411实数基本概念及化简讲义学生版

1、数的开方目IMI返叩板块一平方根、立方根、实数实数可按下图进行详细分类:.正整数'整数P 负整数'正分数 负分数分数'正无理数负无理数实数与数轴上的点一一对应.无理数有限小数或无限循坏小数无限不循环小数（以下槪念均在实数域范围内讨论）平方根的定义及表示方法：如果一个数的平方等于d,那么这个数叫做d的平方根. 也就是说，若x2=</,则x就叫做a的平方根.一个非负数"的平方根可用符号表示为“土苗二算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做。的算术平方根，可用符号表示为0 有一个平方根，就是0, 0的算术平方根也是0,负数没有平方根，

2、当然也没有算术平方根（负数的平方根 在实数域内不存在，具体内容爲中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若6/>0,则>0.内容基本要求略高要求较高要求平方根' 算 术平方根了解平方根及算术平方根的概念.会用根号表 示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方根运算求某些数的立方根实数了解实数的概念会进行简单的实数运算二次根式及 其性质了解二次根式的概念.会确定二次根式有危义 的条件会运用二次根式的性质进行化简能根 据二次根式的性质对代数式做简収变 型，在给定条件

3、下.确定字母的值平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不 是另一个数的平方根或算术平方根.通过验算我们可以知道：当被开方数扩大（或缩小"2倍,它的算术平方根相应地扩大（或缩小川倍（H>0）.平方根和算术平方根与被开方数之间的关系： 若a>0 9= u :不管。为何值，总有）-</（</ < 0）注意二者之间的区别及联系.若一个非负数d介于另外两个非负数5、“2之间，即时，它的算术平方根也介于曲、辰之 间，即：肩血 <応利用这个结论我们可以来估算一

4、个非负数的算术平方根的大致范围.立方根的定狡及表示方法：如果一个数的立方等于a ,那么这个数叫做a的立方根，也就是说，若则x就叫做a的立方根，一个数a的立方根可用符号表“長“,其中“3"叫做根指数，不能省略.前面学习的“、历''其实省略了根指数即：需也可以表示为需.扬读作“三次根号需读作“二次根号水； 丽读作“根号a：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算.可以通过立方运算来求一个数的立方根, 以及检脸一个数是不是另一个数的立方根.通过归纳

5、我们可以知道：当被开方数（大于0）扩大（或缩小“F倍，它的立方根相应地扩大（或缩小川倍.运 = a , （yfa）3 = a若一个数a介于另外两个数q、之间，即它的立方根也介于扬和瓯之间，即断<扬<販利用这个结论我们可以来估算一个数的立方根的大致范国.、实数的概念【例1】在实数0,1,迈，0.1235中无理数的个数是（）A. 0B1C2D3【例2】 有一个数值转换器原理如图所示，则当输入兀为64时，输出的y是（） 斤理蛙 输入x A 取算术平方根 A 输出yTm理数A. 8B. 22 C 2、/?【例3】证明血是无理数。【巩固】说明边长为1的正方形的对角线的长度为血。【例4】 卜而

6、有四个命题： 有理数与无理数之和是无理数. 有理数与无理数之枳是无理数. 无理数与无理数之和是无理数. 无理数与无理数之积是无理数.请你判断哪些是正确的，哪些是不正确的，并说明理由。【巩固】己丸I在等式竺辿"中，心方心为有理数，X足无理！ cx + d(1) 当a.b.cd满足什么条件是，$是有理数？(2) 当a.b.cd满足什么条件是，s是无理数？【例5】若凹是不等于1的有理数，求证：仝为有理数。【巩固】已知“是两个任意仃理数，且问是否存在无理数a ,使得avavb成立？二、数的开方【例6】I-9I的平方根是（A. 81B ±3C 3D 一3【例7】下列命题中，真命题是（

7、）A. 200F的平方根是2001B. -49的平方根是士7C. >/64 = ±8D.若a2 = b2，则后=册【例8】若A = J（/+9）“ ,则A的算术平方根是。【例9】判断下列各题，并说明理由（I）78?的平方根是±9.（）需一定是正数.（）/的算术平方根是a（）若J（“）2 =5,贝iJ"=5.（） >/9=±3 （）-6是（-6）2的平方根.（）（一6尸的平方根是-6.（）（8）若 »=36,贝 lJx = ±V36=±6 （）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等.（）（10）如果两个非负数相等

8、，那么这两个数各自的算术平方根也一左相等.（）（II）算术平方根一定是正数.（）一/没有算术平方根（）（13）64的立方根是±4（）（14）是一丄的立方根.（）2 6（15）V? = x （）（互为相反数的两个数的立方根互为相反数.（）（17）正数有两个互为相反数的偶数次方根，任何数都有唯一的奇数次方根.（）【例10是整数，则心皿只丿山小匸冇理数的a的值是【巩固】已知： 顾是整数，则满足条件的最小正整数“为（）A. 2B3C4D5【例11】若/=（一2）2,贝ljd =:若（一疔=（一3）2 ,则“【例12】若4 = 2,则（2x + 5）的平方根是；若v? = 5,贝叮=【例13】

9、方程7?二7 = 2的根是.【例14】已知某正数的两个平方根是3“-5与“ + 1，求这个正数.【巩固】若一正数的平方根是 + 6与加+ 9.求这个正数.【例15】己知"为两个连续整数.且a<l<b 则【巩固】已知数肩的小数部分是b,求戻+12+37戾+砂-20【例16】当m<0, m2的算术平方根是【巩固】（“-bF算术平方根是“-b,贝山b.【例17】若一个自然数的一个平方根是加，那么比它大I的自然数的平方根是.【例18】8的立方根是（）A. 2 B ±2 C 4D ±4【巩同】若57的绝对值是（A. 3 B. 一3【例19】爲的相反数是:阿

10、的立方根是【巩固】平方根等于本身的数是,算术平方根等于它本身的数是,立方根等于它本身的数是:平方根与立方根相等的数是【例20】若 1.815848=1.22,则 #-1815848=【例21】若宀（一3）-2）3求x+y所有可能值.【例22】求x的值：1（5a -1）2-3 = 0:【例23】求x 的值：（10-0.2X）3 =-0.027【例25】已知（2“ +莎=：-27 莎二羽=5,求（3“ + 严|的值（为正整数）.【例26】已知“-2的平方根是±2，加+ b + 7的立方根是3,求a2+b2的平方根.【巩固】已知x+y的负的平方根是-3, x-y的立方根是3,求2x-5y的

11、平方根.【例27】已知口 =(y兀，-VL®,314,0.61414,0.1001000100001这7个实数中，无理数的个数是()A. 0B1C2D3 V16的平方根是： (-2.5)2的平方根是：(-血尸的平方根是.=h(y<0),且J(4a-b)2=8(b>4“),=18,求巧的值.【例28】若返7二T和旳二衣互为相反数，求丄的值.【例29】求 1995 +1995, -19962+19962 的平方根.【巩固】设 = 20082006 x 2OO82OO8个数的平方根是a1 + b2和4“ -6b +13，求这个数. - 20082007 x 200820053,求越7【例30】(1995年第6届希望杯全国数学邀