2017春季四年级奥数班讲义

1、2017 春季四年级奥数班讲义合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制2 / 22第 一 讲定义新运算 ( 又名: 自定义 ) 例 1: 规定一种运算 : a b=3a4b, 例如,2 5=3245=620=26,52=3542=158=23, , 根据以上规律计算 : 102 2 10 简析: 本题属于“用字母表示数”的学习内容, 重点是弄清规定 , 找出规律 . 含义为 : 给定两个数 a 和 b, 用 3 乘第一个数 a, 用 4 乘第二个数 b, 并将结果相加 10 2 210 =31042 = 32410 =308 = 640 =38 =46 式中的“”为“关系符号

2、” ，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等 计算完毕后比较一下 : 定义新运算中 , 交换律适用吗 ? 配套练习 : 1. 规定一种运算 :mn=4m 3n, 根据以上规律计算 :5 3 2. 规定一种运算： ab=ab ab，试求： 6 4 例 2：对于两个数a 和 b，规定： ab=a+3 b+4，试求： 123 1 23简析：本题是例 1 的发展，重点在于弄清运算顺序。其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。应该用发展的、动态的眼光对待a 和 b. 1 23 = 1+3 2+4 3 a=1,b=2=46 3 =243 =24+

3、3 3+4 a=24,b=3=277 =189 1 23=1 2+33+4 a=2,b=3=15 7 =135 =1+3 35+4 a=1,b=35 =439 =156 配套练习 : 1. 对于两个数a 和 b, 规定 ab=a+5b,试求 1 23 1 23注意:5b 表示 5b 或 b5 2. 对于两个数 a 和 b, 规定:a b=a2 b2. 试求:3 54例 3: 如果 23=2+3+4,52=5+6,45=4+5+6+7+8,.照此规律 , 计算 3合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制3 / 225 8 3 简析: 本题是自找规律 , 通过观察 , 找到 a

4、和 b 之间的关系是关键 . 首数字是第一个数, 每组数是递增的 , 个数的多少受第二个数的限制, 第二数是几, 加数就是几个加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算. 3 5 83 =3+4+5+6+7 =8+9+10 =25 =27 注: 本组计算有技巧 , 你能发现吗 ? 配套练习 : 1. 如果 53=567,2 4=2345, 按此规律计算 :3 4. 2. 如果 24=242+4,3 6=3636, 按此规律计算 :8 4 例 4: 规定一种运算 :5c3=543 321=10,6c2=65 21 =15,10c4=10987 4321=210,按此规律计算 :7c4 简析:

5、 本题是高二的排列组合问题, 在小学属于“阅读与理解”的内容. 在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途. 本题是例 3 的具体应用 , 难度较小 . 鼓励学生自主完成 . 解答过程 : 略. 第 二 讲一. 阔 步 课 堂例 1: 甲乙两数的乘积是60, 如果甲数扩大 5 倍, 乙数不变 , 乘积是多少 ?如果甲数不变, 乙数扩大 5 倍, 乘积是多少 ?如果甲乙都扩大5 倍, 乘积是多少 ? 简析 : 扩大几倍 , 就是某数乘几 . 可通过具体算式探讨规律. 再运用规律解决问题. 605=300 60 5=300 60 55=1500 二. 盈亏问题例 1: 将一堆苹果分给小朋友 ,

6、 每人分 9 个, 则少 45 个; 每人分 7 个, 则多 5 个. 有多少人 , 共有多少个苹果 ? 简析: 本题属典型的盈亏问题 . 多为“盈” , 少为“亏” . 重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系 . 可借助线段图加以理解. 苹果总数和人数是不变的, 两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的. 总数相差多少 ?借助线段图直观显示 (图略) 45+5=50 （个） 每人分配相差多少 ? 9 7=2（个） 一共有几人 ? 50 2=25（人） 一共有几个苹果 ? 9 2545=180（个）或者 25 7+5=180（个）做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系答：略配套

7、练习 : 某校有若干个学生寄宿学校. 若每一间房住 6人, 则多 40人; 若每间房住 8人,则最后一间房少2 人. 有多少住宿学生和多少间房? 数学兴趣小组同学做数学题, 如果每人做 6 道题, 则少 4 道; 如果每人做 4 道合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制4 / 22题, 则多 10 道. 有多少个学生和多少道题? 例 2: 同学们去划船 . 每船坐 4 人, 则少一条船 ; 如果每条船坐 6人, 则多出 4条船 .有多少条船和多少人 ? 简析: 本题是例 1 的升级 . 将盈与亏复杂化 . 少一条船 , 意味着多出 :4 人此为盈 ; 多出 4条船, 意味着

8、少 :6 4=24（人） , 此为亏 . 然后借助例 1 的程式化解答方式求解 . 总数相差多少 ?41+46=28（人） 每条船坐的人数相差多少? 6-4=2 （人） 有几条船 ? 282=14（条） 有多少人 ? 1444=60（人）或者 14 646=60（人）答：略配套练习 : 学校给新生分配宿舍 , 如果每间住 8 人, 则少 2 间房; 如果每间住 10 人, 则多出 2 间房. 一共有几间房和多少人 ? 一个学生从家到学校 , 如果以每分钟 50 米的速度行走 , 就要迟到 8 分钟; 如果以每分钟 60 米 的速度行走 , 就可以提前 5 分钟到校 . 这个学生出发时离上学时间

9、还有多少分钟 ? 例 3: 学校派一些学生搬一批树苗. 如果每人搬 6 棵, 则差 4 棵; 如果每人搬 8 棵,则差 18 棵. 学生有多少人 ?有多少棵树 ? 简析: 本题属双亏问题. 重点在于理解总数相差多少. 仍然借助线段图解决问题（图略）. 总数相差多少 ?18-4=14（棵） 每人搬的树苗相差多少 ? 8 6=2（棵） 有多少人 ? 142=7（人） 有多少棵树 ? 7 64=38(棵) 答：略配套练习 : 科学课堂上 , 老师给同学们发树叶 . 如果每人分 6片, 少 7片; 如果每人分 8片,则少 17 片. 有多少片树叶 ? 一堆苹果分给同学们 . 每人 4个, 多 8个;

10、若每人 2个, 多 18个. 学生有多少人 ? 第 三 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 有两桶水 , 如果从第一桶倒10 升给第二桶 , 那么两桶水一样多 . 已知两桶水一共有 120升, 这两桶水各有多少升 ? 简析: 本题属和差问题 . 可以用线段图帮助理解 . 也可用公式解决 . 方法一 : 倒着做 . 从总重入手, 倒推各有多少升:120 2=60（升）第一桶有:60+10=70（升） , 第二桶有 60-10=50（升） 方法二 : 画线段图 . 变不平均分为平均分 . a方法一 : 都与第二桶同样多 :120-10 2=100（升）合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家

11、长老师编制5 / 221002=50（升）第二桶第一桶 :120-50=70 （升）b 方法二 : 都与第一桶同样多 :120+102=140（升） 140 2=70（升）第一桶第二桶 120-70=50 （升） 直接用公式 ( 略) 答：略二 . 替换法例 1. =200,=5 则=（）=（）简析: 这是符号化的替换 , 比较直观 . 有两种替换方式 . 替换成 : 每个加5, 正好可将换成 .3 个加 53=15,现在的总和是200+15=215, 正好 是 5 个 的 总 和 , 所以 每 个 是 :215 5=43, 因 此 是:43-5=38 替换成 : 每个减去5, 正好可以替换成

12、. 每个减少5, 一共减少 :5 2=10,现在总和是 200-10=190, 这是 5个的总和 . 每个为 :1905=38,每个为:38+5=43 配套练习 : 1.=300, =5, 则是几 ?是几? 2.甲乙共有 600 元, 甲比乙多 10 元. 甲乙各有多少元 ? 学生做完后思考 : 本题与和差问题有什么相通之处? 例 2: =210, =3, 则=( ),=( ) 简析: 本题是例1 的变式 . 本质相同 . 区别在于替换条件有所变化. 因计算条件限制, 替换只能以大换小 . 第二个条件是替换根据 . 一个可换 3 个. 一共可换 32=6（个）, 现在共有6+1=7(个) ,

13、所以每个为 :2107=30,每个为 :30 3=90 配套练习 : 1. 长方形周长 80厘米, 长比宽长 2 厘米. 求长方形的长与宽各是多少. 2. 甲乙共有 600 元. 甲的钱是乙的2 倍. 甲乙各有多少元 ? 做完后思考 : 本题与和倍问题有什么相通之处? 例 3: 等腰三角形的顶角比底角大18o. 求它的顶角与底角度数 . 简析: 本题是替换法的实际应用. 如何替换是关键 , 弄清底角与顶角概念也很重要. 等腰三角形两腰的夹角是顶角, 底与腰的夹角是底角. 等腰三角形有两个相等的底角. 全替换成底角 : 顶角去掉 18o, 变成底角 , 三底角之和是 :180 o-18o=162

14、o, 每个底角度数为 :162o3=54o, 则顶角为 :54 o18o=72o 全替换为顶角 : 每个底角增加18o, 一共增加18o2=36o. 此时三个顶角之和为:180o+36o=216o, 每个顶角度数为 :216 o3=72o, 则底角为 :72 o-18o=54o答：略配套练习 : 1. 等腰三角形的底角比顶角大18o, 则底角与顶角各是多少度? 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制6 / 222. 等腰三角形的底角度数是顶角的2 倍, 则底角与顶角各是多少度? 例 4: 甲乙共有 210 元. 甲的钱比乙的 3 倍多 10 元. 甲乙各有多少元 ? 简析:

15、 本题属“不完整倍数问题”, 关键是变“不完整”为“完整”. 基本思想是 : 多退少补 从甲的钱数里去掉多出的10 元, 此时甲乙共有210-10=200（元） , 甲的钱正好是乙的 3 倍. 画线段图 , 弄清 200 元与倍数间的关系 . 顺利解答 :200（3+1）=50（元） ,从而甲的钱数为503+10=160（元）或者 210-50=160（元）答：略 完成后思考 : 本题与“和倍问题”有何相通之处? 配套练习 : 1. 甲有 200 元, 比乙的 4 倍多 40 元. 乙有多少元 ? 2. 甲乙共有 300 元. 甲比乙的 3 倍少 60 元. 甲乙各有多少元 ? 第 四 讲一

16、. 阔 步 课 堂例 1: 三角形的周长是20 厘米. 则三角形的最长边长度小于（ 10 ）厘米 . 简析: 本题属于三角形三边关系的内容. 重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边, 从而最长边小于202=10（厘米）例 2: 把一根 16 厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）, 围成一个三角形 ,可能围成多少种不同的三角形? 简析: 本题是例 1 的发展 , 根据同样的道理求解 . 可先确定最长边的范围 . 最长边的范围 : 最长边小于 162=8（厘米） 小于 8, 且另两边都不大于8, 则 16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,

17、共有 5种答：略配套练习：用 12 根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？（不许弯折）二. 还原问题例 1: 一个数的 7 倍减去 5 再加上 2, 然后除以 3 得 20. 求这个数 . 简析: 本题从最后的条件入手解答, 也叫“倒着做” . 一般用分步式解答 . 203=60 60-2=58 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制7 / 22 58+5=63 637=9 配套练习 : 1. 甲, 乙, 丙三人各有人民币若干元. 甲给乙 125元, 乙给丙 135元, 丙给甲 40 元.这时三个人的钱数都是365 元. 甲, 乙, 丙三人原来各有多少元? 2. 一

18、个数乘 9, 加上 19, 再乘 2, 最后除以 2 等于 109, 这个数是多少 ? 例 2: 马大哈做减法计算时 , 把减数个位上的1 看成 7, 把被减数十位上的6 看成9, 结果得到差为 600. 正确的差是多少 ? 简析: 本题属于“还原问题”的变式。减数多了7-1=6，就是差少了6；被减数多算了 90-60=30，差增加了 30. 于是本题可转化为还原问题: “某数减 6，再加 30，得 600, 求这个数”。 7-1=6，90-60=30 600-30+6=576 配套练习：1. 粗心的王蕾在做加法试题时， 把个位上的 5 看成看 6， 把十位上的 8 看成了 3，结果得到和为

19、123，正确的答案应该是多少？2. 小马虎甲在计算一道三位数乘两位数乘法时，把一个乘数个位上的5误写成 3，乘得的积是 4485；小马虎乙却把这个5 错写成 8，乘得的积是 5460.正确的积是多少？例 3：袋子里有一些球，熊爱华每次拿出其中的一半再放回去1 个球，这样共操作了 4 次，袋中还有 5 个球。袋中原来有多少个球？简析：本题操作步骤较多，可以从第四次操作后袋中还有5 个球往前倒推。 第三次操作后还剩几个球？（5-1）2=8（个） 第二次操作后还剩多少个球？（8-1）2=14（个） 第一次操作后还剩多少个球？（14-1）2=26（个） 开始有多少个球？（ 26-1）2=50（个）答：

20、袋中原来有50个球。配套练习：袋子里一共有若干个棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2 个，这样一共拿了5次，袋中正好没有棋子了。原来袋中有多少个棋子第 五 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 一个房间 , 用边长 6 分米的方砖来铺 , 需要 500块; 改用边长 5 分米的方砖来铺, 需要多少块方砖 ? 简析: 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制8 / 22本题属铺地问题 . 铺地并非只沿着边来铺, 所以不能算周长 , 要算地面的大小即面积 . 原来一块砖的面积多大? 6 6=36（平方分米）房间有多大 ?36500=18000（平方分米）现在每块砖面积多大 ? 55=25

21、（平方分米）现在要多少块砖 ?1800025=720(块) 答: 略例 2:( 文字题 )28 与 14 的和除以它们的差 , 结果是多少 ? 简析: 文字题重点在于计算顺序, 可以看做是小型化的应用题. 可以运用“遇和、差 、 再 , 括号自然来”辅助列式计算. （28+14）（ 28-14）=4214 =3 配套练习 : 用边长 4 分米的方砖铺地 , 需要 600 块. 改用面积 30 平方分米的方砖来铺 , 需要多少块 ? 二. 数码问题例 1: 一个两位数 , 十位数字是个位数字的2 倍. 如果这个数加上 4, 所得的两位数的两个数字相同 . 求这个两位数 . 简析: 本题属于“简单

22、枚举” , 可以把符合第一个条件的两位数列举出来, 再根据后面的条件进行排除 . 符合第一个条件的两位数有:21,42,63,84 把每个数加 4 后进行排查 :21+4=25, 两个数字不相同 42+4=46, 两个数字不相同 63+4=67, 两个数字不相同 84+4=88, 两个数字相同 , 符合条件 . 答: 这个数是 84. 配套练习 : 一个两位数 , 个位数字是十位数字的3 倍. 如果把这个数加 7, 则这两个数字就相同 . 求这个数 . 例 2: 一个两位数 , 其数字之和是5, 如果这个数减去9, 则两个数字的位置互换 .求原来的两位数 . 简析: 本题属于例 1的巩固与拓展

23、 . 也采用列举法进行筛选 . 符合第一个条件的两位数有:14 与 41,23 与 32,50 用后面的条件进行排查:14-9=5, 不符合条件 41-9=32,不符合条件 23-9=14,不符合条件 32-9=23,符合条件 50-9=41,不符合条件答: 这个数为 32. 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制9 / 22例 3:4 个连续自然数之和为206. 则这 4 个自然数各是多少 ? 简析: 本题属于“寻找规律 , 运用规律”的内容 , 可以先通过对任意4 个连续自然数的观察研究 , 寻找规律 : 等差. 再进行计算以最小数为基准 : 后面三个数分别比第一个数大

24、1,2,3. 所以从总和里去掉1,2,3 后, 四个数大小相等 . (206-1-2-3)4=50 , 50+1=51,51+1=52,52+1=53. 四个数为 50,51,52,53 以最大数为基准 : 前面的三个数分别比第一个数小1,2,3. 因此, 只要把总和增加 1+2+3=6,四个数就大小相等了 . (206+1+2+3)4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50 四个数为 50,51,52,53 以中间数为基准 : 中间两个数的和是 :206 2=103 两数相差1, 属于“和差问题”, 较大数为 : （103+1）2=52, 较小数为 : （103-1）2=51.

25、 则其余两个数为 :52+1=63,51-1=50 配套练习 : 5 个连续自然数之和为105, 求这 5 个数各是多少 . 例 4: 一本书共有 246 页, 求从第一页到最后一页 , 编这本书的页码一共用了多少个数字 ? 简析: 本题体现了分类思想 ,. 要做到有条不紊 , 必须合理分类 . 1-9 页,9 个数,9 个数字10-99 页,90 个数, 共有 902=180(个) 数字100-246 页, 共 147 个数, 共有 1473=441(个) 数字一共用了多少个数字 ? 9+180+441=630( 个) 数字答: 一共用了 630个数字 . 第 六 讲一 . 阔 步 课 堂就

26、大家提出的问题讲解一至两个: 略二. 容 斥（重叠）问题例 1. 某班 40 名同学参加书法或绘画活动. 参加书法的有 30 人, 参加绘画的有 15人. 两种都参加的有多少人 ? 简析: 本题是关于重叠的内容. 获得基本解题模式是关键. 其基本模式是a+b-c=不重复总数 . 画图 ( 略), 用序号标清数量解答 :30+15-40=5( 人) 也可以借助图形分类计算( 略) 配套练习 : 五年级有 200 名学生参加语文、数学考试, 每人至少有一门优秀 . 其中语文优秀的有 110人, 数学优秀的 150 人. 语文和数学都优秀的有多少人? 例 2: 某小学选出 10 人参加区级作文和书法

27、比赛. 结果人人获奖 . 其中 3人两项比合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制10 / 22赛都获奖 , 作文比赛 6 人获奖 , 书法比赛几人获奖 ? 简析: 本题是例 1 的变式题 . 处理方法基本相同 . 作文获奖人数 +书法获奖人数 -都获奖人数 =10 人 10+3-6=7 （人） 想一想 : 下面的算式有什么道理 ? 10-6+3=7（人） 10-(6-3)=7（人）配套练习 : 一个班有 50 人, 他们分别订了数学大世界和中国少年报, 其中订阅数学大世界的有30 人, 两种都订阅的有12 人, 订阅中国少年报的有多少人 ? 例 3: 某班 56 人, 参加

28、语文竞赛的有28 人, 参加绘画比赛的有27 人, 两项都没有参加的有25 人. 那么同时参加比赛的有多少人? 简析: 本题增加了不参加比赛的人. 既然没参加 , 那就从总人数里去掉这些人, 剩下的就是至少参加一项的人了. 参加比赛的有多少人 ? 56-25=31 （人）两项都参加的有多少人 ? 28+27-31=24 （人）下面的算式有什么道理 ? 28-(56-25-27)=24（人） 27-(56-25-28)=24（人）答: 同时参加比赛的有24 人. 配套练习 : 1. 一个旅行社有 36人, 其中会英语的有24 人, 会法语的有 18 人, 两样都不会的有 4 人. 两样都会的有多

29、少人 ? 2. 四年级参加合唱队的有40 人, 参加舞蹈队的有 20 人, 两项都参加的有 14 人, 两项都没有参加的有10人, 这个年级有多少人 ? 例 4. 光明小学举办书法展览 . 各个年级均有展品 , 其中 24 幅不是五年级的 , 有 22幅不是六年级的 , 五六年级的参展作品共有10 幅, 其他年级参展的作品一共有多少幅 ? 简析这是一道需要简单推理的学习内容. 数量关系比较复杂 , 应该列举 : 其他年级作品数 +六年级作品数 =24(幅) 其他年级作品数 +五年级作品数 =22(幅) 五年级作品数 +六年级作品数 =10(幅) 其它年级作品数 (22+24-10) 2=18(

30、幅) 答: 其他年级参展的作品一共有18 幅. 做完后思考 : 下面的解法有什么道理 ? (24+10+22) 2-10=18( 幅) 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制11 / 22 24- (24-22+10)2=18(幅) 22-10-（24-22） 2=18(幅) 注意: “和差问题”没学好的同学抓紧复习公式. 第 七 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 数平行四边形个数简析: 本题属于技巧性学习内容. 基本方法是一个个地数, 这过于繁琐 , 而且容易重复与遗漏 . 其次是按照“一个一个地数 , 两个两个地数 , ”, 根据个数分类数, 仍然费时费力 . 因此有必

31、要简化 , 用数学的方法解决问题 . 本教材使用“横加竖加”的方法计算个数, 快捷简便 . 配套练习求长方形个数 . 例 2: 一个梯形的上底长度是下底的3 倍, 如果将梯形的下底延长6 厘米, 这个梯形就变成了 - 平行四边形 . 这个梯形的上下底各是多少厘米? 简析: 本题属于与操作相关的学习内容. 重点通过画图观察 , 找到解题突破口 .是差倍问题的具体应用 . 画图解答 :6 （3-1）=3 ( 厘米). 下底长度上底长度 : 3 3=9(厘米) 配套练习 : 梯形的上底长度是下底的4 倍. 如果下底延长12 厘米, 就变成了平行四边形 . 则上底长度是多少 ? 二. 假定法解题例 1

32、: 今有鸡、兔共居一笼 , 已知鸡头和兔头共 35个, 鸡脚和兔脚共 94 只. 鸡和兔各有多少只 ? 简析: 本题属于中国古代“鸡兔同笼”问题.有画图法 , 列表法 , 假定法等多种解题方法 . 用假定法解题需要把两个量看成同一个量, 根据总量和单一量的变化求解. qq上流传的方法 : 假定鸡和兔一起跳舞, 第一节 : 拎起一只脚 , 大家都做到 , 这时还有 94-35=59合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制12 / 22只脚, 第二节 : 大家表现都不错 , 欢迎再拎一只脚 , 这时还有59-35=24 只脚. 只是鸡儿耐不住 , 扑通扑通全跌倒( 偷笑 : 鸡儿

33、早已没有脚, 只能屁股着地冷汗冒). 这时出来数一遍 , 一双脚来一只兔 , 数来数去不混淆 . 一个字 : 妙! 假定法 : 假定全是兔 : 共有几只脚 ?435=140（只）多算几只脚 ?140-94=46( 只) 每只鸡多算几只脚 ?4-2=2( 只) 有几只鸡 ?462=23(只) 兔有几只 ? 35-23=12 （只）答: 鸡有 23 只, 兔有 12 只. 配套练习 : 假定全是鸡呢 ? 例 2: 兔妈妈采蘑菇 , 晴天每天采 32个, 雨天每天采 22个. 兔妈妈一共采了 390个,平均每天采 26 个, 这些天有几天下雨 ? 简析: 本题是鸡兔同笼问题的变式. 可以先求出采蘑菇

34、的天数. 然后合理假定 . 一共采了几天 ?39026=15（天）假定全是晴天一共采大多少个 ?3215=480（个）多采多少个 ? 480-390=90 （个）每个雨天多采了多少个 ? 32-22=10 （个）雨天一共有多少天 ? 90 10=9(天) 假定全是雨天呢 ? 答: 这些天有 9 天下雨 . 配套练习 : 将问题改为“这些天有几天是晴天?”用两种方法解答 . 例 3: 某次数学竞赛一共有10 题. 答对一题得 10 分, 答错一题或不答倒扣5 分.小明参赛得分为 70 分. 他做对了多少题 ? 简析 : 本题的难点在于 : 如何计算答对一题与答错一题的分数差异. 可以借助线段图帮

35、助理解 . 假定全答对 :10 10=100（分） 100-70=30（分） 10+5=15（分）难点所在 3015=2（题） 10-2=8(题) 假定全做错 : 一个倒扣多少分 ?510=50（分）总共相差多少分 ? 70+50=120（分）注意 : 是加不是减 , 可以画图 ( 略) 每道对题少算多少分 ? 10+5=15（分）做对几题 ?12015=8（题）答: 他做对了 8 题. 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制13 / 22第 八 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 只能向下和向右 , 从 a走到 b, 一共有几种不同走法 ? 简析: 本题属于“找规律”的内容

36、. 一般采用色笔标注的方法进行 , 但过于繁琐 , 有时无法进行 . 因此必须采用科学的方法甲乙解决 . 用对角标注数字的方法 : 一共 6 种走法 . 答: 一共有 6 种不同走法 . 配套练习 : 只能向下和向右 , 从 a走到 b, 一共有几种不同走法 ? 例 2: 用 1,3,5,7,一共可以组成多少个没有重复数字的四位数? 简析: 本题属于排列问题 , 虽属于高中数学知识 , 但也是小学“找规律”的内容. 初始阶段可以采用枚举法 . 但现在应该用计算法 . 属于乘法原理 . 千位有 4 种选择 , 百位有 3 种选择 , 十位有 2 种选择 , 个位此时只有一种选择 . 要组成四位数

37、 , 单有某位都不行 , 因此不能一步完成 . 应把每步的可能排法相乘. 4321=24（个）答: 一共可以组成 24 个没有重复数字的四位数. 配套练习 : 用 1,2,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数? 二. 逻 辑 推 理例 1: 已知某月中 , 星期二的天数比星期一的天数多, 而星期三的天数比星期四的天数多. 那么这个月最后一天是星期几? 简析: 一周有 7 天, 一个月最多有31 天,31 7=4（周） 3（天） . 一个月里无论星期几, 最多有 5 个, 最少 4 个. 即本题中星期二和星期三有5 个, 星期一和星期四有 4 个. 然后画个月历进行推算即可. 图略. 答:

38、这个月最后一天是星期三. 配套练习 : 某年二月 , 星期日的天数最多 , 那么这个月的最后一天是星期几? 例 2: 下面是一个九位数密码 , 相邻三个数字的和是12. 你能破解密码吗 ? 4 3 简析: 本题已知数字少 , 必须找到数字排列规律才能正确解答. 借助天平原理, 两边同时去掉相同部分 , 余下部分也相等 . 从而发现 , 每隔 2 格数合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制14 / 22字相同 , 等两个数字并排时就能算出另外数字了, 从而可以解答 . 4 5 3 4 5 3 4 5 3 答: 密码为配套练习 : 下面是十一位密码 , 任意三个相邻数字之和是1

39、3, 你你能破译吗 ? 4 3 例 3: 甲乙丙丁与玛丽五个同学一起参加象棋比赛, 每两人赛一盘 . 比赛一点时间后, 甲赛了 4盘, 乙赛了 3盘, 丙赛了 2盘, 丁赛了 1盘. 那么玛丽赛了多少盘 ? 简析: 本题必须进行必要的转化. 用五个点表示五个人 , 两人比赛过的 , 用线段连接 . 通过画图可以很好解决问题 . 解答: 见图答: 玛丽赛了 2 盘. 第 九 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 用简便方法计算 :99 37+37 10157-57 6538+3638-38 简析: 四年级简便计算一般要在计算过程中凑整十, 整百, 整千 , 如果没有出现 , 一般意味着简算失败 .

40、9937+37 =9937+371熟练时可以省略不写 . 理解成 99 个 37 再加一个 37 = （99+1）37正好凑成 100 个 37 =10037 =3700 10157-57 = （101-1）57与第一题同样道理=10057 =5700 6538+3638-38 =（65+36-1）38不要把最后的 38 忽略. 加减号不能随意更改 . =10038 =3800 配套练习 : 用简便方法计算 : 3652+6352+52 2019393 例 2: 有 8个大小完全一样的球 , 其中一个是次品 , 并且较轻 . 用一架没有砝码的天平秤, 最少称几次可以找出次品? 简析: 4 5

41、3 4 5 3 4 5 3 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制15 / 22找次品是训练学生语言表达能力和动手操作能力的良好素材. 关键是: 三个球一个次品如何找 . 解答: 随便拿 6 个，三个一边，称重后，两种情况：一样重的话，次品一定在剩下的两个球里，所以剩下的两个小球再称一次, 上翘的那端的托盘里是次品。一共两次. 如果不一样重，次品一定在较轻的3 个球里，再在3 个球里，拿两个称一下，如果一样重，那没放进去的第三个就是次品，如果不一样重，上翘的托盘里放的就是次品。也是两次答: 至少要称两次 .配套练习 : 有 9 个大小完全一样的球 , 其中一个是次品 , 并

42、且较轻 . 用一架没有砝码的天平秤 , 最少称几次可以找出次品? 二. 进 制 问 题计算法则 : 0+0=0,0+1=1,1+1=10 00=0,10=0,11=1 例 1: 把十进制数 18 改写成二进制数 . 简析: 二进制就是只用1 和 0 两个数字 , 表示各个数 . 满二进一 . 即每两个相同的单位组成和它相邻的较高的单位. 182=90 92=41 42=20 22=10 此法叫做二除取余法 . 18（10）=10010（2）也可以用短除法完成 . 注意: 余数为 0 也要写上 . 配套练习 : 把下面的十进制数改写成二进制数: 19 24 例 2: 把二进制数 110（2）改写

43、成十进制数 . 简析: 二进制数改写成十进制数, 只要把它写成2 的幂之和的形式 . （幂, 指的是某数自乘, 例如 3 自乘 4 次, 即 3333, 写成 34）这是一个三位的二进制数, 它的最高计数单位是23-1=22. 110（2）=122+121+02o =141201 =4+2+0 =6 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制16 / 22配套练习 : 11011（2）改写成十进制数是多少 ? 例 3: 计算 : 1101（2）101（2）简析: 任何进制数的运算 , 都可以根据十进制数的运算法则来进行. 二进制加减法只要注意满二进一和借一算二即可. 1 1 0

44、 1（2）+ 1 0 1（2） 1 0 0 1 0（2）1101（2）101（2）=10010（2）配套练习 : 计算下列各题 : 110（2）11（2）10101（2）1111（2）例 4: 计算 : 1011（2）11（2）简析: 二进制的乘法也可列竖式解决. 口诀只有两句 : 一一得一和一零得零 . 竖式: 略配套练习 : 计算: 1101（2）101（2）第 十 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 甲乙两个车站之间有3 个小站 . 各站之间票价各不相同 . 要满足乘客需要 ,车站一共要配备多少种车票?有多少种票价 ? 简析: 本题属于排列与组合问题. 车票的来与去是不同的, 即有序 .

45、而票价往返是一样的 . 多少种车票 ? 每个车站要准备其他车站的4 种车票 ,5 个站要准备 : 45=20（种）车票 . 也可先算出单程要几种车票:1+2+3+4=10（种） , 再乘 2: 102=20（种）有几种不同票价 ?1+2+3+4=10 （种）或者 5 42=10(种) 答: 车站一共要配备20种车票 . 有 10 种票价 . 配套练习 : 甲乙之间有 4 个小站要停靠 . 从甲到乙 , 一共要准备多少种车票 ? 例 2: 四个连续奇数之和为192. 求这四个数各是多少 . 简析: 连续奇数相邻两数相差2. 具体可参照第五课时的方法求解. 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数

46、教程刘家长老师编制17 / 22 （192+2+4+6 ） 4=2044=51最大数 51-2=49,51-4=47,51-6=45 答: 四个数分别是 45,47,49,51. （192-2-4-6 ） 4=1804=45最小数 45+2=47,47+2=49,49+2=51 答: 四个数分别是 45,47,49,51. 中间两数和 : 192 2=96, 两数差为 2, 用和差问题解题公式计算: （ 96+2）2=49第三个数 49+2=51 第四个数 49-2=47第二个数 47-2=45第一个数或者: （96-2）2=47第二个数 ,47-2=45 第一个数 47+2=49第三个数 4

47、7-2=45第一个数答: 四个数分别是 45,47,49,51. 二. 行 程 问 题 ( 一) 例 1: 甲、乙两人分别从相距20 千米的两地同时相向而行. 甲每小时行 6 千米 ,乙每小时行 4 千米. 两人几小时后相遇 ? 简析: 相向而行就是面对面行走. 这是行程问题中的“相遇问题”. 其基本数量关系是 : 速度和时间 =路程. 根据公式可以派生两个除法计算的公式. 本题是为以后学习打基础. 务必理解 . 甲乙两人每小时共行多少千米?6+4=10 （千米）几小时相遇 ?2010=2（小时）答:2 小时后相遇 . 例 2: 甲、乙两人同时从相距2000米的两地相向而行 , 甲每分钟行 1

48、10 米, 乙每分钟行 90米. 如果一条狗开始与甲同行, 每分钟行 500米, 遇到乙后再返回向甲跑去 . 这样不断往返 , 直到甲乙相遇为止 . 狗共跑了多少米 ? 简析: 本题也叫“苏步青问题”, 关键在于“看人不看狗”. 人狗行走的时间相同. 如果着眼于狗 , 计算繁琐 , 过程复杂 , 可能无法求解 . 而着眼于人 , 问题迎刃而解 . 甲乙几小时相遇 ? 2000 （110+90）=2000200=10（分钟）狗一共走了多少米 ? 500 10=5000（米）答: 狗共跑了 5000米. 配套练习 : 甲、乙两个车队同时从相距330 千米的两地相向而行 . 甲每小时 60 千米,

49、乙每小时 50 千米. 一个人骑摩托车以每小时80 千米的速度在两队中间往返联络 . 当两车队相遇时 , 摩托车行驶了多少千米 ? 例 3: 甲、乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步. 如果两人同时从同一地点相背而行 , 乙跑 4 分钟后两人第一次相遇 . 甲跑一周要 6 分钟, 乙跑一周要几分钟 ? 简析: 本题是高年级的学习内容. 但本题解法有别于高年级. 甲、乙各跑 4 分合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制18 / 22钟相遇 , 甲继续跑乙的4 分钟路程 , 只需 6-4=2（分钟） , 花的时间是乙的一半 , 因此乙的时间是甲的两倍 . 4（6-4）6=12

50、（分钟）倍比法配套练习 : 甲骑摩托车 , 乙骑自行车分别从两地同时出发, 相向而行 ,5 小时后相遇. 甲行完全程要 15小时 , 乙行完全程要多少小时 ? 第 十 一 讲一 . 阔 步 课 堂例 1: 正方形的边长增加3 厘米, 面积增加 51 平方厘米 . 求原来正方形的面积 . 简析: 本题体现数形结合思想 . 先画出符合题意的图形 , 再进行合理分割 , 就能求出边长 , 继而求出面积 . a,b,c 为增加部分 , 其中 a,b 大小相等 .c 是边长为 3 厘米的正方形 . c 的面积是多少 ? 3 3= 9（平方厘米） a 和 b的面积是多少 ? 51-9=42 （平方厘米）a

51、或 b的面积 :42 2=21（平方厘米）原正方形边长 : 21 3=7（平方厘米）原正方形面积 : 7 7=49（平方厘米）答: 原来正方形的面积是49 平方厘米 . 配套练习 : 正方形的边长增加2 厘米, 面积增加 36 平方厘米 . 求原来正方形的面积 . 例 2:ab=610, 若 a与 b都扩大 2 倍, 则商与余数各是多少 ? 简析: 本题属于“商不变性质”的应用. 注意, 商虽不变 , 但余数却跟着变 . 商是 6, 余数是 10 2=20 配套练习 : ab=2010, 若 a和 b都缩小 2 倍, 商和余数各是多少 ? 二. 巧妙求和例 1: 王蕾读一本长篇小说 , 她第一

52、天读 30 页, 从第二天起 , 她每天读的页数都比前一天多 3 页, 第 11天读了 60 页, 正好读完 . 这本书有多少页 ? 简析: 本题属于等差数列求和 . 基本公式为 : 和=（首项 +尾项）项数 2 项数=（尾项 - 首项）公差 +1 （30+60）112=495（页）答: 这本书有 495页. 配套练习 : 合肥市青少年活动中心（东校区）四年级奥数教程刘家长老师编制19 / 22马师傅做一批零件 , 第一天做了20 个, 以后每天都比前一天多做2 个, 最后一天做了 42 个. 这批零件有多少个 ? 例 2:30 把锁的钥匙搞乱了 , 为了使每把锁都配上自己的钥匙, 最多要试多

53、少次 ? 简析: 本题属于组合问题 . 第一把锁要打开 , 要试 30-1=29（次） , 第二把要试29-1=28（次） , 余此类推 . 29+28+27+ +2+1=（29+1）292=435（次）答: 至少要试 435次. 配套练习 : 有一些锁的钥匙搞乱了 , 已知最多要试28 次, 就能使每把锁都配上自己的钥匙.问: 一共有几把锁的钥匙搞乱了? 例 3: 求 199 这 99 个连续自然数的所有数字的和. 简析: 本题求的是数字之和 , 不是数的和 . 为了凑整对数 , 把 0 加入, 这 100 个数头尾配对后每两个数字之和都相等, 都是 9+9=18,共有 1002=50（对） . （9+9）（ 1002）=900. 配套练习 : 求 1199 的 199个连续自然数的所有数字之和. 例 4: 求 1+3+5+7+9+ +21的和. 简析: 本题属于“等差数列求和” 的应用