2020-2021学年赣州市章贡区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年赣州市章贡区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1.垃圾混置是垃圾，垃圾分类是资源.下列可回收物、有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾四种垃圾回

收标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

C▽DA

2,若（5%+2y-12）2+\3x+2y—6|=0,则x—2y的值是多少（）

A.3B.4C.5D.6

3.如图，把抛物线y=/与直线y二=1围成的图形。ABC绕原点。顺时针旋转90。后，再沿x轴向右

平移1个单位得到图形。M/ia，则下列结论错误的是

A.点。1的坐标是（1,0）

B.点Q的坐标是（2,-1）

C.四边形。BA/是矩形

D.若连接OC,则梯形OC&Bi的面积是3

4.如图，点4为函数y=2（x>0）图象上的一点,连结。4交函数y=\

入

1RAO=AC,则△ABC的\/

或（久>0）的图象于点B,点C是x轴上一点,

面积为（）

A.1Cx

B.2

C.3

D.4

5.在一次活动课中，对如图所示的平行四边形(2。>28)进行折叠，第一次沿着4E折叠，点B落

在点尸处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中

垂线折叠，则点。与点4必重合；组2：若沿着DF折叠，4。与。C所在的直线重合，且点4的对应

点仍落在直线&F上，则/)

,四边形CF4D3

A.组1判断正确，组2判断正确B.组1判断正确，组2判断错误

C.组1判断错误，组2判断正确D.组1判断错误，组2判断错误

6.如图所示的二次函数3/=。/+6%+。的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：

(l)b2-4ac=0；(2)c>1；(3)2a-b>0；(4)a+6+c<0,你认为其中错误的有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

7.如图。。的内接正六边形边长为2on,则阴影部分的面积是

__cm.

B

8.把方程%2+6%+5=0变形成(％+m)2=几的形式(TH,几是常数)，结果是_团_.

9.一个圆锥的侧面积是底面积的5倍，把它的侧面展开得到一个扇形，这个扇形的圆心角的度数是

10.如图，48是。。的直径，CO是O。的弦，zACD=40%则4

BOD=.

第16题

11.从2021年起，江苏省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，

“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科

,若小玲在“1”中选择了历史，在“2”中已选择了地理，则她选择生物的概率是

12.如图，长方形两边长4B=4,AD=2,两顶点2、B分别在y轴的正半轴和

%轴的正半轴上运动，则顶点D到原点。的距离最大值是.

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

13.解方程：-1）=%.

四、解答题（本大题共12小题，共94.0分）

14.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板。EF测量树的高度4B,他调整自己的位置，设法使斜

边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上.已知纸板的两条边DE=70cm,EF=30cm,

7

测得AC=-m,BD—9m,求树高48.

8

15.已知一直角三角形的两条直角边是关于久的一元二次方程/+（2k-l）x+fc2+3=0的两个不

相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5,求它的两条直角边分别是多少？

16.我们在用列举法求概率时，为了条理清楚、不重不漏地列举试验结果，常用列表或画树状图这

两种辅助工具进行列举.

（1）请选择不同的辅助工具解决以下两个问题（要求画出表格或树状图）.①同时掷两枚质地均匀的骰

子（个面分别标有1、2、3、4、5、6）,求至少有一枚骰子的点数为3的概率；②英文字母4、E、I

是元音字母，B、C、D、H是辅音字母.甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有4和星乙

口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有C、。和/丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别

写有H和/.从三个口袋中各随机取出1个小球.求取出的3个小球上恰好有2个元音字母的概率；

(2)你已经选择列表或画树状图来帮助解决了这两个问题，请简要说明你选择的理由.

17.已知△ABC,AB=AC,Z-BAC=2a.

(1)如图1,4ABG=乙BCG,则NG=.，(用a表示)

(2)如图2,点E,M分别为BC、AC上的点，4E交于点F,连接CF,若乙BFE=24CFE=2a,求

袈的值•

(3)如图3,CD为4B边上的高，N4CD的平分线CP交4B于P,过P作PH1BC于H,P”与CD交于点Q,

连接BQ.若PD=a,BD=b,请直接用含有a,b的代数式表示△BQC的面积为

18.在平面直角坐标系式0y中，抛物线y=a/一。0)与%轴交于点B(点/在点B的左侧)

(1)当。=-1时，求B两点的坐标；

(2)过点尸(3,0)作垂直于无轴的直线Z,交抛物线于点C.当a=2时，求PB+PC的值.

19.如图，抛物线y=a/+一5(a。0)经过点/(4,一5),与%轴的负半轴交于点与y轴交于点

C,且0。=5。8,抛物线的顶点为点D.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连结4B、BC、CD、DA,求四边形ABCD的面积；

⑶如果点E在y轴的正半轴上，且=求点E的坐标.

20.如图，四边形4BCD内接于。。，点。在2B上，BC=CD,过点C作。。的切线，分别交4B,AD

的延长线于点E,F.

(1)求证：AF1EF；

(2)若COSAEMB=-,BE=1,则线段2D的长是.

21.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义：在图形G上若存在两点M,N,使4

PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，APMN为图形G关于点P的

T型三角形.

(1)如图1,已知点4(0,—g)，B(3,0),以原点。为圆心的。。的半径为1.在4,B两点中，。。的T型

点是,画出并回答。。关于该T型点的T型三角形；(画出一个即可)

(2)如图2,已知点E(0,2),点F(m,O)(其中0).若线段EF为原点。的T型线，且线段EF关于原点。的

理三角形的面积为限求皿的值;

(3)若”(0,-2)是抛物线y=/+n的T型点，直接写出n的取值范围.

23^

22.某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机

抽取一部分情况如下表所示:

每件销售价(元)506070758085

每天售出件数30024018015012090

假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律.

(1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关

系式.

(2)门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一

名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元.求每件产品应定价多少元，

才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它

开支不计)

23.【神奇的变换】

(1)如图，在四边形4BCD中，AC1BD,垂足为P,则AB?+CEPAD2+BC2.(^u>''.a<n

或“=”)

【翻折一下】

(2)若将图1中的△ABC沿直线AC翻折(如图2所示)，其它条件不变，⑴中的结论还成立吗？请说明

理由.

【旋转一下】

(3)若4D〃BC,(1)中的其它条件不变(如图3所示)，将绕点P按逆时针方向旋转a度(0<a<

90）后得至1J图4,求证：AB2+CD2=AD2+BC2.

【平移一下】

(4)若将图1中的△ABC沿直线2。平移，使得8和。重合，得到ADM(如图5所示)，连接转、CE,则

有+。52=+。92.利用该结论，解决问题：如图6,在Rt△ABC中，zXCB=90°,。是

△28C内一点，若。C=LDA=2,且。8=3,贝MB的最大值为

24.如图1,已知正方形4BCD的边长为1,点E在边BC上，若乙4EF=90。,且EF交正方形的外角4CM

的平分线CF于点F.

(1)图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明4E=EF,请叙述你的一个构

造方案，并指出是哪两个三角形全等(不要求证明)；

(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).

@AE=EF是否一定成立？说出你的理由；

②在如图2所示的直角坐标系中抛物线丫=£1/+*+(:经过4、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰

好落在此抛物线上，求此时点尸的坐标.

25.已知二次函数yi=a/+b%+c（a>0）的图象与％轴交于4（一1,0）,8（几0）两点，一次函数y?=

2x+b的图象过点/.

⑴若a=

①若二次函数yi=ax2+bx+c[a>0）与y轴交于点C,求△ABC的面积；

②设丫3=-瓶丫2,是否存在正整数瓶，当工>。时，丫3随％的增大而增大？若存在，求出正整数根的

值；若不存在，请说明理由.

-12

（2）若]<a<”求证：-5<几<一4.

参考答案及解析

L答案：B

解析：解：4、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

£＞、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2.答案：D

解析：解：(5%+2y-12)2+|3x+2y-6|=0,

件+2y=12①

(3%+2y=6②，

①—②得：2%=6,即x=3,

把x=3代入①得：y=-1,

则久-2y=3+3=6,

故选D

利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解确定出％与y的值，即可求出久-2y的值.

此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

3.答案:D

解析：利用抛物线和平面直角坐标系的性质.

根据图形可知：点。的坐标是(0,0),点C的坐标是(1,1).因为把抛物线y=/与直线y=l围成的图形

。71BC绕原点。顺时针旋转90。后，再沿%轴向右平移1个单位得到图形。MiBiG，所以点。，C绕原点

。顺时针旋转90。后，再沿x轴向右平移1个单位得到点01的坐标是(1,0),点心的坐标是(2,-1),所以

选项A,B正确.

根据点。(0,0),4式2,1),B1(2,0)的坐标可得:四边形OB&Bi是矩形,选项C正确.

i3

根据点0(0,0),C(l,l),4式2,1),B1(2,O)的坐标可得:梯形OC&B1的面积等于士(1+2)X1=-力3,

22

所以选项。错误.

故选D

4.答案:B

解析：解：分别过4B两点作x轴的垂线段4E、BD,

则^ZOE面积=-X4=2,△8。。面积=-x1=-.

-AO=AC,

・•.△AOC面积=2XA/。£面积=4.

•・•BD//AE,

・•.△OBDfOAE.

••・寰=（第，即巨联）2，

•••需=3，即B点为04中点.

--1.-1

ABC面积=-XAAOC面积=-X4=2.

_______-1.-11

分别过4、8两点作x轴的垂线段4E、8。，则AAOE面积=]X4=2,小3。。面积=^x1=5,由4。=

AC,得到AAOC面积=2XA40E面积=4.易知△OBDsA。4£,根据面积比等于相似比的平方，可

__-I____-1

得出B点为。4中点，所以AABC面积面积=^x4=2.

本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质，解决此类问题要熟知反比

例函数图象上的某点到x轴垂线段与此点与原点连线组成的三角形面积为2上

5.答案：A

解析：解:组1：

如图1,过线段

CF的中点N作

MN1AD并分

别延长4F、DC

交于点0.

二直线MN是线段CF的垂直平分线.

•••NF=CF.

由题意得：△ABEEAAFE.

•••AB—AF,Z-B=Z-AFE.

・・・NAFE与NOFC是对顶角，

・•・Z-AFE=Z-OFC.

又・・•四边形/BCD是平行四边形.

AB=CD,AB//CD.

AF=CD,Z,B—Z-OCF.

•••Z.OCF=Z-OFC.

・•.OF=OC.

・•・。在线段CF的垂直平分线直线MN上.

••・OA—OD.

在△OFN和△ONC中，

(OF=OF,

JON=ON,

[FN=CN.

・•.△OFN=^OCN(SSS).

・••(FON=乙CON.

在△ZOM和△DOM中,

AO=DO,

^AOM=乙DOM,

OM=OM.

/.AM=DM,乙AMO=^DMO.

又•・•乙AMO+乙DMO=180°,

・•・2/-AMO=180°.

・•・乙4Mo=90°.

・•・若沿着CF的中垂线折叠，则点。与点/必重合

故组1判断正确.

组2：如图2,分别延长/F、DC交于点G.

由题意知：AADF=AGDF.

AF=GF,乙DAF=LDGF.

•・・四边形/BCD是平行四边形，

/.AB=CD,AB//CD.

・•・/.BAF=(FGC.

・・•48尸4与NCFG是对顶角，

・•.Z.BFA=Z.CFG.

BFA^ACFG中，

(Z-BAF=Z.CGF,

JAF=GF,

[ABFA=乙CFG.

・•.△BFA=ACFG(SAS).

48=GC,S^BFA=S^CFG・

・•.GC=CD.

vAF=FG,GC=CD,

・•.尸。是4ZOG的中位线.

S^ADG=4s“CG•

S四边形AFCD~S^ADG-S&FCG=4s-S^FCG=SS^FCG

•••S四边形AFCD-3s

S

.*.-----^-A-B--F---—_—1

S四边形CF4D3'

故组2判断正确.

故选：A.

组1：如图1,过线段CF的中点N作并分别延长4八DC交于点。.由题意得，直线MN是线段

CF的垂直平分线，AABE三AAFE,得AB=AF,故NB=N4FB.由NAFE与NOFC是对顶角，得NAFE=

ZOFC,故NB=NOFC.由四边形4BCD是平行四边形，得AB=CD,AB〃CD,故NB=NOCF.那么，

乙CFO=mCF,从而推断出。F=OC,故。在CF的垂直平分线上.然后可推断出。4=OD,也可推

^AAOM=ADOM,故AM=DM.所以，组1判断正确.

组2：如图2,分别延长AF、DC交于点G.由题意知：AADFmAGDF,得4F=FG.由四边形4BCD是

平行四边形，得48=CD,ABHCD,进而推断△ABFmAGCF,那么AB=GC,故CG=CD.所以，FC

SAZR"1

是AADG的中位线，则SNDG=4S“CG，进而推断出耳嬴嬴；=~

本题主要考查图形折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、垂直平分线的性质

与判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、垂直平分线的性质与判定及

平行四边形的性质是解题关键.

6.答案：C

解析：试题分析：(1)根据图示知，该函数图象与x轴有两个交点，所以A=b2-4ac>0;故本选项错

误；

(2)由图象知，该函数图象与y轴的交点在点(0,1)以下，所以c<1;故本选项错误；

(3)由图示，知对称轴尤=-里>—1;又函数图象的开口方向向下，所以a<0,所以—b<—2a,即

%》？

2a-b<0,故本选项错误；

(4)根据图示可知，当％=1,即丫=。+6+。<0,所以a+b+cV0;故本选项正确；

综上所述，我认为其中错误的是(1)(2)(3),共有3个.

7.答案：《+遮)

解析：解：连接04如图所示：

••TF是圆内接正六边形的-边，〃八\\

^AOF=600,J

又04=OF,\\)

・•.△aoF是等边三角形，

・•.AF=OA=2cm,Z.AOF-Z.OFA=60°,

・•・ACAF=90°,

-1

^ACF=^AOF=30%。。的半径是2cm；

Z.CAF=90°,

AC=WAF=6(cm),

_11—60-7Tx221l2兀；一

S阴影—S^ACF+$扇形—S-OF=—x2x2V3H———x2xV3=2y/3+—V3

乙DUU乙J

27rLe

=+遮）（52）.

故答案为：（g+V3）.

连接。4如图所示：根据正六边形的性质得到乙4。9=60。，推出△AOF是等边三角形，得到4F=

0A=2cm,乙40F=/。凡4=60。，求得乙C4F=90。，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式即

可得到结论.

本题考查了正六边形与圆、扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正六边形

的性质，由扇形面积公式求出弓形的面积是解决问题的关键.

8.答案：除书警『=4

V.V

解析：本题考查一元二次方程的变形。先把常数项变到方程的右边，再在方程的左右两边同时加上

一次项系数一半的平方即可。

9.答案:72。

解析：解：设母线长为a,底面半径为r,则底面周长=2TTT,底面面积=a2,侧面面积=兀".

•••侧面积是底面积的5倍，

・•・a=5r.

设圆心角为n.

nna日2

•••——=27r厂=-Tia,

1805

n=72°,

故答案为：72°.

根据圆锥侧面积是底面积的2倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，进而根据圆锥的弧长等于底面周

长得到圆锥的侧面展开图的圆心角.

本题主要考查了扇形面积公式，弧长公式，圆的周长公式，熟记公式是解本题的关键.

10.答案：100°

解析：解：•••AB是。。的直径，

.•・弧48的度数是180。，

•••4ACD=40°,

•••乙BOD=180°-2X40°=100°,

故答案为：100°.

11.答案：j

解析：解：在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，因此选择生物

的概率为点

故答案为：：；

在“2”中已选择了地理，从剩下的化学、生物，思想品德三科中选一科，可得选择生物的概率；

考查了概率公式的知识，解题的关键是了解如何利用概率公式解答，难度较小.

12.答案：2+2V2

解析：解：如图：取线段48的中点E,连接。E,DE,0D,

AB=4,点E是4B的中点，乙4OB=90。，

AE=BE=2=OE,

•••四边形4BCD是矩形，

：.AD=BC=2,ADAB=90°,

DE=y/AE2+AD2=2&,

vOD<OE+DE,

・•・当点D,点E,点。共线时，。。的长度最大.

.••点。到点。的最大距离=OE+DE=2+2迎，

故答案为：2+2企.

取4B的中点E,连接。D、OE、DE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得。E=3AB,

利用勾股定理列式求出DE,然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得。。过点E时最大.

本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，

确定出。。过的中点时值最大是解题的关键.

13.答案：解：x(x—1)—%=0,

%(%—2)=0,

•••x=0或％—2=0,

即X1=0,x2=2.

解析：先移项，再提公因式即可，转化为两个一元一次方程来解.

本题考查了一元二次方程的解法，是基础知识要熟练掌握.

14.答案：解：在直角ADEF中，DE=70cm,EF=30cm,

则由勾股定理得到OF='DE?+EF2="02+302=10闻.

在ADEF和ADBC中，ZD=ZD,乙DEF=ADCB,

•••ADEFs^DCB,

DFEF

...----=-----,

DBBC

又•・・EF=30cm,BD=9m,

EF,DB30x927V58

••・BC=———=-----=———(m)

DF10V5858

.c7

AC=-m,

8

.“7,27758203+108V58日门为+首203+1087^

・•・AB=AC+BC=-+-----=-------------，即树IWJ-------------m.

858232232

解析：先判定ADEF和△DBC相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上4C

即可得解.

本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△

。石尸和4DBC相似是解题的关键.

15.答案：解：•••一元二次方程/+(2k-1)%+/C2+3=0有两个不相等的实数根，

0,

•••(2k-I)2-4(fc2+3)>0,即-4k-11>0,

•­-k<

4

2，+%2=2

令其两根分别为尤则有1-2k,xr-x2=k+3,

•••此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5,

.22_r2

,,Avi।人v2-J，

(%i+外产—2与•x2=25,

/.(l-2fc)2-2(fc2+3)=25,

•e*/c2—2k—15—0,

k]—5,k?=—3,

•••k=-3,

.•.把k=-3代入原方程得到/一7%+12=0,

解得X1=3,x2=4,

•・・直角三角形的两直角边分别为3和4.

解析:首先根据根的判别式求出k的取值范围，再根据根与系数的关系得到小+和=-2fc-l,%1%2=

2再根据勾股定理得到以+厩=接着利用完全平方公式变形得到2

k+3,52,Qi+x2)-2X1X2=25,

则(2k+1)2—2(/+3)=25,求出k的值，进而求出两条直角边的长.

本题主要考查了根与系数的关系以及勾股定理的知识，解答本题的关键是根据根的判别式求出k的取

值范围，解答此题还要熟练掌握因式分解法解一元二次方程，此题难度不大.

16.答案：解：(1)①列表如下：

123456

11,11,21,31,41,51,6

22,12,22,32,42,52,6

33,13,23,33,43,53,6

44,14,24,34,44,54,6

55,15,25,35,45,55,6

66,16,26,36,56,6

6,4

同时投掷两个骰子，可能出现的结果有36种，满足至少有一个骰子的点数是3的结果有11种,

至少有一枚骰子的点数为3的概率共；

DO

②画树状图得:

甲口袋AB

乙口袋

丙口袋

•••共有12种等可能的结果，取出的3个小球上恰好有2个原音字母的有4种情况,

P(恰好有2个原音字母)=*=点

(2)每次实验所得结果可能性过多，用列表法更适合；当整个事件的实验步骤大于2次时，只能用树

状图.

解析：(1)①利用列表法求出所有结果，进而求出至少有一个骰子的点数为3的个数，即可求出概率；

②首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的3个小球上恰好有2个原

音字母的情况，再利用概率公式即可求得答案；

(2)每次实验所得结果可能性过多，用列表法更适合；当整个事件的实验步骤大于2次时，只能用树

状图.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

17.答案：90°+a^ab+b2

解析：解：(1)；AB=4C,ABAC=2a,

.ncA/-»n180°-2accc

■■-^ABC=^ACB=—^=^-a,

,•Z-ABG=Z-BCGfZ-ABG+Z-GBC=Z-ABC,

*'•Z-GBC+Z~BCG=90°-a,

・..Z.G=180°-(乙GBC+乙BCG)=90°+a,

故答案为：90。+a；

(2)如图2,^£BF1^BK=AF,连接AK,

图2

Z.BFE=Z-BAF+乙ABF,

•••Z-BFE=Z-BAC,

・•・Z-BAF+乙EAC=Z-BAF+ABF,

乙EAC=Z-FBA,

在△4BK与△ACF中，

AB=AC

乙ABK=A.FAC,

BK=AF

.••△/BKwZk/CF(S/S),

S^ABK=S〉ACF，乙AKB=Z-AFC,

•・•乙BFE=2(CFE,

・•・乙BFE=2乙AKF,

•・•乙BFE=24AKF=匕AKF+KAF,

・•・Z-AKF=Z.KAF.

・•.△F/K是等腰三角形，

・•.AF=FK,

.・.BK=AF=FK,

S^ABK=S^AFK，

••・S^ABF=S^ABK+S—FK=2S^ABK=2SAi4CF,

.S-BF_2

S"CF'

(3)•・•CDlABfPH1BC,

・•・乙CDB=(QHB=90°,

・•・乙BPH+乙PBH=90°=乙PBH+乙DCB,

・•.Z,DCB=乙BPH=90°一乙PBH=90°一(90°-a)=a,

•・.PC平分NACD,

•••Z-ACP=Z.PCD,

■:Z-BDC=Z-A+Z-ACD,

90°=2a+2乙PCD,

a+(PCD=45°,

・•・乙BCD+乙PCD=乙PCH=45°,

・•・(HCP=乙PCH=45°,

・•.PH=HC,

在△BPH和△QCH中，

zBPH=乙FCQ

PH=CH

，BHP=乙CHQ

・MBPH"QCH(ASA),

・•.QC=BP,

・•.QC-BD+DP=a+h,

・•.△BQC的面积=xB£>=|(a+b)b=^ab+b2,

故答案为：^ab+b2.

(1)由等腰三角形的性质可得乙4BC=乙4cB=若也=90°-a,由三角形的内角和定理可求解；

(2)如图2,在BF上取BK=4F,连接4K,推出NEAC=NFB4根据全等三角形的性质得到S-BK=

S&ACF，^AKB=AAFC,证得AFAK是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到4F=FK,即可求

解；

(3)由“44S”可证ABP"三AQCH,可得QC=BP=a+b,由三角形的面积公式可求解.

本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形的面

积的计算，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

18.答案:解：(1)当a=—1时，有y=—/—2%.

令y=o,得：—/—2%=o.

解得%1=0,x2=-2.

•・・点”在点8的左侧，

・・・/(-2,0),8(0,0).

(2)当a=2时,有y=2x2—2%.

令y=0,得2——2x=0.

解得久1=0,x2=1.

•・•点/在点8的左侧，

.*.71(0,0),5(1,0).

・•.PB=2.

当％=3时，yc=2x9-2x3=12.

・•・PC=12.

・•.PB+PC=14.

解析：(1)把a=-1代入解析式解答即可；

(2)把a=2代入解析式解答即可.

本题考查了抛物线与无轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，与％轴交点的纵坐标为0.

19.答案：解：⑴•・・抛物线丫=a/+故一5与y轴交于点C,

OC-5.

・・•OC=5OB,

OB=1,

又点B在%轴的负半轴上,

•••

•••抛物线经过点4(4,-5)和点B(-1,0),

*3二L，解得｛a:=1

b=-4'

••.这条抛物线的表达式为y=X2-4%-5.

(2)由y=一4%一5,得顶点。的坐标为(2,-9).

连接AC,

,•・点4的坐标是(4,-5),点C的坐标是(0,-5),

1-1

又SAABC=]X4X5=10,S&ACD=^X4X4=8,

'S四边形ABCD=S^ABC+S^ACD=18•

(3)过点C作垂足为点H.

1.__________________________

,<,S>ABC=&xABxCH=10,AB—(—1—4)2+(0+5)2=5V2»

・•.CH=2V2,

在RtABCH中，^BHC=90°,BC=V26,BH=VBC2-CH2=3A/2-

crCH2

•e•VdiwZ-CBH=—=

BH3

D/l

•.•在中，乙BOE。=—,

RtABOE=90°,tan/BEEO

•・•Z-BEO=Z.ABC,

...*=1，得EO=|,

.••点E的坐标为(0,1).

解析：本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积

变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中.第(3)问，将角度相等转化为对应的正切函数值相

等是解答关键.

(1)先得出C点坐标，再由。。=SBO,得出B点坐标，将/、8两点坐标代入解析式求出a,b；

(2)分别算出△人也和4女O的面积，相加即得四边形ABC。的面积；

(3)由4BE。=可知，tan^BEO=tan^ABC,过C作AB边上的高CH,利用等面积法求出CH,

从而算出tan乙4BC,而8。是已知的，从而利用tanME。=tan乙4BC可求出E。长度，也就求出了E点

坐标.

20.答案：(1)证明：连接。C,如图，

•・,CD=BC,

CD=BC,

•••Z.1=Z2,

•・•OA=OC,

z.2=Z-OCA,

・•.zl=Z.OCA,

・•.OC//AF,

・・•EF为切线,

•••OC1EF,

・•・AF1EF；

*

本题考查了切线的性质，圆周角定理和解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的

关键.

(1)连接。C，如图，先证明0C〃4F,再根据切线的性质得oc从而得到AFLEF；

(2)先利用0C〃4F得至Ij/COE=ACMB,在RtAOCE中，设0C=r,利用余弦的定义得到三=：,

解得r=3,连接BD,如图，根据圆周角定理得到N4DB=90。，然后根据余弦的定义可计算出4。的

长.

(1)见答案；

(2)M：--OC//AF,

•••乙COE=Z.DAB,

在RtAOCE中，设。C=r,

vcosZ.COE=cosZ-DAB=—=即——=解得丁=3,

OE4T+14

连接BD,如图，

•MB为直径,

•••乙ADB=90°,

在RM4DB中，cos^DAB

AB4

••・A3D=-3X6-=-9,

42

故答案为：

21.答案：解：⑴点4

如图，A4MN(或Aa/K)为O。关于该T型点的z型三角形；

(2)如图2,作。L1EF于点3

•••线段EF为点。的T型线，

。力即为线段EF关于点。的T型三角形的高,

・•・线段EF关于点。的了型三角形的面积为延,

9

・•.正三角形的边长为g0L=^

33

OE=2,OF=m,

EL=yJOE2-OL2=R_（竽尸=当,

••・m=V2;

(3)如图3,

・•・乙4"。=30°,

・•.AOAH=60°,

所以点a的坐标为(誓,0)

••・通过4”点的直线解析式为y=V3x-2,

•・•y=%2+n,

・•・当/+n=V3x-2有解时，才有“(0,—2)是抛物线y=%2+九的T型点,

即/=3-4(九+2)>0,解得几工一3，

・,・当几《一：时，”(0,-2)是抛物线y=%2+九的T型点.

4

解析：

A]=yjAO2+JO2=2,同理可得：AK=2,

•••△4/K为正三角形，

同理可得44MN为正三角形，

故点4为。。的T型点，

画图见图1,

△AMN(或△AJK)为。。关于该T型点的T型三角形，

故答案为：点小

(2)见答案;

(3)见答案.

(1)利用等边三角形的判定定理，由新定义易得。。的T型点；

(2)作。LLEF于点3根据新定义，利用三角形面积公式易得OL的长，由勾股定理易得EL的长，利

用锐角三角函数得小；

(3)由H(0,—2)是抛物线y=/+n的下型点，可得乙4"。=30。，4OAH=60°,可表示出通过4H点、

的直线解析式为y=>j3x—2,由当/+?!=V3x—2有解时，才有H(0,—2)是抛物线y=x2+ri的T型

点，即/=3—4(n+2)20,即可求出71的取值范围.

本题主要考查了圆的综合题，涉及勾股定理，一次函数及正三角形的性质，解题的关键是对于平面

直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出的定义.

22.答案：解：(1)经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，

设y=kx+6,经过(50,300)、(60,240),

f300=50fc+Z)

1240=60k+6

解得k=-6,b=600,

故y=-6x+600；

(2)①设每件产品应定价x元，由题意列出函数关系式

=(%-40)X(-6%+600)-3X40

=-6x2+840%-24000-120

=-6(%2-140%+4020)

=—6(%—70)2+5280.

②当y=168时x=72,这时只需要两名员工，

”=(72—40)x168-80=5296>5280.

故当每件产品应定价72元，才能使每天门市部纯利润最大.

解析：(1)经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价%(元)之间的函数关系为一次函数，设丫=

kx+b,解出k、b即可求出；

(2)由利润=(售价-成本)x售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值.

此题主要考查了二次函数的应用，由利润=(售价-成本)x售出件数-工资，列出函数关系式，求出

最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单.

23.答案:(1)=

(2)成立，理由如下：

BP1AC,

•••乙4PB=乙BPC=90°,

22

在Rt中=AP2+f)p2,在氏土AAPB中,4^2=AP+PB,在Rt△CPD中，CD?=PD2+

PC2,在RtACPB中，BC2=CP2+BP2,

•••AB2+CD2=AP2+PB2+PD2+PC2,AD2+BC2=AP2+DP2+CP2+BP2,

•••AB2+CD2=AD2+BC2-,

(3)如图4,连接BD,4c交于点F,

图4

•••AAPD=乙BPC=90°,

・•・Z-APD+乙APB=Z-BPC+乙APB,

・•・Z-APC=(DPB,

vAD//BC,

.PD_AP

BP-PC，

・•.△APCDPB,

・•・Z-CAP=乙BDP,

•・•/-PDA+4PAD=90°,

・•・乙PDB+Z-ADB+Z-PAD=90°=Z-PAC+/-ADB+Z-PAD,

・•.AAFD=AAPD=90°,

・•.AB2+CD2=AF2+BF2+DF2+CF2,AD2+BC2=AF2+DF2+BF2+CF2,

・•.AB2+CD2=AD2+BC2；

(4)1+2V3

解析：解：(1)vBPLAC,

・•・/-APB=乙BPC=90°,

在Rt△APO中，4。2=Ap2+£)p2,在△APB中，AB?=Ap2+pB2f在△cp。中，=pD2+

PC2,在RtZkCPB中，BC2=CP2+BP2,

・••AB2+CD2=AP2+PB2+PD2+PC2,AD2+BC2=AP2+DP2+CP2+BP2,

・•.AB2+CD2=AD2+BC2,

故答案为：=

(2)见答案

(3)见答案

(4)如图6,将ABDC沿着C4向上平移，使得C与A重合，连接。B',B'C,

图6

：.AB'=CB,AB”IBC,

••・四边形4CBB'是平行四边形,

•••^ACB=90°,

四边形4CBB'是矩形,

AB=B'C,

由结论可得：AD2+DB2=CD2+B'D2,

4+9=l+B'D2,

：.B'D=2V3,

CD+DB'>CB',

AB<1+2A/3>

•••AB的最大值为1+2痘,

故答案为：1+2百.

(1)在RtzXAPD中，AD2=AP2+DP2,在RtAAPB中，AB2=AP2+PB2,在RtACPD中，CD2=

PD2+PC2,在RtACPB中，BC2=CP2+BP2,即可得结论；

(2)在RtAAPD中，AD2=ap2+。22,在RtAAPB中，AB2=ap2+PB2,在RtACP。中，