2022年初三数学圆经典例题

1、学习必备欢迎下载一圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形；经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆心是它的对称中心；考点 2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径；直径是圆中最大的弦；弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距；弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；弧分为半圆，优弧、劣弧三种；（请务必留意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形；弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段；（请务必留意在圆中一条弦将圆分割

2、为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形；如下图：考点 4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在；考点 5点和圆的位置关系设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为d， 就点与圆的位置关系有三种；点在圆外d r ；点在圆上d=r ；点在圆内d r ；【典型例题】例 1在 abc中， acb=90° , ac=2, bc=4，cm是 ab边上的中线， 以点 c为圆心， 以 5为半径作圆，试确定a,b,m 三点分别与 c有怎样的位置关系，并说明你的理由；am例

3、 2已知，如图， cd是直径，eodbc84 ，ae 交 o于 b，且 ab=oc，求 a 的度数；ebdoca例 3 o 平面内一点 p 和 o 上一点的距离最小为3cm，最大为 8cm，就这圆的半径是 cm ；例 4 在半径为 5cm 的圆中，弦 ab cd ，ab=6cm ，cd=8cm ，就 ab 和 cd 的距离是多少？例 5如图, o的直径 ab 和弦 cd相交于点 e，已知 ae=6cm， eb=2cm,cea30 ，求 cd的长ca·eb od例 6. 已知： o的半径 0a=1，弦 ab、ac的长分别为2,3 ，求bac 的度数例 7. 如图，已知在abc 中，a9

4、0， ab=3cm， ac=4cm，以点 a 为圆心， ac长为半径画弧交 cb的延长线于点 d，求 cd的长cabd例 8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度ab 16cm，拱高 cd 4cm，那么拱形的半径是 m；cab. 摸索题d如下列图 , 已知 o的半径为 10cm，p 是直径 ab上一点 , 弦 cd过点 p,cd=16cm,过点 a 和 b分别向 cd引垂线 ae和 bf, 求 ae-bf 的值.ce【考点速览】考点 1a二垂径定理及其推论·pb ofd垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条

5、孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤 推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦 不是直径 ；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1如图 ab、cd是 o的弦， m、n 分别是 ab、cd的中点，且求证： ab=cdamnacnm cmn·obd例 2 已知， 不过圆心的直线 l 交 o于 c、d两点， ab是 o的直径， ae l 于 e，bf l 于f；求证： ce=dfbbooaoblae

6、lle chd fchfd ae chd f问题一图 1问题一图 2问题一图 3例 3如下列图， o 的直径 ab 15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 cd 在弧 amb 上滑动（点 c 与点 a ，点 d 与 b 不重合），且 cecd 交 ab 于 e， df cd 交 ab 于 f；（ 1）求证： ae bffb（ 2）在动弦 cd 滑动的过程中，四边形cdef 的面积是否为定值？如是定值，请给出证明，并求出这个定值，如不是，请说明理由；例 4如图，在 o 内，弦 cd与直径 ab交成450 角，如弦 cd交直径 ab于点 p，且 o半径为 1，试问：pc 2pd 2是否为定值？如是

7、，求出定值；如不是，请说明理由.dap；b oc例 5. 如下列图， 在 o中，弦 ab ac，弦 bd ba，ac、bd交直径 mn于 e、f. 求证： me=nf.maec·ofbdn例 6. （摸索题）如图，o1 与o2 交于点 a， b，过 a 的直线分别交o1 ，o 2 于 m,n，mcac为 mn的中点， p 为 o1o 2 的中点，求证： pa=pc.三圆周角与圆心角【考点速览】考点 1圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数；eg:判别以下各图中的角是不是圆心角，并说明理由；圆周角 ：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角；两个条件缺一不行

8、eg: 判定以下图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点 2定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半eg:如下三图，请证明；13. 如图，已知 a、b、c、d 是 o 上的四个点， ab bc，bd 交 ac 于点 e，连接 cd 、ad （ 1）求证： db 平分 adc ；（ 2）如 be 3，ed 6，求 ab 的长14. 如下列图，已知ab 为 o 的直径， cd 是弦，且 abcd 于点 e连接 ac、oc、bc（ 1）求证：aco=bcd a（ 2）如 eb= 8cm ，cd = 24cm ，求 o 的直径oecdb15. 如图，在 rt abc中， acb 90

9、°， ac 5，cb 12， ad是 abc的角平分线，过 a、c、d 三点的圆与斜边 ab交于点 e，连接 de；（ 1）求证： ac ae；（ 2）求 acd外接圆的半径；aecdb16. 已知： 如图等边 abc内接于 o，点 p 是劣弧 bc 上的一点 （端点除外） ，延长 bp至 d ，使 bdap ，连结 cd （ 1）如 ap 过圆心 o ，如图，请你判定pdc 是什么三角形？并说明理由（ 2）如 ap 不过圆心 o ，如图， pdc 又是什么三角形？为什么？aaoobcbcppd图d图四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角 , 弧,弦 ,弦心距之间的关系定

10、理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论： 在同圆或等圆中 ,假如两个圆心角 ,两条弧 ,两条弦 ,两条弦心距中 ,有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必留意前提为：在同圆或等圆中）例 1如下列图，点 o 是 epf 的平分线上一点，以o 为圆心的圆和角的两边分别交于a 、 b 和 c、d，求证： ab=cd eba1op2cdf例2、已知：如图， ef为 o的直径，过 ef上一点 p作弦 ab、cd，且 apf= cpf；求证： pa=pc；例 3如下列图，在abc中， a=72 ， o截 abc 的三条边长所得的三条弦等长，

11、求 boc.a· obc例 4如图， o的弦 cb、ed的延长线交于点 a，且 bc=de求证： ac=aecbo·ade例 5如下列图，已知在o中，弦 ab=cb， abc=120 ， od ab于 d， oebc于 e求证：ode 是等边三角形o·adec b例 6. 如下列图，已知 abc是等边三角形，以bc为直径的 o分别交 ab、ac于点 d、e；（ 1）试说明 ode的外形；（ 2）如图 2，如 a=60o， abac，就的结论是否仍旧成立，说明你的理由；aaddeebocboc例 7 弦 df ac， ef的延长线交 bc的延长线于点g.（ 1）求证

12、： bef是等边三角形；（ 2） ba=4， cg=2，求 bf的长 .edaf·obcg例8已知：如图， aob=90 °， c、d是弧 ab 的三等分点， ab 分别交 oc、od于点 e、f；求证： ae=bf=cd ；六会用切线，能证切线考点速览： 考点 1直线与圆的位置关系图形公共点个数d 与 r 的关系直线与圆的位置关系0 d>r相离1 d=r相切2 d<r相交考点 2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；符号语言 oa l 于 a ， oa 为半径o l 为 o 的切线al考点 3判定直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆

13、的切线；圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线；经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线；（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点 4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；（请务必记住切线重要用法：见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形 abcd中，点 o在对角线 ac上，以 oa的长为半径的圆 o与ad、ac分别交于点 e、f，且 acb=dce(1) 判定直线 ce与 o的位置关系，并证明你的结论；(2) 如 ab=3,bc=4,de

14、=d，c求 o的半径d ce foab2. 如图， ab 是半圆 o 的直径，过点 o 作弦 ad 的垂线交半圆o于点 e ，交 ac 于点 c，使bedc （1）判定直线 ac 与圆 o 的位置关系，并证明你的结论；cedaob3. 如图，已知 r t abc， abc 90°，以直角边 ab为直径作 o，交斜边 ac于点 d，连结 bd（1） 取 bc的中点 e，连结 ed，试证明 ed与 o相切（2） 在（ 1）的条件下，如 ab3，ac5，求 de的长；ado·bec4. 如图，已知 ab是 o的直径，点 c在 o上，过点 c的直线与 ab的延长线交于点 p，ac=

15、pc， cob=2 pcb.（1） 求证： pc是 o的切线；1（2） 求证： bc=2ab；5. 如图，在 abc中， ab=ac，d 是 bc中点， ae平分 bad交 bc于点 e，点 o是 ab上一点， o过 a、e 两点,交 ad于点 g，交 ab于点 f（1） 求证： bc与 o相切；c（2） 当 bac=120°时，求 efg的度数dgeaofb6. 如图，四边形 abcd是平行四边形，以 ab 为直径的 o经过点 d，e 是 o上一点，（1） ）如 aed 45o试判定 cd与 o的关系，并说明理由（2） ）如 aed=60o,ad=4，求 o半径；dcaobe7.

16、在 rtacb中， c=90°， ac=3cm，bc=4cm，以 bc为直径作 o交 ab于点d.（1） 求线段 ad的长度；（2） 点 e 是线段 ac上的一点，试问当点 e 在什么位置时，直线 ed与o相切？请说明理由 .adcbo8. 如图，已知 abc内接于 o，ac是 o的直径， d是ab 的中点，过点 d作直线 bc的垂线，分别交 cb、ca的延长线 e、f（1） 求证： ef是 o的切线；e（2） 如 ab8，eb 2，求 o的半径bdc·oaf如图，已知 o 是abc 的外接圆， ab 为直径，如 paab，po 过 ac 的中点 m，求证： pc 是 o

17、的切线；20. 已知： ab 是 o 的弦， od ab 于 m 交 o 于点 d， cb ab 交 ad 的延长线于 c（ 1）求证： ad dc ；（ 2）过 d 作 o 的切线交 bc 于 e，如 de 2， ce= 1， 求 o 的半径20在 rt afd中， f=90°，点 b、c分别在 ad、fd上，以 ab为直径的半圆 o 过点 c，联结ac，将 afc沿ac翻折得 aec，且点 e恰好落在直径 ab上 .f（ 1）判定：直线 fc与半圆 o的位置关系是；并c证明你的结论 .（ 2）如 ob=bd=2, 求ce的长aoebd20如下列图， ab 是 o 的直径， od弦

18、 bc 于点 f，且交 o 于点 e，如 aec= odb （ 1）判定直线 bd 和 o 的位置关系，并给出证明；（ 2）当 ab=10， bc=8 时，求 bd 的长cedbafo20已知：如图，在 abc 中， ab=ac ，以 ab 为直径的 o 分别交 bc 、ac 于点 d 、e， 联结 eb 交 od 于点 f（ 1）求证： od be ；（ 2）如 de=5 ， ab=5 ，求 ae 的长（ 20 题图）20. 如图， ab 是o 的直径， 点 n, 交 bc的延长线于点（ 1）证明 cf 是o 的切线bac30 ， m是 oa上一点，过e, 直线 cf 交 en于点 f, 且

19、ecfm作 ab的垂线交 ac于e.e2设 o的半径为 1且 ac=ce求,mo的长 .fcnabmo21. 如图， ab bc cd分别与圆 o切于 e f g 且 ab/cd，连接 ob oc，延长 co交圆 o于点m，过点 m作 mn/ob 交 cd于 n求证 mn 是圆 o切线当 ob=6cm， oc=8cm时，求圆 o的半径及 mn的长七切线长定理考点速览： 考点 1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区分切线是直线，不行度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量 考点 2切线长定理：从圆

20、外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要留意：此定理包含两个结论，如图，pa、pb切o于 a、 b 两点， pa=pb po平分apb 考点 3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长 经典例题：apo·cdb例 1已知 pa、pb、de分别切 o于 a、b、c 三点，如 po=13， ped 的周长为 24 ，求： o的半径；如apb40 ，eod 的度数aec·opdb例 2如图，o分别切abc 的三边 ab、bc、ca于点 d、e、f，如 bca, acb, abc （ 1）求 ad、be、 cf的长；

21、（2）当ca90 ，求内切圆半径r adfd·of·o例 3如图，一圆内切四边形abcd，且 ab=16， cd=10，就四边形的周长为？例 4如图甲， 直线 y3 x3 与 x 轴相交于点 a，与 y 轴相交于点 b，点 c4m, n 是第二象限内任意一点，以点c为圆心与圆与x 轴相切于点 e，与直线 ab相切于点 f.（ 1）当四边形 obce是矩形时，求点 c 的坐标；（ 2）如图乙，如 c 与 y 轴相切于点 d，求 c的半径 r ；（ 3）求 m与 n 之间的函数关系式；（ 4）在 c 的移动过程中，能否使oef 是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？八三角形内

22、切圆考点速览考点 1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心叫做三角形的内心 ， 这个三角形叫做 圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆 ，这个多边形叫做 圆的外切多边形 考点 2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆 心）三角形三边中垂线的交点（ 1） oa=ob=o；c（ 2）外心不肯定在三角形的内部（ 1）到三边的距离相等；内心（三角形内切圆的圆 心）三角形三条角平分线的交点（ 2） oa、ob、oc分别平分 bac、 abc、 acb；（ 3）内心在三角形内部考点 3求三角形的内切圆的半径aabccb1、直角

23、三角形 abc内切圆 o的半径为 r.oe22、一般三角形已知三边，求abc内切圆 o的半径 r.r2 sba dcaofeabcabcbdc（海伦公式 sssasbsc， 其中 s=2例 1如图， abc中， a=m°（ 1）如图（ 1），当 o是 abc的内心时，求 boc的度数；（ 2）如图（ 2），当 o是 abc的外心时，求 boc的度数；（ 3）如图（ 3），当 o是高线 bd与 ce的交点时，求 boc的度数例 2如图， rt abc中， ac=8， bc=6， c=90°， i 分别切 ac，bc， ab于 d， e，f， 求 rt abc的内心 i 与外心

24、 o之间的距离考点速练 21如图，在半径为r 的圆内作一个内接正方形，.然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（）2n） rb1n（） rc1n1（）rd2（n 1）2222a（r3如图， 已知 abc的内切圆 o分别和边 bc，ac，ab切于 d，e，f，.假如 af=2，bd=7， ce=4（ 1）求 abc的三边长；（ 2）假如 p 为弧 df上一点，过 p 作 o的切线，交 ab 于 m，交 bc于 n，求 bmn的周长十圆与圆位置的关系考点速览：1 圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为r 和 r ，圆心距为 d）外离外切相交内切内含图

25、形0 个drrd1 个rrrr2 个drrd1 个rrd0 个rr2 条2 条2 条1 条2 条0 条1 条0 条0 条0 条公共点d、r 、r 的关系外公切线内公切线o1o2o1o2o1oo1o 1o2o 22. 有关性质：（ 1）连心线：通过两圆圆心的直线；假如两个圆相切，那么切点肯定在连心线上；（ 2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（ 3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线；两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁外公切线内公切线3. 相交两圆的性质定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；4. 相切两圆的性质定理：相切两圆的连心线经过切点经典例题：例 1、如图

26、， 已知o1 与o2 相交于 a、b 两点， p 是o1上一点， pb的延长线交 o2于点 c， pa交o2 于点 d， cd的延长线交o1 于为 n.（ 1）过点 a 作 ae/cn 交o1 于点 e. 求证： pa=pe.2（ 2）连接 pn，如 pb=4， bc=2，求 pn的长 .pbocn·d·o12例2如图，在abc 中，bac90 , abac22 ，圆 a的半径为 1，如点 o在bc边上运动（与点 b、c不重合），设 box,aoc的面积为 y.（ 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范畴；（ 2）以点 o为圆心， bo长为半径作 o，当圆

27、o与 a相切时，求aoc 的面积 .aboc课堂练习：1. 已知o1 与o2 的半径分别为 5cm和 3cm，圆心距 020=7cm，就两圆的位置关系为 a外离b外切c相交d内切2. 已知两圆半径分别为2 和 3，圆心距为 d ，如两圆没有公共点，就以下结论正确选项（）a0d1bd5c 0d1或 d5d0 d1 或 d53. 大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，就这两圆的位置关系为（）a外离b外切相交d内含5. 如两圆的半径分别是1cm 和 5cm，圆心距为 6cm，就这两圆的位置关系是（）a内切b 相交c外切d外离6. 外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，就另一圆的半径

28、是a 11b 7c 4d 3十一 . 圆的有关运算考点速览：【例题经典】有关弧长公式的应用例 1如图， rtabc 的斜边 ab=35 ， ac=21 ，点 o 在 ab 边上， ob=20 ，一个以 o 为圆心的圆，分别切两直角边边bc、ac 于 d、e 两点，求弧 de 的长度有关阴影部分面积的求法例 2如下列图，等腰直角三角形abc 的斜边 ab4， o 是 ab 的中点，以 o 为圆心的半圆分别与两腰相切于d 、 e 求圆中阴影部分的面积cde求曲面上最短距离a·ob例 3如图，底面半径为1，母线长为 4 的圆锥，.一只小蚂蚁如从a 点动身，绕侧面一周又回到a 点，它爬行的最

29、短路线长是（）a 2b 42c43d 5求圆锥的侧面积例 4如图 10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，.它是以圆柱体的上底面为底面， 在其内部 “掏取 ”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径ab=12cm ，高bc=8cm ，求这个零件的表面积 （结果保留根号）三、应用与探究：1. 如下列图， a 是半径为 1 的 o 外一点， oa=2， ab 是 o的切线， b 为切点，弦 bcoa，连结 ac，求阴影部分的面积baco2. 已知：如图， abc中， ac bc，以 bc为直径的 o交 ab于点 d，过点 d作 de ac于点 e，交 bc的延长线于点f求证：（ 1） adb

30、d；（ 2） df是 o的切线adebocf3. 如图，在 rt abc中， b 90°， a 的平分线与bc相交于点 d, 点 e在 ab上， de=dc以,d 为圆心， db长为半径作 d（ 1） ac与 d 相切吗？并说明理由 （ 2） 你能找到 ab、be、ac之间的数量关系吗？为什么？4、如图，已知： abc 内接于 o，点 d在oc 的延长线上，sin b1 ， d230 （ 1）求证： ad 是 o的切线；（ 2）如 ac6 ，求 ad 的长dcboa圆的综合测试一：挑选题 1有以下四个命题：直径是弦；经过三个点肯定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径

31、相等的两个半圆是等弧其中正确的有（）a.4 个b.3个c.2个d.1个2. 以下判定中正确选项（）a. 平分弦的直线垂直于弦b.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧c. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧d. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3. 如上图， 已知 o的弦 ab、cd相交于点 e，的度数为 60°， 的度数为 100°，就 aec等于（）a.60 °b.100°c.80°d.130°4. 圆内接四边形abcd中， a、 b、 c 的度数比是 2:3:6 ，就 d的度数是（）a.67.5 °b.135°

32、;c.112.5°d.110°5. 过 o内一点 m 的最长弦长为6cm, 最短的弦长为4cm, 就 om 的长为 .a、 3cmb、 5cmc、 2cmd、 3cm6. 两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9 和 5 ，假如 p 与这两个圆都相切，就p的半径为 a.2b.7c.2或 7d.2或 4.57. abc的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r ，就 abc的面积为（）1a.（ a bc） rb.2（ ab c） c.21（ a b c） rd.（ a b c）r38. 已知半径分别为r 和 2 r的两圆相交，就这两圆的圆心距d 的取值范畴是（）a.0 d

33、3rb.r d 3rc.rd 3rd.rd 3r9. 将一块弧长为的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽视不计） ，就围成的圆锥的高为 （）a 3b32c 5d52c10. 如图，圆 o 中弦 ab、cd相交于点 f， ab=10， af=2，如afcf:df=1:4 ，就 cf 的长等于（）；oba 2b 2c 3d 22d11. 有一张矩形纸片abcd，c其中 ad=4cm，上面有一个以adad为直径的半圆，正好与对边 bc相切，如图（甲） ，bac bc将它沿 de折叠，使 a 点落在 bc上，如图（乙） ，这时，半圆仍露在外面的部分（阴影部分）的面积是（）a.c 4323cm 23 cm 21b 22d 33 cm23 cm 212. 如图， 两同心圆间的圆环 （即图中阴影部分）的面积为 16，过小 圆上任一点 p 作 大圆的弦 ab ，就 pa pb 的值是（）a 16b 16c 4d 4二、填空题13. rt abc中， c 90°， ac=5,bc=12,就 abc