全等三角形辅助线系列之三---截长补短类辅助线作法大全

1、精品文档 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 全等三角形辅助线系列之三 与截长补短有关的辅助线作法大全 一、截长补短法构造全等三角形 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法， 也是把几何题化难为易的一种思想. 所 谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的 一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短” ，就是将一个已知的较短的线段 延长至与另一个已知的较短的长度相等， 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取 截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解. 截长补短法作辅助线，适合于证明线段的和

2、、差、倍、分等类的题目 典型例题精讲 【例 1】 如图，在ABC 中，./BAC =60 , AD是乙 BAC 的平分线，且 AC =AB BD，求乙 ABC 的度 数. 、 ； 【解析】法一：如图所示，延长 AB至E使BE =BD，连接ED、EC . 由 AC =AB BD 知 AE 二 AC , 而 BAC =60 AEC 为等边三角形. 注意到 EAD =/CAD , AD =AD , AE =AC , 故 AED 也 ACD . 从而有 DE =DC , - DEC = DCE , 故 BED 二 BDE 二 DCE DEC =2 DEC . 所以 /DEC DCE =20 , - A

3、BC BEC BCE =60 20 =80 . 法二：在 AC 上取点E，使得AE二AB，则由题意可知 CE =BD . 在 ABD 和 AED 中，AB =AE , - BAD =“EAD , AD =AD , 贝 U ABD 也 AED，从而 BD =DE , 进而有 DE =CE , - ECD “EDC , AED = ECD EDC 二 2 ECD . 注意到 ABD =/AED，则： 1 3 ABC ACB 二 ABC ABC ABC =180 -/BAC =120 , 2 2 故 ABC =80 . 【答案】见解析.资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 精品文档 断BE、CD

4、、BC 的数量关系，并加以证明.【解析】BE CBC , 理由是：在 BC 上截取BF =BE，连结 OF , 利用 SAS 证得 BEO QBF0 , 1=2 , 1 A =60 ,. BOC =90 ： _A=120 ， DOE =120 , 2 DOE =180，乙 AEO ADO =180 , 4 3 =180 , 2 4 =180，二 1 = 2 , 3-4, 利用 AAS 证得 CDO 旦 CFO , CD =CF , BC =BF CF =BE CD . 【答案】见解析. 分别是/ BAC、/ ABC 的角平分线，求证： BQ - AQ =AB - BP .【例2】 已知 AAB

5、C 中，.A =60 , BD、CE 分别平分.ABC 和.ACB , BD、CE 交于点 O，试判 【例 3】 如图，已知在厶 ABC 内, ./BAC =60，乙 C =40 , P、Q 分别在 BC、CA 上，并且 AP、BQ 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 精品文档 【解析】延长 AB 至 D，使BD =BP，连 DP. 在等腰 ABPD 中，可得 BDP =40 , 从而 BDP =40 - ACP , ADP ACP (ASA ),故 AD = AC 又 /QBC =40 /QCB，故 BQ =QC , BD 二 BP . 从而 BQ AQ =AB BP . 【答案】见解

6、析. 【例 4】 如图，在四边形 ABCD 中，BC BA , AD 二 CD , BD 平分/ ABC，求证：ZA MC=180 . 【解析】延长 BA 至 F，使 BF 二 BC，连 FD BDF BDC ( SAS), 故 DFB - DCB , FD =DC 又 AD =CD，故在等腰 ABFD 中， DFB = DAF 故有 BAD BCD =180 【答案】见解析. Q 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 1 精品文档 【例 5】 点M , N 在等边三角形 ABC 的AB边上运动，BD 二 DC , . BDC =120 , . MDN =60，求 证：MN 二 MB NC

7、 . 【解析】延长 NC 至E，使得 CE 二 MB BDC 是等腰三角形，且 BDC =120 , DBC 二 DCB =30 / ABC 是等边三角形. /ABC ACB ZBAC =60 上 MBD ZABC DBC EACB DCB ZDCN DCE =90 在 DBM 和 DCE 中，BD =DC , MB =CE , DBM 3：DCE. DE 二DM , 1= 2. 又 1 NDC =60 , 2+ NDC 二 END =60 . 在 MDN 与 EDN 中， ND =ND，/MDN ZEDN =60 , DE =DM MND 也 END MN =EN =NC MB 【答案】见解

8、析. 【例 6】 如图在 ABC 中，AB AC , Z1 Z2 , P 为 AD 上任意一点，求证： AB - AC PB - PC . C 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 精品文档 D 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 1 精品文档 【解析】延长 AC 至 F，使AF二AB，连 PD ABPAFP (SAS) 故 BP =PF 由三角形性质知 PB PC =PF -PC CF =AF - AC =AB - AC 【答案】见解析. 【例 7】 如图，四边形 ABCD 中，AB/ DC , BE、CE 分别平分/ ABC、/ BCD，且点 E 在 AD 上.求 证：BC 二

9、AB DC . A 【解析】在 BC 上截取BF =AB，连接 EF BE 平分 /ABC,： ABE/FBE 又T BE=BE , :ABE 也/EBE (SAS),二 NA = BFE . TAB/CD , A D =180 BFE CFE =180，/D CFE 又 DCE _ FCE , CE 平分/ BCD, CE =CE z.ZDCE 也ECE (AAS ) , CD =CF BC 二 BF CF =AB CD 【答案】见解析.精品文档 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 【例 8】 如图，点M为正方形 ABCD 的边AB上任意一点，MN _ DM 且与/ ABC 外角的平分

10、线交于 点 N , MD与 MN 有怎样的数量关系？ 【解析】猜测 DM 二 MN 在AD上截取 AG 二 AM , DG =MB ,/ AGM =45 /DGM 二/MBN =135，/ADM 二/NMB , DGM 也 MBN , DM =MN . 【答案】见解析. ABCD 是正方形，.FAD = FAE ,求证：BE DF 二 AE . 【解析】延长 CB 至M，使得BM =DF，连接AM AB=AD , AD 丄 CD , AB丄 BM , BM =DF ABM 也 ADF - AFD = AMB , - DAF = BAM / AB/ CD AFD 二 BAF 二 EAF BAE

11、二 BAE BAM 二 EAM AMB EAM , AE =EM =BE BM =BE DF 【答案】见解析. 【例 10】如图所示，已知正方形 ABCD 中，M 为 CD 的中点，E 为 MC 上一点，且三BAE=2 DAM .求 证：AE =BC CE . 【例 9】已知：如图, D C A M B E D C A M B E A D D M E C 精品文档 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 【解析】分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种: (1) 通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，再证所构造的线段与求证 中那一条线段相等. (2) 通过添辅助线先在

12、求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，再证明截剩的部分 与线段中的另一段相等我们用 (1)法来证明. 【答案】延长 AB到F，使 BF =CE，则由正方形性质知 AF 二 AB BF =BC - CE 下面我们利用全等三角形来证明 AE二AF 为此，连接 EF交边 BC 于 G 由于对顶角 .BGF CGE，所以 Rt ABGF 也.CGE AAS , 1 从而 BG =GC BC , FG =EG , BG =DM 2 于是 Rt AABG 也 Rt AADM SAS , 1 所以 /BAG ZDAM BAE ZEAG , AG 是 /EAF 的平分线 2 【例 11】五边形 ABC

13、DE 中，AB 二 AE , BC DE 二 CD , ABC . AED =180，求证：AD 平分/ CDE 【解析】延长 DE 至 F，使得 EF 二 BC，连接 AC. vZABC ： 4AED=180 , - AEF AED =180，復ABC AEF / AB =AE , BC 二 EF , ABC 也ZAEF EF =BC , AC =AF vBC DE =CD , CD =DE EF =DF z.ADC 也 zADF , ADC = ADF 即 AD 平分/CDE. F D M E C 精品文档 【答案】见解析.精品文档 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 【例 12】若

14、P为 ABC 所在平面上一点，且.APB =/BPC =/CPA=120 ,则点P叫做.:ABC 的费马点. (1) 若点P为锐角 MBC 的费马点，且 NABC=60。, PA = 3 , PC =4，贝U PB的值为 _ (2) 如图，在锐角 MBC 外侧作等边 AACB,连结BB. 求证：BB过.:ABC 的费马点 P，且 BB PA PB PC . 【解析】(1) 2.3 (2)证明：在 BB上取点 P，使.BPC =120 , 连结AP，再在PB上截取 PE =PC，连结 CE . . BPC =120 , . EPC =60 , . ：PCE 为正三角形， PC 二 CE , .

15、PCE =60 , CEB 120 , / . ACB为正三角形， AC 二 BC , . ACB60 , 1PCA ZACE ZACE ZECB60 , 乙PCA ZECB, ACP B . BCE , 乙APC BCE=120 , PA = EB, 乙APB EAPC /BPC =120 , P为.=ABC 的费马点， BB过 ABC 的费马点P , 且 BB = EB PB PE 二 PA PB PC . 【答案】见解析. B 精品文档 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 课后复习 【作业 1】已知，AD 平分/ BAC, AC =AB - BD，求证：.B=2. C . 【解析】

16、延长 AB 至点 E,使 AE 二 AC，连接 DE AD 平分/ BAC ,乙 EAD CAD AE 二 AC , AD =AD , 公 ED zACD ( SAS), 乙 E ZC AC =AB BD , AE =AB BD AE=AB BE , BD=BE , BDE E vZABC BDE , /ABC =2 伞, /ABC =2% . 【答案】见解析. 【作业 2】如图， ABC 中，AB =2AC , AD 平分/ BAC ,且AD =BD ,求证：CD 丄 AC . D 资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢 【解析】在 AB 上取中点 F,连接 FD . 则AADB 是等腰三

17、角形，F 是底 AB 的中点，由三线合一知 DF 丄 AB,故.AFD =90 C 精品文档 ADF ADC ( SAS) .ACD =. AFD =90 ，即：CD 丄 AC 【答案】见解析. 【作业 3】如图所示， ABC 是边长为1的正三角形，：BDC 是顶角为 120 的等腰三角形，以 D为顶点 作一个 60 的 MDN，点M、N 分别在 AB、AC 上，求 AAMN 的周长. 【解析】如图所示，延长 AC 到E使 CE = BM 在 BDM 与 CDE 中，因为 BD =CD，/MBD ECD =90 , BM =CE , 所以=BDM 也:-CDE，故 MD =ED. 因为 BDC =120 , - MDN =60：，所以 BDM NDC =60 又因为 BDM = CDE，所以 MDN = EDN =60 在 MND 与 END 中，DN 二 DN , - MDN 二 EDN =60 , DM 二 DE , 所以 MND也 END，贝 U NE 二 MN，所以厶 AMN 的周长为2. 【答案】见解析. 资料收集