【大学课件】浙大数字信号处理课件--第二章离散时间信号与系

1、第二章第二章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统2.0 引言2.1 离散时间序号：序列2.2 离散时间系统2.3 线性时不变系统2.4 线性时不变系统的性质2.5 线性常系数差分方程 2.6 离散时间信号与系统的频域表示2.7 用傅立叶变换表示序列 2.8 傅立叶变换的对称性质2.9 傅立叶变换定理2.10 离散时间随机信号（介绍）2.1 离散时间信号：序列离散时间信号：序列连续时间信号： xa(t)离散时间信号：xn=xa(nT), -n 其中，T是采样周期，f=1/T为采样频率。注：实际上，离散时间信号未必一定由连续时间信号采样得到，但是习惯上，将序列值之间的时间间隔都称为采样周期。同样

2、的，采样周期未必一定是不变的（相同的）周期，但是在课程中，我们一般只考虑恒定的采样周期。对于离散时间信号对于离散时间信号xn而言，而言，n是整数，而且是一个无量纲量，与具体是整数，而且是一个无量纲量，与具体的采样周期无关。的采样周期无关。xn在在n不为整数时没有定义。不为整数时没有定义。连续时间信号、离散时间信号、数字信号连续时间信号、离散时间信号、数字信号数字信号量化表：-1 0.5 0 0.5 1t(s)nn2.1.1 基本序列和序列运算基本序列和序列运算 序列的基本运算 加法运算：zn=xn+yn=,x-1+y-1,x0+y0,x1+y1, -n 乘法运算乘法运算xn*yn=,x-1*y

3、-1,x0*y0,x1*y1, -n点乘运算点乘运算a=5a*xn=ax-1,ax0,ax1, -n移位运算移位运算n0=-5n0=5yn=xn-n0 , -n 基本序列基本序列单位样本序列（单位脉冲信号）n= . 0, 1, 1, 0nn任何序列均可表示为单位脉冲信号的线性组合：knkxnxk例如：pn=a-3n+3+a1n-1+a2n-2+a7n-7 单位阶跃信号单位阶跃信号. 0, 0, 0, 1nnnu单位阶跃信号可表示为单位脉冲信号的组合：nkknu或者nkknnu0同样单位脉冲信号也可以表示为单位阶跃序列的一阶后向差分：n=un-un-1 实指数序列实指数序列xn=An A=1正弦

4、序列正弦序列xn=Acos(0n+),for all n 复指数序列复指数序列如果 xn=An 中， ,0jjeAAeaa则序列 xn=An 可表示为：xn=An =|A|ej|nejw0n =|A|ne(jw0n+) =|A|ncos(0n+)+j|A|nsin(0n+) A=1,a=0.9, 0=/2当|a|=1时，该序列称为复指数序列，且有xn=|A|ej(0n+)=|A|cos(0n+)+j|A|sin(0n+) 其中，A称为幅值，0称为复正弦和复指数的频率， 称作相位。复指数序列的一个极其重要的特征：复指数序列的一个极其重要的特征：对于频率对于频率0 而言，复指数序列是以而言，复指数

5、序列是以2 为为周期的序列周期的序列njnjnjnjAeeAeAenx0002)2(这一性质是由于n是整数产生的，因而在复指数序列中，一般只需要考虑一个2 周期。而而对于对于n而言，复指数序列未必是周期序列而言，复指数序列未必是周期序列如果离散正弦序列为周期N的周期序列，即：Acos(0n+)=Acos(0n+0N+), 则必须满足条件： 0N=2k 例例0 /4, N=80 1, N= cos0n 随随0的的变化趋势变化趋势复指数序列的高频与低频复指数序列的高频与低频对于连续复指数时间信号而言，从低频到高频是一个连续单调递增的过程0 0 2 3 4 低频高频0 0 2 3 4 低频 低频低频

6、低频高频高频高频高频对于离散复指数序列而言，高频和低频是一个以2 为周期的交替出现过程2.2 离散时间系统离散时间系统 算子T表示将输入序列xn映射为单一输出序列yn的变换Tynxn2.2.1 无记忆系统2.2.2 线性系统 2.2.3 时不变系统 2.2.4 因果性2.2.5 稳定性 如果在每一个n值上的输出yn只决定于同一n值的输入xn，则该系统是无记忆的。例1：一个无记忆系统 yn=(xn)2 for all n例2：一个有记忆系统 yn=(xn-1)2 for all n2.2.1 无记忆系统无记忆系统2.2.2 线性系统线性系统如果y1n=Tx1n， y2n=Tx2n, 那么当且仅当

7、下式满足时，该系统是线性的：可加性：Tx1n+x2n=Tx1n+Tx2n=y1n+y2n齐次性：Taxn=aTxn=ayn 或将两个性质合写为：Tax1n+bx2n=aTx1n+bTx2n 例1：yn=xn-1对于输入 ax1n+bx2n，有 Tax1n+bx2n= ax1n-1+bx2n-1=aTx1n+bx2n所以，该系统为线性系统例2：yn=(xn)2对于输入 ax1n+bx2n，有 Tax1n+bx2n a2(x1n)2+b2(x2n)2+2ab x1nx2naTx1n+bx2na(x1n)2+b(x2n)2显然 Tax1n+bx2n aTx1n+bx2n所以该系统是非线性的例题例题2

8、.2.3 时不变系统时不变系统时不变系统是这样一种系统：输入序列的移位将引起输出序列相应的移位。也就是说，如果Txn=yn，那么Txn-n0=yn-n0 for all n0例1niinixny) 5 . 0(要要证明一个系统是时不变的，必须解出证明一个系统是时不变的，必须解出Txn-n0和和 yn-n0，看两者是否相等看两者是否相等 。00)5.0(0nniinnixnny首先，ninniinnniiinixnixnnxT00000 )5 . 0()5 . 0(且有，可见，Txn-n0=yn-n0，所以该系统为时不变系统。例题例题例2ninixny) 5 . 0(00)5.0(0nninni

9、xnny首先，ninninniinixnixnnxT0000 )5 . 0()5 . 0(且有，可见，Txn-n0 yn-n0，所以该系统为时变系统。2.2.4 因果性因果性如果对每一个选取的n0，输出序列在n= n0的值仅仅取决于输入序列在n n0的值，则该系统就是因果的。也就是说，该序列是不可预知的不可预知的。例1 前向差分系统：yn=xn+1-xn 其输出的当前值与输入的一个将来值有关，所以这个系统是非因果的。例2 后向差分系统：yn=xn-xn-1 其输出的值只与当前和之前的值有关，所以这个系统是因果的注意因果性和无记忆性的差别。注意因果性和无记忆性的差别。2.2.5 稳定性稳定性当且

10、仅当每一个有界输入序列都产生一个有界的输出序列时，则称该系统在有界输入有界输出（BIBO, Bounded-Input-Bounded-Output）意义下稳定。也就是说，如果存在某个固定的有限正数Bx，使得 |xn| Bx ，for all n则称输入xn有界。如果在输入xn有界条件下，存在固定的有限正数By，使得： |yn| By ，for all n则称系统稳定。2.3 线性时不变系统（线性时不变系统（LTI，Linear Time-Invariant）本课程的理论，基本上都是在线性时不变系统的条件上推导产生。本课程的理论，基本上都是在线性时不变系统的条件上推导产生。线性时不变的条件下，

11、推导出一个重要的理论：线性时不变系统的输出，可线性时不变的条件下，推导出一个重要的理论：线性时不变系统的输出，可以表示为输入序列与系统单位脉冲响应的卷积。以表示为输入序列与系统单位脉冲响应的卷积。由于任何序列均可表示为单位脉冲信号的线性组合：knkxnxk那么输出就可以表示为： kknkxTny由于线性系统的性质，则有：kkknhkxknTkxny其中hkn是系统对发生在n=k的单位脉冲序列n-k的响应，称为单位脉冲响应。 卷积和卷积和hkn是系统对发生在n=k的单位脉冲序列n-k的响应，如果系统具有时不变性，也就是说，如果hn是系统对n的响应，那么系统对n-k的响应就是hn-k。kkkknh

12、kxnynhkxny则后者就称为卷积和，一般可表示为：yn=xn*hn 卷积和的过程卷积和的过程xnx-2n=x-2 n+2 x0n=x0 n x3n=x3 n-3 x n=x-2n +x0n+x3n yny-2n=x-2 hn+2 y0n=x0 hn y3n=y3 hn-3 yn=y-2n +y0n+y3n 2.4 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质结合律 对于任何可卷积信号xn，vn和wnxn*(vn*wn)=(xn*vn)*wn交换律 卷积过程xn*vn是可交换的，即：xn*vn = vn)*xn加法分配律 对于任何可卷积信号xn，vn和wnxn*(vn+wn) = xn*vn+x

13、n*wn平移性 给定两个可卷积信号xn，vn和整数q，且wn = xn*vnwn-q = xn-q*vn = xn*vn-q首先，介绍卷积的一些基本性质：卷积和的性质（续）卷积和的性质（续）与单位脉冲的卷积 对于任何可卷积信号xnxn* n = xn所以，单位脉冲信号又叫做卷积运算的恒元。与平移单位脉冲的卷积 对于任何可卷积信号xn和整数qxn* n-q = xn-q由于所有的线性时不变系统都是由卷积和来描述的，所以上述的卷积和性质也就适用于线性时不变系统。系统联接系统联接 h1n h2nxnynh1n *h2nxnyn串联联接并联联接h1n + h2nxnyn h1n h2n+ynxn因果序

14、列因果序列对线性时不变系统而言，因果性意味着：当n0时，hn=0相应地，当n0时其值为零的序列成为因果序列，因果序列可以作为因果系统的单位脉冲响应。非因果系统因果系统IIR系统和系统和FIR系统系统无限脉冲响应（IIR, Infinite Impulse Reponse）0iiinanh有限脉冲响应（FIR, Finite Impulse Reponse）Niiinanh0几种常见系统的单位脉冲响应几种常见系统的单位脉冲响应hn =n-nd, nd a positive fixed integer 理想延迟理想延迟滑动平均滑动平均., 0,111121211212otherwiseMnMMMk

15、nMMnhMMk累加器累加器, 0, 0, 0, 1nunnknhnk前向差分前向差分 hn =n+1-n 后向差分后向差分 hn =n-n-1 逆系统逆系统累加器系统后向差分系统xnxnyn由于有：hn =un*(n-n-1) = un-un-1 =n 后向差分系统完全补偿了累加器的效果，累加器与后向差分系统的级联构成了一个恒等系统。则称后向差分系统与累加器互为逆系统逆系统。一般地所，如果一个线性时不变系统地单位脉冲响应为hn，则与其逆系统（如果存在）hin应满足如下关系： hn*hin=hin*hn=n2.5 线性常系数差分方程线性常系数差分方程MmmNkkmnxbknya00对于线性时不

16、变系统，除了yn=Txn这一种通用表示形式之外，通常还可以用N阶差分方程作另一种表述：两种表述方式之间，可以由递推递推来转换。这是与连续时间系统的定常微分方程表示对应的：)()()(tbxtaydttdy由于通常可将dy(t)/dt近似表示为前向差分形式：1)(nynydttdy则微分方程可表示为： (1+a)yn-yn-1 = bxn例：累加器的差分方程表示例：累加器的差分方程表示对于一个累加器系统，有：1nknkkxnxkxny而11nkkxny两式相减，得到：yn-yn-1 = xn MmmNkkmnxbknya00对照差分方程的标准形式：可知此时有：N=1, a0=1, a1=-1,

17、M=0, b0=1差分方程形式便于给出实现该系统的框图。单个样本延迟xnyn-1yn2.6 离散时间信号与系统的频域表示离散时间信号与系统的频域表示线性时不变系统的两个重要性质： 复指数序列是线性时不变系统的特征函数 线性时不变系统对正弦输入的响应还是正弦的，且具有相同的频率，其幅度和相位则由系统决定。2.6.1 线性时不变系统的特征函数线性时不变系统的特征函数考虑一复指数输入序列nenxnj，系统单位脉冲为hn则输出：kkkjnjknjekheekhny)()(kkjjekheH)(定义：称H(ej )为系统的频率响应则输出可表示为：yn = H(ej) ejn 注意，上式为傅立叶变换傅立叶

18、变换的形式。频率响应特征函数由于相当广泛的一类信号（满足傅立叶变换条件）可以表示为特征函数的线性组合：knjkkeanx注意，上式为傅立叶反变换傅立叶反变换的形式，其中ak为傅立叶系数。例：理想延迟系统的频率响应例：理想延迟系统的频率响应对于理想延迟系统：yn=xn-nd ，求其频率响应。方法一：以特征函数xn=ejn 作为系统输入，有：njnjnnjeeenydd)(则其频率响应为：方法二：由理想延迟系统的单位脉冲响应： hn =n-nd以及频率响应的定义：kkjjekheH)(dnjnnjdjeenneH)(dnjjeeH)(离散时间系统频率响应的一个重要特点离散时间系统频率响应的一个重要

19、特点离散时间系统的频率响应总是频率 的周期函数，且周期为2)()2()2(jnnjnnjjeHenhenheH更为一般地，H(ej(+2 r)=H(ej),for r an integer 因此，对于离散时间系统，一般研究 0 2，或者- 时，xN(t)应趋近于x(t)。产生xN(t)的matlab程序如下：t=-3:6/1000:3;N=input(Number of harmonics);c0=0.5;w0=pi;xN=c0*ones(1,length(t)for k=1:2:N theta=(-1)(k-1)/2)-1)*pi/2; xN=xN+2/k/pi*cos(k*w0*t+the

20、ta);endplot(t,xN);xlabel(t);取N=3，即结果如右图。)3cos(32)cos(221)(3tttxGibbs现象（续）现象（续）N=5N=15N=9N=41Gibbs现象（续现象（续2）在脉冲的锐截止处，傅立叶级数存在着9%左右的过冲现象，这就是Gibbs现象现象。Gibbs从数学上证明了，这种现象是傅立叶级数本身造成的，因为在N- 时，这种现象依然存在。2.8 傅立叶变换的对称性质傅立叶变换的对称性质共轭对称序列xen： 满足xen = xe*-n的序列共轭反对称序列xon：满足xon = xo*-n的序列其中*记为复数共轭。则任何序列xn都可以表示为一个共轭对称序列和一个共轭反对称序列之和，即：xn=xen+xon其中：)(21*nxnxnxnxee)(21*nxnxnxnxoo对一个实序列xn，极为重要的一个对称性质是共轭对称：X(ej ) = X*(e-j )由于这一极为重要的特性，使得对于实序列xn的频谱研究，由原来的0 2，或者- ，进一步减少到0 区间内。2.9 傅立叶变换定理傅立叶变换定理记F 为傅立叶变换符