将军饮马问题讲义(共5页)

1、将军饮马问题唐朝诗人李的诗开头两句说:"白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. "诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是

2、题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。一六大模型1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。3.如图，点 P 是MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使PAB 的周长最小.4.如图，点 P，Q 为MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四

3、边形 PAQB 的周长最小。5.如图，点 A 是MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小6. .如图，点 A 是MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 常见问题首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点，即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连线的点。1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一

4、条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。2. 对称完以后和谁连接？一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。3. 所求点怎么确定？首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由【分

5、析】（1）设交点式为y=a（x1）（x4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2x+3；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x1）（x4），把C（0，3）代入得a（1）（4）=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=（x1）（x4），即y=x2x+3；（2）存在因为A（1，0）、B（4，0），所以抛物线的对称轴为直线x

6、=，连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时四边形PAOC的周长最小，因为BC=5，所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解也考查了最短路径问题2（2015上城区一模）设抛物线y=（

7、x+1）（x2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B（1）求A、B、C三点的坐标；（2）已知点D在坐标平面内，ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；（3）若点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；（2）分三种情况讨论：当AB为底时，若点D在AB上方；若点D在AB下方；当AB为腰时，A为顶点时，当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答【解答】解：（

8、1）当x=0时，y=；当y=0时，x=1或x=2；则A（1，0），B（0，），C（2，0）；（2）如图，RtABO中，OA=1，OB=，AB=2，ABO=30°，BAO=60°，ABD是顶角为120°的等腰三角形当AB为底时，若点D在AB上方，由ABO=BAD=30°，AB=2，得D1（0，），若点D在AB下方，由BAD=DBA=30°，AB=2，得D2（1，），当AB为腰时，A为顶点时，DAB=120°，OAB=60°，AD=AB=2，点D在y轴或x轴上，若D在y轴上，得D3（0，），若D在x轴上，得D4（3，0）；当AB为腰时，A为顶点时，若点D在第三象限，DBO=150°，BD=2，得D5（1，2）；若点D在第四象限时，DBx轴，BD=2，得D6（2，），符合要求的点D的坐标为（0，），（1，），（0，），（3，0），（1，2），（2，）；（3）当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，把点B向上平移个单位后得到B1（0，），BB1PQ，且BB1=PQ，四边形BB1PQ是平行四边形，BQ=B1P，AP+BQ=AP+B1P，要在直线x=上找一点P，使得AP+B1P最小