a由一道征解题引的探究

1、由一道征解题引发的数学探究蒋明斌(637851，四川蓬安中学)数学通讯（上半月）2010年第9期征解题第28题：设，为正奇数,求证能衬被整除.此题涉及到自然数的方幂和，自然数的方幂和是一个有趣的问题，下面来探究其求法与性质。1、自然数的方幂和的求法记，高中课本中已经给出了： (1) (2) (3)其中(1)可以用等差数列前项和公式求得，而(2) 、(3)课本中没有给出求法，只是作为数学归纳法证题的例或习题，一般学生都会问（）、（）是怎么得来的？其实（）、（）、（）都可以通过裂项和递推求得。1.1. 由，取，得个等式并相加得，解得；由，取，得个等式并相加得，将代入，解得；由，取，得个等式并相加得

2、，将、代入，解得；一般地，由，取，得个等式并相加得，所以（）将、.代入(4)就可以求出，这就得到了就求自然数方幂和的递推公式(4)。但是(4)在处理有些问题（如上述征解题）并不方便，因为上述征解题仅涉及到自然数的奇次方之和。下面我们来探究仅涉及到自然数的奇次方、或偶次方之和的递推式。1.2. 注意到,取，代入得个等式并相加得 (5)当为偶数时，所以（5）中，只有奇次方之和，设，则，即= （6）（6）仅涉及自然数的奇次方之和，应用它求自然数的奇次方之和很方便，例如别取、3得 （7）1.3. 注意到,取，代入得个等式并相加得 (8)当为奇数时，所以（8）中，只有偶次方之和，设，则，即= （9）（9

3、）仅涉及自然数的偶次方之和，应用它求自然数的偶次方之和很方便，例如分别取，并注意到得，2征解题的解答用上述递推公式（6）及第二数学归纳法，很容易证明征解题，第二数学归纳法 若与正整数有关的命题满足：当，命题成立； 假设对，命题成立，可以推广当命题也成立，那么对一切正整数，命题成立。征解题的证明：设,，由知，只需证能被整除，下面用第二数学归纳法证明当时，能被整除。假设时，能被整除，那么当时，由前述递推公式（6），有= （10）设，由知，能被整除，所以能被整除，又由归纳假设知，能被整除，则能被整除，由（10）知能被整除。即当时，能被整除。综合、知，对一切正整数，能被整除。故能衬被整除.3征解题的结

4、论的拓广3.1仿第2节，由递推公式（4）容易证，当为正整数时，征解题的结论仍成立，即有拓广1 设，为正整数， ，则能被整除. 3.2注意到、以及，可以猜测：（i）当为奇数时且，能被整除；（ii）当为正偶数时，能被整除。证明：（i）为奇数时且，设，只需证，能被整除。当时，显然能被整除；假设当时，能被整除，那么当时，由第2节的递推公式（6），有= （11）设，由知，有因式， 所以能被整除，又由归纳假设有能被整除，所以能被整除，所以 能被整除，由（11）知能被整除，即当时能被整除。综合、知能被整除，故当为奇数时且，能被整除。（ii）当为正偶数时，设，只需证能被整除。当时，显然能被整除；假设当时，能被整除，那么当时，由第2节的递推公式（9），有 （12）设，由，知有因式，即 能被整除，所以能被整除，又由归纳假设有能被整除，所以能被整除，所以，能被整除，由（12）知能被整除，即当时能被整除。综合、知能被整除，故当为正偶数