2022年关于函数零点的教学——我的实践(陶维林)

1、精品资料欢迎下载关于函数零点的教学我的反思与实践南京师大附中陶维林这学期我也教高一，用新教材；从绍兴回到学校，其次天，我就上“方程的根与函数的零点”这节课；应当说，通过“绍兴会议”课题组老师们的争论，我也已经对“绍兴的课”有了肯定的反思，是反思后的一次尝试；1. 函数零点概念的教学我是这样开头的；提出问题 1：方程 3456x23458x 10有实数根吗？大部分同学拿起运算器开头运算起来； 有少数同学并没有这样做， 而是看着黑板上的问题在摸索，观看系数特点； “系数怎么这么大？ 好玩，怪怪的，也算吗？”我也没说更多的话；一会儿，就有同学说“有实根； ” 他是运算一元二次方程根的判别式的值， 通

2、过它的符号作出判定的； 虽然数字较大，但 运算器并不在乎；“你的结论呢？” 我问一位没有用运算器运算的同学；“有；”他确定地说；“你是怎么知道的？”“设 f（ x） 3456x2 3458x 1，然后画个图；”这里至少有两点是珍贵的： 一是把方程与函数联系起来，通过函数来争论方程；二 是想到了画图，数形结合！“图是怎么画的呢？”我追问；“由于当 x0 时， f（0） 1；而当 x1 时， f（1） 1，因此，方程 3456x23458x 10 在区间（ 0，1）上肯定有一个实数根； ”看来，他已经观看出系数中的名堂；我应着他在黑板上画出示意图；“你是怎么想到的呢？”“想到”是对“知道”的挖掘，

3、 老师妄想挖掘背后的思维过程；“我们在中学就讲过（学过） ；” 开头把当前的问题与已有的学问、体会联系起来；“中学是怎么讲的？” 这一问题意在引导同学回忆，再现已有的相关学问；同学把中学学习过的有关一元二次方程、二次函数、二次函数图象的关系表达了一遍，基本上重复了教科书（ p87）上的内容；教科书的编写是从同学已有的学问出发，回忆中学已经学习过二次函数的图象与一元二次方程的关系引入函数零点的概念， 这是正确的； 但是，教学中如何处理？如何出现？是另一个值得争论的教学处理的问 题； 假如老师照本宣科，把教科书的内容平铺直叙地复述一遍，同学不会感爱好， 也感受不到老师讲这些内容的必要； 而由同学自

4、己精品资料欢迎下载把它作为解决问题的理由表达出来就大不一样了； 是老师引导下同学的主动回忆， 是过去所学学问、 体会的运用； 也正是本节课所学概念的“生长点”；实践证明，“3456x2 3458x1 0 是否有实数解？”使得同学不至于用因式分解的方法去找方程的实数根； 很多同学想到用判别式的符号进行判定也不古怪， 这是他已有的体会， 但是，究竟有一批同学（不是一两个） 对老师提出的问题不是简洁地去运算， 而是试图通过其他途径来解决， 而且这个途径是可以找到的， 当然要仔细摸索一下（与函数联系、 画图）才能找到， 符合才能“最近进展区” 的要求；假如我们提出“方程 x2 2x3 0 是否有实数根

5、？”同学一下子就可以给出结论；一是同学知道，对方程ax2 bxc0（a 0），只要 a，c 异号，那么， b2 4ac 就肯定大于零；二是很简洁把 x22x 3 分解为（ x1）（ x 3），根是什么都知道了；这样与本节课的教学内容函数零点的联系就不够紧密；在同学用中学学问，运用函数 f（ x） 3456x2 3458x 1 的图象这个工具， 说明方程 3456x23458x 1 0 有实数解后， 老师再提出函数零点的概念，同学是很简洁接受的；于是不难得到 “方程f（x）0 有实数根函数 f（x）的图象与 x 轴有交点 0函数 f（x）有零点” 的结论；实际上， 函数的零点这个概念， 就是同学

6、中学所学习过的 “一元二次方程 ax2bxc 0（ a 0）的根就是相应的二次函数 f（ x） ax2 bx c 的图象与 x 轴的交点的横坐标” 的直接推广； 同学经受的是特殊问题一般化的过程； 他们可以用这个旧学问来同化新学问； 而且这个新学问与旧学问之间也只有一层很薄的窗户纸， 一捅就破；对于函数零点概念的懂得，他们仍旧可以以二次方程为载体；不必把简洁的问题搞复杂，清晰的问题搞糊涂；函数零点的概念并不是这节课教学的重心，重心是“函数零点存在的条件”；2. 函数零点存在条件 的教学接着提问题 2： 函数 f（x）在区间（ a，b） 上有 f（a）·f（b） 0，那么函数 f（x）

7、在区间（ a，b）上是否肯定存在零点？ 请举例说明；我特殊强调“请举例说明” ；同学们谈论起来；很快就有人说 “不肯定；” “请举个例子；”我说；“ f（ x1） x，在区间（1，1）上有 f（1）·f（ 1） 0，但是 f（ x） 0 在（ 1，1）上没有实数根；”大家都觉得这个例子很出色； 的确， 举反例经常不是件简洁的事；再提出问题 3：函数 f（x）在区间（ a， b）上有 f（ a）·f（b）0，且有零点 ，那么肯定只有一个吗？请举例说明；有一个同学在黑板上画出了图 1，仍有人画出图 2；图 1图 2我有意地数了数“ 3 个， 5 个，”图 3图 4“不肯定是奇数

8、个；”一个同学说； 有同学听出我的话外音 “老师是说肯定有奇数个吗？”他到黑板上画出图3；这时一个同学未经老师同意就主动上黑板画出了图4；我真没有想到同学会想出这个点子来， 我被他们奇思妙想所感动， 我干脆说“仍有吗？”有同学又画出间断不连续的图象来；同学们仔细摸索，积极参加，热忱很高；这样的教学可以达到促进同学进展的目的，特殊是进展同学的思维才能！接着，我让同学争论问题4：函数 f（x）在区间（ a，b）上有 f（ a）f（ b） 0，仍需要满意什么条件？就肯定有且只一个实数根； ” 又进入热闹争论 ；最终得到要满意 3 个条件：（ 1）函数 f（ x）（的图象）在区间 a， b上“ 连续不

9、断”；（ 2） f（ a）· f（ b） 0；（ 3）函数 f（ x）在区间（ a， b）上 单调；这就已经获得了函数零点存在条件 ：函数 y f（ x）在区间 a， b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）f（b） 0，那么函数 y f（ x）在区间 a， b上有零点；即存在 c（ a， b），使得 f（ c） 0，这个 c 就是方程 f（ c） 0 的根；接着让同学争论：方程 lnx 2x 60 是否有实数根，并估量根所在区间；大多数同学采纳， 在同一个坐标系中同时画出函数 y lnx 与函数 y62x 的图象（图 5），估量出它们交点的横坐标所在的区间是（ 1，3），这

10、并不困难；老师再用几何画板画出函数 f（ x） lnx2x6 的图象，同样判定函数 f精品资料欢迎下载（ x） lnx2x 6 在区间（ 1， 3）上有一个零点；这为下一节课用“ 二分法” 缩小区间长度查找这个解的 近似值打 下伏笔；图 53. 几点想法（1） 对于零点存在的条件，高中阶段不行能也不必要加以证明； 本节课的重点就是让同学通过函数图象，直观感受零点存在的条件； 如何让同学查找这个条件呢？当然不要直接把结论抛给同学，这就需要设计一个过程，设计“问题链” ，“问题”会引起同学的摸索，让同学对这些问题进行争论，参加到查找条件的过程中来；（2） 要留意高中同学的思维特点； 有争论说明，

11、人的才能进展具有年龄特点， 中学阶段以抽象规律思维占主导位置 中学阶段主要是以体会型为主的抽象规律思维， 而高中阶段主要是以理论型为主的抽象规律思维； 这些结论需要我们在教学设计中引起留意， 对于培育同学的理性精神是非常必要的； 既不要低估同学的才能， 也不必过高地估量， 正确把握同学才能的 “最近进展区” 提出问题是老师的基本功之一；从教学的实践看，问题3 虽然抽象，但是，同学们借助图象是有才能争论解决的；同学力所能及的事就让同学自己去做；（3） 数学教学是数学活动的过程，数学活动是数学的思维活动； 怎样让同学活动起来呢， 这个动力就是 “问题”，有思维价值的问题；问题可以把同学带入“愤”与

12、“悱”的境地；有思维价值就不会对答 如流，就需要有肯定的摸索的时间； 提出问题后， 先让同学尝试尝试， 看能否解决它； 比仿说， 你提出让同学去火车站的任务； 假如他不知道方向（在北面仍是南面） 可以提示一下； 至于他如何走到火车站应当先让他走一走， 绕弯路也很正常； 但是， 也有可能他想到了老师仍没有想到方法； 实在不会走就再启示他一下； 我们不能说， 拉着我的手，跟着我到火车站去， 究竟是他去仍是你去呢？对问题引导得太细， 不费劲气就解决了， 对培育才能没有好处； 思维有时需要寂静！ 老师提出问题后喋喋不休， 讲个不停， 会干扰同学的思维； 要培育同学主动摸索的习惯，有困难时，老师加以启示