2022年初中数学动点问题专题讲解

1、优秀学习资料欢迎下载专题一：建立动点问题的函数解析式例 12000 年·上海 如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90°的扇形 oab的弧 ab 上, 有一个动点 p,phoa,垂足为 h, oph的重心为 g.(1) 当点 p 在弧 ab 上运动时 , 线段 go、gp、gh中, 有无长度保持不变的线段.假如有 , 请指出这样的线段, 并求出相应的长度.(2) 设 phx ,gpy, 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域 即自变量 x 的取值范畴 .(3) 假如 pgh是等腰三角形 , 试求出线段 ph的长.解:1当点 p 在弧 ab 上运动时 ,op 保

2、持不变 , 于是线段 go、gp、 gh2中, 有长度保持不变的线段，这条线段是gh=32nh=31 bop=2.222 p(2) 在 rt poh 中 ,ohopph36x,2ynmh1 oh21362x2 .gxomha在 rt mph中 ,图 122mpphmh21212x9x4212363x.2 y =gp=3mp=3633 x0<x <6.(3) pgh是等腰三角形有三种可能情形: gp=ph时, 13633x 2x , 解得 x6 .经检验 ,x6 是原方程的根 , 且符合题意 .1 gp=gh时,363 ph=gh时, x2 .3x 22 , 解得 x0 .经检验 ,

3、x0 是原方程的根 , 但不符合题意 .综上所述 , 假如 pgh是等腰三角形 , 那么线段 ph的长为6 或 2.二、应用比例式建立函数解析式例 2（ 20xx年·山东）如图2, 在 abc中,ab=ac=1,点 d,e 在直线 bc上运动 . 设 bd=x, ce=y .(1) 假如 bac=30° , dae=105° , 试确定 y 与 x 之间的函数解析式；(2) 假如 bac的度数为, dae的度数为, 当,满意怎样的关系式时 ,1中 y 与 x 之间的函数解析式仍成立 .试说明理由 .a解:1在 abc中, ab=ac,bac=30°, a

4、bc=acb=75°, abd= ace=105° . bac=30° , dae=105° , dab+ cae=75° ,又 dab+adb= abc=75° ,de cae=adb,bc adb eac, abcebd ,图 2ac 1x , y1 .y1x2 由于 dab+ cae=, 又 dab+ adb= abc=90, 且2函数关系式成立 ,f 90=,整理得90 .b22当90 时, 函数解析式2y1 成立 .px例 320xx 年·上海 如图 31,在 abc中, abc=90° ,ab=4,bc

5、=3.点 o 是边 ac 上的一个动点 , 以点 o 为圆心作半圆 , 与边 ab 相切于点 d,c交线段 oc于点 e. 作 eped,交射线 ab 于点 p, 交射线 cb于点 f.(1) 求证 : ade aep.p(2) 设 oa=x ,ap= y , 求 y 关于 x 的函数解析式 , 并写出它的定bf义域 .(3) 当 bf=1时, 求线段 ap的长 .解:1连结 od.依据题意 , 得 od ab, oda=90° , oda= dep.daeo31daep.又由od=oe得, ode= oed. ade= aep, adeceoa322 abc=90° ,a

6、b=4,bc=3, ac=5. abc=ado=90° , od bc, od3x , adx ,5453438od=x ,ad=x . ae=x555x =x .58 x4 x ade aep, aeap3 当 bf=1时，ad , 5aey5. y8 x516 x 0x25 .58如 ep交线段 cb的延长线于点f, 如图 31 ，就 cf=4. ade=aep, pde=pec. fbp= dep=90° , fpb= dpe, f= pde, f= fec, cf=ce.5-8 x =4, 得 x55. 可求得 y82 , 即 ap=2.如 ep交线段 cb于点 f

7、, 如图 32,就 cf=2.类似 , 可得 cf=ce.5-8 x =2, 得 x15 .58可求得 y6 , 即 ap=6.bc综上所述 ,当 bf=1 时, 线段 ap的长为 2 或 6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例 4（ 20xx年·上海）如图 , 在 abc中, bac=90° ,ab=ac=2运动 与点 b、 c不重合 , 设 bo=x , aoc的面积为 y .(1) 求 y 关于 x 的函数解析式 , 并写出函数的定义域 .2 , a 的半径为 1. 如点 o在 bc边上a(2) 以点 o为圆心 ,bo 长为半径作圆 o,求当 o与 a 相切时

8、, aoc的面积 .解:1过点 a 作 ahbc,垂足为 h. bac=90° ,ab=ac=22 ,1bc=4,ah=2bc=2. oc=4- x . s aoc1 oc2ah , yx4 0x4 .2 当 o与 a 外切时 ,在 rt aoh中 ,oa= x1,oh=2x , x1 2222x2 .解得 x7 .6此时, aoc的面积 y = 4717 .66当 o与 a 内切时 ,在 rt aoh中 ,oa= x1 ,oh=x2 , x122 2x22 .解得 x7 .2此时, aoc的面积 y = 471 .22综上所述 , 当 o与 a 相切时 , aoc的面积为专题二：动

9、态几何型压轴题17 或 1 .62动态几何特点问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特殊要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置；）动点问题始终是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相像三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值；下面就此问题的常见题型作简洁介绍，解题方法、关键给以点拨；一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题1（ 09 年徐汇区） 如图，abc中， abac10 ， bc12 ，点 d 在边 bc 上，且 bd4，以点 d 为顶点作edfb ，分别交边 ab 于点

10、e ，交射线 ca 于点 f （ 1）当 ae6 时，求 af 的长；（ 2）当以点 c 为圆心 cf 长为半径的 c 和以点 a 为圆心 ae 长为半径的 a 相切时， 求 be的长；（ 3）当以边 ac 为直径的 o 与线段 de 相切时，求 be 的长 题型背景和区分度测量点此题改编自新教材九上相像形 24.54 例六,典型的一a线三角 三等角 问题 ,试题在原题的基础上改编出第一小题,f当 e 点在 ab 边上运动时，渗透入圆与圆的位置关系相切问题 的存在性的争论形成了其次小题,加入直线与圆的位置e关系 相切问题 的存在性的争论形成了第三小题区分度测bdc量点在直线与圆的位置关系和圆与

11、圆的位置关系,从而利用方程思想来求解 区分度性小题处理手法1. 直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程2. 圆与圆的位置关系的存在性 相切问题 的处理方法：利用d=r±rr3. 解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 略解 r 建立方程解：（ 1） 证明 cdf ebd cfbdcd，代入数据得 cfbe8 ， af=2（2）设 be= x ,就 dac10, ae10x, 利用（ 1）的方法32cf32 ，x相切时格外切和内切两种情形考虑：外切， 1010x， x42 ；x内切， 1010x32 ， x10 x2 17 0x10当 c 和 a 相切时， be

12、的长为 42 或 102 17 （ 3）当以边 ac 为直径的 o 与线段 de 相切时， be20 3类题一个动点： 09 杨浦 25 题（四月、五月）、 09 静安 25 题、两个动点： 09 闸北 25 题、 09 松江 25 题、 09 卢湾 25 题、 09 青浦 25 题（二）线动问题在矩形 abcd 中， ab 3，点 o 在对角线 ac 上，直线 l 过点 o，且与 ac 垂直交 ad 于点 e.1 如直线 l 过点 b ，把 abe 沿直线 l 翻折，点 a 与矩形 abcd 的对称中心 a 重合，求 bc 的长；2如直线 l 与 ab 相交于点 f，且 ao 1 ac ，设

13、 ad 的长为 x ，五边4l形 bcdef 的面积为 s.求 s 关于 x 的函数关系式，并指出x 的取值范aed围；探究：是否存在这样的x ，以 a 为圆心，以 x3 长为半径的圆与oa4直线 l 相切，如存在，恳求出x 的值；如不存在，请说明理由 题型背景和区分度测量点bc此题以矩形为背景,结合轴对称、相像、三角等相关学问编制得到第一小题考核了同学轴对称、矩形、勾股定理三小块学问内容；当直线l 沿lab边向上平移时，探求面积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆aed的位置关系 相切问题 的存在性的争论形成了区分度测量点二o 区分度性小题处理手法1. 找面积关系的函数解析式，规章图形套用

14、公式或用割补法，不规章f图形用割补法2. 直线与圆的相切的存在性的处理方法：利用d=r 建立方程bc3. 解题的关键是用含x 的代数式表示出相关的线段. 略解 (1) a是矩形 abcd的对称中心 ab aa1 ac2abab， ab3ac6 bc3 3(2) acx29 ， ao1x 249 ， af1 x 2129 ， aex 29 4x s aef1 aeafx 29 2， s x23x9 2296 x96xx4270 x2s96x813x33 如圆 a 与直线 l 相切，就 x3412x9 ， x140 舍去 ， x288 x23 55不存在这样的 x ，使圆 a 与直线 l 相切 类

15、题 09 虹口 25 题（三）面动问题如图，在abc 中， abac5, bc6 ， d 、 e 分别是边 ab 、 ac 上的两个动点（ d 不与 a 、 b 重合），且保持异侧作正方形defg .（1） 试求abc 的面积；de bc ，以 de 为边，在点 a的ade（2） 当边 fg 与 bc 重合时，求正方形 defg 的边长；b gfc（3） 设 adx ， abc 与正方形 defg 重叠部分的面积为y ，试求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域；（4） 当bdg 是等腰三角形时，请直接写出ad 的长专题四：函数中因动点产生的相像三角形问题例题 如图 1 ，已知抛物线的顶点

16、为a （2 ， 1 ），且经过原点 o，与 x 轴的另一个交点为b；求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y1 x 2x4）如点 c 在抛物线的对称轴上，点d 在抛物线上，且以o、c、d、b 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 d 点的坐标；连接 oa 、ab ，如图 2 ，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点p，使得 obp 与 oab 相像？如存在，求出 p 点的坐标；如不存在，说明理由；yyaaobobxx图 1例 1 题图图 2分析 :1 .当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角线来考虑问题以o、c、 d、b 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类争论:按

17、 ob 为边和对角线两种情形2 .函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题途径 求相像三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形；依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类争论；或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等学问来推导边的大小；如两个三角形的各边均未给出，就应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相像来列方程求解；练习 4 2021 广东湛江市 如下列图， 已知抛物线与 y 轴交于点 c（ 1）求 a、b 、c 三点的坐标y2yx1 与 x 轴交于 a、b 两点，p（

18、 2）过点 a 作 ap cb 交抛物线于点 p，求四边形 acbp 的面积（ 3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点m ，过 m 作 mgx 轴于点 g，使以a 、m 、g 三点为顶点的三角形与pca 相像 如存在， 恳求出 m 点的坐标； 否就， 请说明理由aobxc解：（1）令 y0 ，得x210解得 x1练习 4 图令 x0 ，得 y1 a 1,0b 1,0c 0,1（ 2） oa =o b=o c = 1bac =ac o=bc o= 45 ap cb ，p ab = 45过点 p 作 pex 轴于 e ，就ap e 为等腰直角三角形令 oe= a ，就 p e= a1 p a, a1点 p 在抛物线yx21 上 a1a 21解得 a12 ， a21（不合题意，舍去） pe = 3四边形 acb p 的面积 s = 11ab .oc+1ab .pe=2112342222(3) 假设存在p ab =bac = 45 paac mgx 轴于点 g ，mg a=pac = 90y在 rt a oc 中， oa =oc= 1 ac =2在 rt p ae 中， ae =p e = 3a p=32mp设 m 点的横坐标为 m ，就 mm, m21点 m 在 y 轴左侧时，就 m1gaobxcagmg 当a mgpca 时，有=ypaca图 22m1m21 a