龚前祥排列组合解题探究

1、排列组合解题探究秫归二屮龚前祥排列组合历來是高中学生认为难学的内容，原因z是由于它们研究的对象不 具体，而月结果不便于检验而排列组合应用广泛如抽奖、比赛场次、任务安排、 物品分配等都涉及到排列组合很多涉及到排列组合的问题，只要加强类比分析和归 纳，仍然有规律可循，收到多题一法，一法多用的效果.现就排列组合问题的求解策 略做一下探究.一、排列组合应用题解法解排列组合应用题，不能单靠现成的公式，更不能死套公式，首先需要认真审 题，弄明确题中毎一个字和毎一句话的确切含义，弄明确题中所要做的“事情”是什 么，以及怎样的结果才算完成了这样事情，然后紧紧抓住是排列问题还是组合问题, 是乘法原理还是加法原理

2、的问题进行分析，这样不仅冇助于寻找正确答案的解题途 径，而且还能培养我们细致深入思考问题的习惯和分析问题与解决问题的能力.例1把4个男同学和4个女同学平均分成4组，至14辆公共汽车上劳动，如果同 样的2人在不同的汽车上劳动作为不同情况看待，问有儿种不同的分法？如果每个小 组必须是一个男同学和一个女同学，问有几种不同的分发？如果男同学、女同学分 别分组，又有几种分法？解：（1）题中耍做的“事情''是把男女8个同学混在一起平均分成4组，分配到4 个汽车上去，我们把这个分配的总任务分成4个步骤来做，首先安排其中2人上第一 辆车，有种分法，再由其余的6人屮安排2人到第2辆车，有种分法，

3、然后依次 安排第3, 4辆车分别冇c：、c；种分法由于各车分派人数是相关的，而月.都必须安 排好，由乘法原理，共有c：=2520种分法.（2）要求每一个车上必须要有一男一女，我们不妨先把4个男同学分别派上4 辆车上，这显然是一个与顺序有关的排列问题，有厅种不同的方法再把4个女同学 安排上这4辆车，这自然也是一个排列问题，有用种不同的方法男、女安排是相关 的，而且每一辆车上的男女都必须搭配好，由乘法原理，共有：用用=576种不同的分法.（3）男女分别分组，4个男同学平均分成两组，有种方法（这是一个与 顺序无关的问题，这与把4个男同学平均分成两组分别上甲、乙两汽车的分法不同， 后者是与顺序冇关的，

4、其分法为c：（或g）种分法），同样，4个女同学平均分 成2组，也有c：/2 = 3种分法，由乘法原理，分组的方法就有3x3 = 9种，对于这样 的每一种分法中的4个小组分别上4辆不同的车，又有用种分法，再由乘法原理，所 以共有9x4=216种不同的分法.例2分配5个人分别担任5种不同的工作，如果甲不能担任第一种工作，乙不 能担任第5种工作，有多少种分配法？为了明确起见，我们可以用a,b,c,d,e表示这5个人，那么这个问题就是5个不同 兀素a,b,c,d,e全取的排列，求a不排在首位，不排在末位的排列数.解法一：因d不能在首位，因此排在首位的只能是b或c,d,e,所以可将所求的 排列数分为两类

5、：一类是b在前位，此吋余下的四个元素a,c,d,w不论怎么排都合要求，这种排列 有厅个，另一类是先想c,d疋三个元素之一排在首位，有片种方法次将b排在中间 3个位置上，又有尺种方法，最后将其它3个元索排在其它3个位置上，有厅种方法, 这3步是相关联的，而h必须都完成，由乘法原理，这类排列共有3x3x用个，再由 加法原理，所求的排列共有用+3x3x用=78个.故有78种合乎条件的排列法.（注）本题若不仔细分析，可能得出下而两个错误的解法：一是错谋的把题 设条件理解为匸与不同时排在首、末两个位置上”5个元索a,b,c,d,£的全排列有 尺个，其中a排在首位，同时b排在末位的排列数有1xx

6、1个，故所求的排列有 尺-用=114种第二种是计算的错误,5个元素的全排列有用种，这尺种包拈了 °为 首位的厅种，也包描了 b排在末位的厅种，故所求的排列有：p；-p：-p：=t1 种.现把上述两种错误解法加以改止，得到以下两种止确的解法：解法二：前一解法的错误在于没有把不合条件的排列都除去.因为在 用用=144种中，既包括a排在首位，但b不能排在末位上，也包括b排在末位， 但。不排在首位上，这两类排列数均为片-厅，所以，正确的答案为：用-耳-2（斗-用） = 78种.解法三：后一解法的错误在于忽略了在。排列首位的用种排列中和排在末 位的用种排列中有公共的部分，这公共的部分就是。排在

7、首位，同时b排在末位的 排列，这种排列数用被减去了两次，应补加一次才行，故正确的答案为：尺-马4_用+片3=78种.（注）解法一的特点是将所要求的排列先分解成若干类，然后分别计算各类 的排列数，最后相加，即分解法使用这种解法的要点是使适合所求条件的每一个排 列必须屈于而冃只能屈于所分的某一类；解法二与解法三的特点都是从所冇的排列 中排除不合要求的排法，即排除法使用这种解法的要点是必须把不合要求的排法排 除干净，既不能排除多了，也不能排除少了.例3从1,2,3,100中取两个数相乘，其积能被3除尽的有几对？“据两数z积能被3除尽的充分必要条件是至少冇一个因数是3的倍数二必须调 查在1, 2, 3

8、,100这100个整数中有多少个是3的倍数.解法一：（分解法）在1,2,3,100这100个数中3的倍数有33个，不是3的倍数的数有67个，两数之 积能被3整除的有而且只有下面的两情况：（1）所取2个数中有一个是3的倍数，另一个不是3的倍数，故共有c；3c：7对;（2）所取两个数都是3的倍数，共有c；对.由加法原理，能被3整除的数共有c：3 x c：7 + c； = 2739对.解法二：（排除法）先由1,2,3,100这100个数中，任取其两数之积有g爲个，在这c為个整数小, 不能被3整除的有而且只有c：个必须排除，所以合乎条件的有c爲-cl = 2739对.二、“插空法'，应用系列所

9、谓“插空法"，是指先排定某些元，再用余下的元插空的排法，这是大家很熟 悉的方法根据其应用的广泛性，可以归纳岀十个系列.（1）相邻排列与插空例 七人排一排，要求甲、乙两人z间止好隔两人的不同排法共有多少种？ 解：先在甲、乙两人之间插入两人排定，然后将这四人视作一个元，与其余三 人一起排列，共有厅用厅=960种.（2）不全相邻排列与插空例 由1, 2, 3, 4, 5组成的无重复数字的五位数屮，1, 2, 3不全相邻的五位 数有多少个？解：先排1, 2, 3成四个空，再用4, 5去插空，分为4与5连在一起或单个两种 情况去插空且不把4 , 5同时排在首末两位故所排的五位数共冇 用用尺+（

10、用一2） = 84木题的间接求解是：在1, 2, 3, 4, 5的全排列中去掉1, 2, 3全相邻的那些全 排列，所排的五位数个数是尺-用用=84（3）全不相邻与插空例 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演岀节目单，任何两个舞蹈节目 不得相邻，问有多少种不同的排法？解：先排6个歌唱节目的不同排法有用种；再用4个舞蹈节目插空，共冇用厅种 排法.（4）部分有序排列与插空例 a,b,c,d,e五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边（可以不相邻）, 那么不同的排法有多少种？解：先排定c,d,e三人有用种方法；然后由分单个或两个并一起插4个空, 共有c： + c；种插空方法.由乘法原理，共有排法用

11、（c： + c：） = 60种.（5）重复排列与插空例 由1, 2, 3, 4, 5组成的含三个相同数字的五位数共有多少个？解：先取3个不重复的数字，取法有c；利令某一个数字重复3次且排成一排 的排法是c；种；然后用不重复的两个数字插4个空，分单个或两个并一起插的方法 有厅+厅耳种，由乘法原理，共有五位数c；c；（厅+用”）= 600个.（6）圆排列与插空例 四个大人和四个小孩围坐一圆桌，大人之间，小孩之间各不相邻的坐法有 几种？解：四个小孩的圆排列为3!二6种；大人插空方法有用=24种.共有坐法6 x 24 = 144 种.（7）相间抽取与插空例在前100个口然数中抽取互不和邻的20个数，抽

12、取方法共有多少种？解：取80个相同的黑球排成一排，又取20个相同的白球去插黑球相间（含两端） 的81个空，有cf种.对于每种插法，把这100个球从左到右赋值为1, 2, 3, 100,便得一个合条件的抽法故共有cj种.（8）不定方程与插空例 已知方程兀+y + z = 15,求自然数解的个数.解：x,y,zww,且英和为15,构造如下模型：把15个1排成一排成14个相间 空（不含两端），用两个“（t插空，分15个1成3组，每组里分得1的个数依次记为兀,y,z 每个分法唯一对应着一个自然数解.故自然数解的个数共有= 91个.（13）有序分拆与插空例 上一个冇10级的台阶，每步可上1级或者2级，共冇多少种上台阶的方法？解:这一实际问题就是把10写成i或2之和，口加数（含顺序）不全相同.求共 有多少个分拆方法.以含有1的个数分类：含10个1时，有1种分拆方法；含8个1时，则含一个2,用2去插9个空的插法有c；种，每个插