2018年6月学业水平考试数学

1、一、选择题1.已知集合A1,2 ， B2,3 ，则 AB（）A. 1B. 2C. 1,2D. 1,2,3答案：B解答：由集合 A 1,2 ，集合 B2,3 ，得 AB2 .2.函数 ylog 2 ( x1)的定义域是（）A.(1,)B.1,)C.(0,)D.0,)答案：A解答： ylog2 ( x1)， x10 ， x1 ，函数 ylog 2 ( x1) 的定义域是 ( 1,) .3.设R ，则 sin()（）2A. sinB. sinC. cosD. cos答案：C解答：根据诱导公式可以得出sin()cos.24.将一个球的半径扩大到原来的2 倍，则它的体积扩大到原来的（）A. 2 倍B.

2、4 倍C. 6 倍D. 8 倍答案：D解答：设球原来的半径为r ，则扩大后的半径为2r ，球原来的体积为4 r 3，球后来的体积为34 (2r )332 r 332r 3，球后来的体积与球原来的体积之比为338 .334 r32 25. 双曲线 xy 1 的焦点坐标是（ ）169A. ( 5,0) ， (5,0)B. (0, 5) ， (0,5)C. (7,0) ， ( 7,0)D.(0,7) ， (0,7)答案：A解答：因为 a4 ， b3 ，所以 c5 ，所以焦点坐标为( 5,0) ， (5,0) .6.已知向量 a( x,1) ， b(2, 3) ，若 a / /b ，则实数 x 的值是

3、（）2A.32B.33C.23D.2答案：A解答：a( x,1) ，b (2,3) ，利用 a / /b 的坐标运算公式得到 3x2 0 ，所以解得 x2.37.设实数 x ， y 满足xy0y 的最大值为（）2xy，则 x3 0A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解答：作出可行域，如图：当 zxy 经过点 A(1,1)时，有 zmaxxy2 .8.在ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a ， b ， c ，已知 B45 ，C30 ， c1 ，则 b（）2A.23B.2C. 2D. 3答案：C解答：bcc sin B1 sin 452由正弦定理22 .sin B可得 bsin C

4、sin301sin C29. 已知直线 l ， m 和平面， m，则“ l m ”是“ l”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件答案：B解答：因为“直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线”，但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。10.要得到函数f ( x)sin(2 x) 的图象，只需将函数g(x)sin 2 x 的图象（）4A.向右平移个单位8B.向左平移个单位8C.向右平移个单位4D.向左平移个单位4答案：A解答：因为 f ( x) sin(2 x) sin 2( x) ，所以要得到 f ( x)

5、 sin(2 x) 的图象只需将484g( x) sin 2x 的图象向右平移个单位 .811.若关于 x 的不等式2xmn 的解集为 ( ,) ，则的值（）A. 与 m 有关，且与 n 有关B. 与 m 有关，但与 n 无关C. 与 m 无关，且与 n 无关D. 与 m 无关，但与 n 有关答案：D解答： 2x m nn2x m nm nm nx22mn mnn 有关 .2n ，与 m无关，但与212.在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，N ，AB6， ADDC2，BC 23 ，则该几何体的正视图为（）A.B.C.D.答案：C解答：画三视图要注意：可见

6、轮廓线要用实线，不可见轮廓线要用虚线，所以选C13. 在如图所示的几何体中，正方形 DCEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AB/ /DC ，AB6，ADDC2，BC2 3，二面角 E AB C 的正切值为（）A.33B.32C. 1D.2 33答案：D解答：过点 C作CMAB 连接 EM , 因为平面DCEF 与平面 ABCD 垂直且 ECDC ，所以EC平面 ABCD, 所以EC AB, 所以AB平面 EMCEMC即是两平面的二面，所以角. 过 C 作 CN / /AD ，所以四边形ADCN 为平行四边形，所以CN2，CB=2 3， BN4,所以 CM3EC2 3, tan EMC

7、3CM14. 如图， A ， B 分别为椭圆 C : x2y21(a b 0) 的右顶点和上顶点， O 为坐标原ab点， E 为线段 AB 的中点， H 为 O 在 AB 上的射影，若 OE 平分HOA ，则该椭圆的离心率为（）A.133B.32C.3D.63答案：D解答：法一：设 EOA， HOA2，则 tanBOb1aOA， tan 2kAB，结合正切的二aba2bc6倍角公式知a，化简得 a23b2b1 b2，故 e.a3a2法二：AB a22， EAa2b2， HAOA cosHAO aaa2，b2b2a2a2b2a2b2OA OBab.HE HA EA， OHABa22 a2b2b2

8、由内角平分线定理，OAEA ，代入化简得 a23b2，故 ec6.OHEHa315.三棱柱各面所在平面将空间分为（）A.14 部分B.18 部分C.21 部分D.24 部分答案：C解答：想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，俯视图如图所示，分成 7 个区域 . 拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），分成上中下三个大块，每个大块 7 个区域，共 21 个区域 .(x n)216. 函数 f ( x)e m（其中 e为自然对数的底数）的图象如图所示，则（）A.m0 ， 0n1B.m0 ，1n0C.m0， 0n1D.m0， 1n0答案：C解答：x

9、2yem 为偶函数，向右移n 个单位为 f ( x) ，由图可知 0n 1，当 x时， y0，故 m0 .17.数列 an 是公差不为0 的等差数列， Sn 为其前 n 项和 . 若对任意的 nN ，有 SnS3 ，则 a6的值不可能为（）a54A.33B.25C.3D. 2答案：A解答：由 SnS3 可知公差 d0 ， a30 ， a4 0 .法一：如图，在数轴上标出数列 an ，不妨设原点O 到 a4 的距离为 m(0m1) ，公差 d1 .则 a6m2113,2 .a5m1m 12法二：a6a5 d1d ，由上图可知，d 是 a4a5占 Oa5的比值，这个比值与m 的大小有a5a5a5a

10、5关， m 越大，这个比值越小，所以d 1 ,1 ， a6 3,2.a52a5218. 已知 x ， y 是正实数，则下列式子中能使xy 恒成立的是（）A.21xyy x11B.xy2yxC.21xyyxD.11xy2yx答案：B解答：对于 A，取 xy ，该不等式成立，但不满足xy ；对于 C，该不等式等价于1y20 ， y1，该不等式成立， 但不满足 xy ；x，取 xxy对于 D，该不等式等价于11xy，取 x0y1，该不等式成立， 但不满足xy ；x，2 y下面证明B法一：该不等式等价于1y1111x，而 xxyy.x2y2 yy函数 f ( x) x1) 上单增，故 x y .在 (

11、0,x法二：若 xy ，则 11，故 x1y1，矛盾 .2yx2yx二、填空题19.圆 ( x - 3)2 + y2 = 1 的圆心坐标是 _，半径长为 _.答案：(3,0) ；1 .解答：因为圆 ( x - 3)2 + y2 = 1 ，所以圆心坐标为(3,0) ，半径 r = 1.20. 如图，设边长为4的正方形为第个正方形，将其各边相邻的中点相连，得到第2个1正方形，再将第2 个正方形各边相邻的中点相连，得到第3 个正方形，依此类推，则第6 个正方形的面积为_.答案：1 .2解答：第 1 个正方形边长为4，面积 S116, 第二个正方形边长为2 2，面积 S28, 以此类推得161到 Sn

12、 2n 1 ，所以 S6 221.已知 lg alg blg( ab) ，则实数 a 的取值范围是 _.答案：4,) .解答：易得abb21a b ，故 a1b 12 .bb 1b 11bb0由 ab 0得b2，故 b1，所以 a 2 2 4 .0b122.已知动点 P 在直线 l : 2x y2上，过点 P 作互相垂直的直线PA ， PB 分别交 x 轴、y 轴于 A 、B 两点，M 为线段 AB 的中点， O 为坐标原点， 则 OMOP 的最小值为 _.答案：2 .5解答：设 P(t,22t ) ，lPA:(22)xt，A(2mt 2mt,0)，m y tl PB : y 2t2 m(xt

13、) ， B(0, mt2t2) ，故 M (mtmt , mtt 1) .22OM OP t (m(t 1)t )2(1 t )( mtt 1)t 22(1 t )25 t24t 22.22225三、解答题23. 已知函数 f ( x)1 sin x3 cos x ， x R .22（）求f () 的值；6（）求函数f ( x) 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合 .答案：（） 1；（）f (x)max1 ， x | x2k6, kZ.解答：（） f ( )1 sin3 cos1316262644.（）因为 f ( x)cossin xsincos xsin( x) ，所以，函数 f (

14、x) 的最大值为1，333当 x2k，即 x 2k6(kZ ) 时， f ( x) 取到最大值，所以，取到最大值时32x 的集合为 x | x2k,kZ .624.如图，直线 l 不与坐标轴垂直，且与抛物线C : y2x 有且只有一个公共点 P .（）当点P 的坐标为 (1,1)时，求直线 l 的方程；（）设直线 l 与 y 轴的交点为R ，过点 R 且与直线 l 垂直的直线m 交抛物线 C 于 A ，B 两点.当 RA RB2RP 时，求点 P 的坐标 .答案：（） x2y10 ；11（）(,).解答：（）设直线l 的斜率为 k(k0) ，则 l 的方程为y1k( x1) ，联立方程组y1k

15、( x1)y1 k0 ，由已知可得14k (1 k)0 ，解得y 2x，消去 x ，得 ky2k1，故，所求直线 l 的方程为 x2 y10 .2（）设点 P 的坐标为 (t 2 ,t) ，直线 l 的斜率为 k (k0) ，则 l 的方程为 ytk( x t 2 ) ，联立方程组ytk( xt2 ) ，消去 x ，得 ky2yt kt20 ，由已知可得y2x14k(tkt 2 )0 ，得 k1(t0)，所以，点 R 的纵坐标 tkt 2t ，从而，点 R 的2t2纵坐标为 (0, t ) ，由 ml 可知，直线m 的斜率为2t ，所以，直线 m 的方程为 y2txt.22设 A( x1 ,

16、y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，将直线 m 的方程代入 y2x ，得 4t 2 x2(2t 21)xt 20 ，4所以(2t 21)24t 44t 210 ， x1 x21，又RA1 4t 2x1，16RB14t2x22412RB2，得 (14t2) x1x241 2， RPtt，由 RARPtt，即 1 (1 4t 2 )1 t 2 ，解得 t41，所以，点 P 的坐标为 ( 1 ,1 ) .4t 416424225.设函数 f ( x)3 ax(xa)2，其中 aR .（）当 a1 时，求函数f (x) 的值域；（）若对任意x a, a1 ，恒有 f ( x)1，求实数 a 的取值范围 .答案：（）( ,21 ；4（） 1,0 .解答：（）当 a1 时， f ( x)x25x1, x0x2x1, x，0（）当 x0 时， f ( x)(x5 )221，此时 f ( x)(,21；244（）当 x0 时， f ( x)( x1 )23，此时 f (x)(,3 ，244由（）（），得f (x) 的值域为 (,21 .4（）因为对任意x a, a1 ，恒有 f ( x)1，所以f ( a)1，即f (