自然界果树结果数量的大年小年现象等，都是循环变动现象。(四)不规则变动(I)不规则变动，是指除了上述各种变动以外，现象受偶然因素或不明原因影响而发生的无规律性的变动。如政策动荡、战争爆发等。下面，我们着重介绍实践中最常用的长期趋势和季节变动分析。长期趋势分量图长期趋势分量图季节变动分量图季节变动分量图循环波动分量图循环波动分量图不规则变动分量图不规则变动分量图时间序列分析模型时间序列分析模

26、型1. 加法模型加法模型 Y=T+S+C+I 假定：四种因素变动的原因各不相关，假定：四种因素变动的原因各不相关， 因而对因而对Y的影响是相互独立的，且具有与的影响是相互独立的，且具有与Y同样的同样的度量单位。度量单位。2. 乘法模型乘法模型 Y=TCSI 假定：四种因素对假定：四种因素对Y的影响是相互独立的，的影响是相互独立的， T与与Y单位相同，单位相同，C、S、I以百分数表示。以百分数表示。 第三节第三节 长期趋势分析长期趋势分析 长长期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期期趋势就是指某一现象在一个相当长的时期内持续发展变化的趋势。内持续发展变化的趋势。( (向上或向下变化向上或向下变化

27、) )测定长期趋势的目的主要有三个：测定长期趋势的目的主要有三个： 把把握现象的趋势变化；握现象的趋势变化； 从从数量方面研究现象发展的规律性，探数量方面研究现象发展的规律性，探求合适趋势线；求合适趋势线； 为为测定季节变动的需要。测定季节变动的需要。 长期趋势的分类长期趋势的分类 线性趋势（线性趋势（Linear trend） 非线性趋势（非线性趋势（Non-linear trend）测定长期趋势常用的主要方法有：测定长期趋势常用的主要方法有：移移动平均法；动平均法；最最小平方法。小平方法。 月份123456789101112增加值50.5455251.550.455.55358.45759

28、.25860.5某工厂某年各月增加值完成情况 单位：万元例例一、移动平均法一、移动平均法 月份123456789101112增加值y(万元)50.5455251.550.455.55358.45759.25860.5三项移动平均yc-49.249.551.352.55355.656.158.258.159.2- 趋势值项数=原数列项数-移动平均项数+1 =12-3+1=10注注1 1： 若采用奇数项移动平均若采用奇数项移动平均( (如上例如上例“三项三项”)”)，则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可得趋势值；得趋势值； 若采用偶数项移动平均，则平均值

29、也居中，若采用偶数项移动平均，则平均值也居中，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数，故一般都用奇数项移动平均。故一般都用奇数项移动平均。 注注2 2： 修匀后的数列，较原数列项数少。修匀后的数列，较原数列项数少。( (在进在进行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜使用使用) )注注3 3： 取几项进行移动平均为好，一般若现象有取几项进行移动平均为好，一般若现象有周期变动，则以周期为长度。例，季度资料周期变动，则以周期为长度。例，季度资料可四项移动平均；各年月资料，可十二项移可四项移动平均；各年月资料，可十二

30、项移动平均；五年一周期，可五项移动平均。移动平均；五年一周期，可五项移动平均。移动平均法可消除周期变动。动平均法可消除周期变动。月份123456789101112y50.5455251.550.455.55358.45759.25860.5四项移动平均 49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7二项移正yc49.851.152.553.555.256.557.658.5用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)仍用上例资料：404550556065123456789101112原始资料

31、三项移动后的趋势四项移动后的趋势由此可见，该厂的增加值趋势是上升的。图示图示三、最小平方法三、最小平方法 2c()min y ycyy 实实际际值值，即即原原数数列列值值趋趋势势值值或或理理论论值值即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。即对原有动态数列配合一条适当的趋势线来进行修匀。这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线这条趋势线可以是直线，也可以是曲线；这条趋势线必须满足最基本的要求。即：必须满足最基本的要求。即： 直线方程直线方程当当现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。现象的发展，其逐期增长量大体上相等时。该方程的一般形式为该方程的一般形式为：cyabt 用高等数学求偏

32、导数方法，得到以下联立方程组： tbNay 2tbtaty为使计算方便，可设t: 奇数项奇数项：,3210123 偶数项偶数项：,531135 这样使0 t，即上述方程组可简化为：Nay 2tbtytytyt2yc逐期增长量 -11 50.5 -555.512147.98- -9 45 -405 8149.12 -5.5 -7 52 -364 4950.267 -5 51.5 -257.5 2551.40 -0.5 -3 50.4 -151.2 952.54 -0.9 -1 55.5 -55.5 153.68 5.1 1 53 53 154.82 -2.5 3 58.4 175.2 955.9

33、6 5.4 5 57 285 2557.10 -1.4 7 59.2 414.4 4958.24 2.2 9 58 522 8159.38 -1.2 11 60.5 665.512160.52 2.5合计 651.0 326.4572 651.00-仍用上例资料：该方程配合得较好 57. 025.5457. 025.54 5724 .32612651 2ccyytybabatbtyNay)(.万元862155702554 cy若预测明年二月份增加值，则：0)( 222 tnyntbnytbyattyttnyttynb)(导出：由联立方程也可直接推 抛物线方程抛物线方程 50 69 90 110

34、 19 21 20 逐逐期期增增长长量量：二二级级增增长长量量：则则给给该该资资料料配配合合抛抛物物线线方方程程例例当当现象的发展，其二级增长量大体上相时现象的发展，其二级增长量大体上相时。2c2233224yabtct (abc) yNabtcttyatbtctt yatbtct 该该方方程程的的一一般般形形式式为为：、 、 均均为为未未定定参参数数同同样样用用求求偏偏导导数数的的方方法法，导导出出以以下下联联立立方方程程组组：某地区1997-2005年国内生产总值的动态数列配合抛物线计算过程如下表：年份GDP(万元)ytt2t4tyt2yyc1997 3941-416256-15764 6

35、3056 3897.561998 4285-3 9 81-12774 38322 4259.941999 4736-2 4 16 -9472 18944 4854.672000 5652-1 1 1 -5652 5652 5681.762001 7020 0 0 0 0 0 6741.202002 7859 1 1 1 7859 7859 8032.992003 9313 2 4 16 18626 37252 95573 9 81 3521410564211313.64200513125 416256 52500210000 13302.50合计67642 06070

36、8 70537486727 67641.40例例)(.,.万元则：年若预测该地区7115523 51771165617117526741200617711661711752674117711661711756741.2a 7086048672760705376096764222 ccyGDPttycbcabca 指数曲线方程指数曲线方程2lglglglg , lg , lg (,0)ccyatbYyAaBbYABtYNABttYAtBttt 先先对对上上述述方方程程两两边边各各取取对对数数：设设则则：应应用用最最小小平平方方法法求求得得的的联联立立方方程程组组为为：同同样样设设 使使例题见教材

37、例题见教材P164-166P164-166当当现象的发展，环比增长速度大体上相等时。现象的发展，环比增长速度大体上相等时。该方程的一般形式为该方程的一般形式为：tcaby 第四节第四节 季度变动的测定与预测季度变动的测定与预测 一、季节变动分析的意义一、季节变动分析的意义测测定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，定季节变动的资料时间至少要有三个周期以上，如季节资料，至少要有如季节资料，至少要有1212季，月度资料至季，月度资料至少要有少要有3636个月等，以避免资料太少而产生偶然个月等，以避免资料太少而产生偶然性。性。测定季节变动的方法有二种：测定季节变动的方法有二种：按按月平均法，不考虑

38、长期趋势的影响月平均法，不考虑长期趋势的影响( (假定不存假定不存在长期趋势在长期趋势) )，直接利用原始动态数列来计算；，直接利用原始动态数列来计算；移移动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，动平均趋势剔除法，即考虑长期趋势的存在，剔除其影响后再进行计算，故常用此法。剔除其影响后再进行计算，故常用此法。二、按月平均法测定季节变动二、按月平均法测定季节变动 也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为也称按季平均法。若为月度资料就按月平均；若为季度资料则按季平均。季度资料则按季平均。 其其步骤如下：步骤如下： 列表，将各年同月列表，将各年同月( (季季) )的数值列在同一栏内；的数值列在同一栏内； 将各年同月将各年同月( (季季) )数值加总，并求出月数值加总，并求出月( (季季) )平均平均 数；数； 将所有同月将所有同月( (季季) )数值加总，求出总的月数值加总，求出总的月( (季季) )平均平均数；数； 求季节比率求季节比率( (或季节指数或季节指数) )。某地区各月毛线销售量季节变动计算表 单位：百千克 月份 年份123456789101112合计第一