非平衡热力学信息理论PPT——黄敏华

1、第六章第六章 信息理论信息理论专业：专业： 暖通暖通姓名：姓名：黄敏华黄敏华目录 准备：背景知识准备：背景知识6.1 6.1 基本概念基本概念6.2 6.2 热流和粘性压力下的理想气体热流和粘性压力下的理想气体6.3 6.3 剪切流下的理想气体：非线性分析剪切流下的理想气体：非线性分析6.4 6.4 理想气体的热流：非线性分析理想气体的热流：非线性分析6.5 6.5 能量流下的相对论理想气体能量流下的相对论理想气体6.6 6.6 线性谐波链中的热流线性谐波链中的热流6.7 6.7 信息论和非平衡波动信息论和非平衡波动 准备：背景知识准备：背景知识1 1、信息理论解释、信息理论解释“熵熵” 19

2、48 1948年，年，香农香农开创了信息论这门学科，根据开创了信息论这门学科，根据JaynesJaynes（19571957）的观点，）的观点，热力学熵可以被视为香农信息理论的一个应用。热力学熵可以被视为香农信息理论的一个应用。3 3、信息熵和热力学熵的联系、信息熵和热力学熵的联系 热力学熵被定义为与要进一步确定系统的微热力学熵被定义为与要进一步确定系统的微观状态所需要的更多观状态所需要的更多香农信息香农信息的量成比例。的量成比例。2 2、信息理论方法、信息理论方法统计物理学统计物理学 统计力学统计力学 吉布斯方程理论吉布斯方程理论系统熵越大，用来描述系统熵越大，用来描述该系统的信息越多该系统

3、的信息越多！6.1 6.1 基本概念基本概念物理约束变量物理约束变量集合集合Ai的确定的确定 例如，例如，一个简单的情况让包括具有一个简单的情况让包括具有内部内部能能U U的封闭系统受到的的封闭系统受到的热流量热流量Q Q; ; 在这种情况在这种情况下，约束条件是下，约束条件是U U和和Q Q6.1 6.1 基本概念基本概念13!NBNNNNNsk h NfInfd11=,.,r ,NNNr ppiA利用利用最小偏差概率分配最小偏差概率分配，得到如下公式，得到如下公式物理约束变量集合Ai 的平均值粒子动量和位置的集合13!=1NNNNhNfd对概率密度积分，对概率密度积分，值为值为1（统计知识

4、）（统计知识）利用利用拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法，实现实现s对象的制约对象的制约最大化最大化6.1 6.1 基本概念基本概念130=!+NBNiNiiNis khNfAAd因为因为iA具有固定值，具有固定值，所以等价于所以等价于0BNNNNiiNNikf InfffAd上式条件下的上式条件下的一个极值，一个极值，满足：满足：00NNNNiiNiNf InfffAf6.1 6.1 基本概念基本概念1expNiiNifZA13=!expNiiNNiZh NAd13!NBNNNNNsk h NfInfdBiiiskInZA其中：其中：H=UN1expNNfZH若对于若对于若只考虑粒子若只考虑粒子可

5、观察能量可观察能量1exp-NNfZHN6.1 6.1 基本概念基本概念BiiiskInZABiiBiiBBiiiiidskd Akdk dInZkd A公式公式的的导出导出把方程写成把方程写成微分形式，微分形式，同同经典热力学经典热力学吉布斯方程比较吉布斯方程比较11dsT dUT dN1/,/BBk Tk T 在一个非平衡状态特征值在一个非平衡状态特征值引入引入Pv和和q作为作为附加变量附加变量:dPBBBBqdskdUkdNkpkdq6.1 6.1 基本概念基本概念前述分析所关注的主要问题是计算作用在前述分析所关注的主要问题是计算作用在系统上约束的熵系统上约束的熵的可能性的可能性。典型约

6、束是典型约束是热力学通量热力学通量和和力力，所以引入，所以引入熵流熵流表达式表达式3!sBNNkNNkkJf InfdhN 当当能量能量和和粒子通量粒子通量都被考虑进来时，熵流简化为都被考虑进来时，熵流简化为1/sJT qT J在熵公式中在熵公式中引入速度项引入速度项请注意，请注意，上述信息理论方法不指定哪些变量是用来描上述信息理论方法不指定哪些变量是用来描述系统所必需的。原则上应该包括述系统所必需的。原则上应该包括所有的变量所有的变量及及松弛松弛时间时间与实验时间衰减进行对比。与实验时间衰减进行对比。6.2 6.2 热流和粘性压力下的理想气体热流和粘性压力下的理想气体6.26.2节节 研究任

7、务研究任务6.26.2节节 研究目的研究目的作为应用考虑的理想单原子气体，应当进行作为应用考虑的理想单原子气体，应当进行热流和粘性压力平衡。热流和粘性压力平衡。我们现在使用的信息理论，就是推导出一个表达式的我们现在使用的信息理论，就是推导出一个表达式的非平衡分布函数非平衡分布函数与与非平衡熵非平衡熵。6.26.2节节 研究前提研究前提假设一粒子分布函数假设一粒子分布函数 具有具有独立独立粒子移动，它们粒子移动，它们不相互作用不相互作用，除了通过，除了通过瞬时碰撞瞬时碰撞。f6.2 6.2 热流和粘性压力下的理想气体热流和粘性压力下的理想气体各种各种约束约束条件下的条件下的概率密度分布函数概率密

8、度分布函数 ,n rfr C dC ,rmcf r C dC 231,22Bu rnk T rmC f r C dC ,-PrmCCf r C dC pU 21,2q rmC Cf r C dC粒子数密度：粒子数密度：动量密度动量密度:单位体积能量密度：单位体积能量密度：张量密度张量密度:热流热流 量密度量密度:3/222221215,exp1:222522BBBBBmmCmf r cnmCC PmCk T Cqk Tk Tpk Tpk TC具有特殊具有特殊的分子速度的分子速度6.3 6.3 剪切流下的理想气体：非线性分析剪切流下的理想气体：非线性分析本节主要研究两个问题：1、剪切流作用下，分

9、布函数的非线性表达2、剪切流作用下，熵函数的非线性非二次表达形式6.3 6.3 剪切流下的理想气体：非线性分析剪切流下的理想气体：非线性分析拉格朗日乘子的算法下的拉格朗日乘子的算法下的最大熵的分布函数：最大熵的分布函数：121exp2iijijiijfzmCmC C引入引入矩阵行列式：矩阵行列式：111213122223132333222M11exp:2fzM mCC1=:2BBS nk Inzk M P推导出推导出拉格朗日乘子对应拉格朗日乘子对应的的能量上的约束能量上的约束6.3 6.3 剪切流下的理想气体：非线性分析剪切流下的理想气体：非线性分析RTx/TTneq/TTeff/T不同温度不

10、同温度Couette (库爱特库爱特)流下的流下的无量纲比值无量纲比值R1/221 3yR熵现在有在熵现在有在非线性非二次非线性非二次表达式表达式22232711=221eqBRRyS SNk Iny6.4 6.4 理想气体的热流：非线性分析理想气体的热流：非线性分析考虑一种理想的非相对论气体在固定的能量和热量下的其他通量本节要点：本节要点：介绍分布函数的另外表达形式介绍分布函数的另外表达形式1221115exp222fZmCmCC21221221115115exp1+222222fZmCmCCCmC因为绝对非平衡温度和局部平衡温度不出现在动力学理论如果热流具有y轴上的方向22211111,2

11、2222xzByBmVmVk TmVk T这种分布函数的分子速度高，易发散，故将其 扩大到二级1Bk T6.5 6.5 能量流下的相对论理想气体能量流下的相对论理想气体本节内容：本节内容：1 1、分布函数的能量表达形式、分布函数的能量表达形式2 2、熵的能量表达式、熵的能量表达式6.5 6.5 能量流下的相对论理想气体能量流下的相对论理想气体1expiiiifZpcpcc222333218=1NNVcZNc h ！BSkInZUVq211216eqBSSNk Inyy这表明熵可能取决于在一个这表明熵可能取决于在一个非二次能量通量矢量非二次能量通量矢量量化量化的方式。的方式。最大化熵分布函数最大

12、化熵分布函数能量微观表达能量微观表达其中，其中，根据根据熵表达式熵表达式，1/2243VqycU其中，其中，6.5 6.5 能量流下的相对论理想气体能量流下的相对论理想气体当我们不考虑当我们不考虑颗粒固定数目颗粒固定数目时：时：1exp1fpcpcc1/21/43/42121ByaVkUy1/41/23/42231421aVqVc Uyy 其中，其中，引入内部能量的引入内部能量的辐射平衡辐射常数辐射平衡辐射常数a3/41/41/21/42123SUayyVV其中，其中，4UaT V其趋向于预期的值其趋向于预期的值34/3S VaT6.6 6.6 线性谐波链中的热流线性谐波链中的热流为什么引入为

13、什么引入线性谐波链线性谐波链如何确定线性谐波链下的如何确定线性谐波链下的分布函数分布函数什么是线性谐波链热流下的什么是线性谐波链热流下的熵方程熵方程本节主要内容：本节主要内容：6.6 6.6 线性谐波链中的热流线性谐波链中的热流 为了避免与边界条件产生冲突，米勒和拉森（1979）通过考虑链两段的链接，消除了边界在一起形成的环。在这种情况下，系统被证明是一个“超导体热能，由于它的无限的热导率：热流持续无限期持续下去，没有可适用的边界条件以维持它。6.6 6.6 线性谐波链中的热流线性谐波链中的热流=,UJQ引入引入约束约束其中其中H是系统的是系统的哈密顿哈密顿，J是微观热流，是微观热流，U是平均

14、链的（内部）是平均链的（内部）能量，能量， Q是沿着环的是沿着环的平均热流平均热流2211122Hpqq1112JNqpq p 其中其中q代替每个粒子的平衡， 为它们的共轭势头。p6.6 6.6 线性谐波链中的热流线性谐波链中的热流1expfZHJ111expNNZhHJ d概率分布函数概率分布函数其中，其中，在在热力学极限趋于无穷大热力学极限趋于无穷大时，粒子的熵时，粒子的熵可以写成可以写成22lim111BeqBNSSkInInxSk InxN正如所料，正如所料，热流的存在改变热流的存在改变s的值的值。对于小值热流，对于小值热流， 22,BeqkSQSQ说明熵是一个函数说明熵是一个函数的的

15、热流的平衡热流的平衡6.7 6.7 信息论和非平衡波动信息论和非平衡波动 前面一直围绕非平衡稳定状态的波动结合动力和统计非平衡的成果。在这里，我们把注意力集中在统计方面。信息论是研究变量的波动，对周围的非平衡的稳定状态是特别有用的。有了这个目标，让我们表达观测宏观值的第二矩 他们的平均值;直接简单的分化后有iNA 2iNijNjijInZAAAA 6.7 6.7 信息论和非平衡波动信息论和非平衡波动为获得用于为获得用于波动的概率的表达波动的概率的表达，我们定义一个，我们定义一个广义具体的自由能广义具体的自由能g为为BiiigkInZsA 进一步考虑对进一步考虑对体积相关拉格朗日乘数体积相关拉格

16、朗日乘数12gsuTqT 1VBk其中，定义为广义的压力写成写成微分形式微分形式12gsuTqT 6.7 6.7 信息论和非平衡波动信息论和非平衡波动显式表达显式表达波动波动的概率的概率222210111Bc TkTq qqu 2110111BukTu qqTTp 2110111BuukTqqTTp 2111uTTpT 其中，其中，u q q（1）相关性相关性 和和 ，由于，由于相对的相对的时间反转对称性时间反转对称性在平衡中消在平衡中消失数量，不同于零的平衡：这是一个表现时间反转对称性的非平衡性；失数量，不同于零的平衡：这是一个表现时间反转对称性的非平衡性；（2）非）非平衡修正平衡修正 出现出现在在热流波动的第二阶矩热流波动的第二阶矩，其结果是，也出现，其结果是，也出现在流体动力学噪声中。在流体动力学噪声中。20q6.7 6.7 信息论和非平衡波动信息论和非平衡波动本节总结本节总结 构建非平衡热力学知识的构建非平衡热力学知识的非平衡波动的潜力非平衡波动的潜力，选择适当的动力学方程，选择适当的动力学方程，并使用并使用爱因斯坦关系爱因斯坦关系作为潜在的定义。我们开始从热力学潜在研究，并研究作为潜在的定义。我们开始从热力学潜在研究，并研究其后果的非平衡波动。其后果的非平衡波动。 研究表明熵和分布函数研究表明熵和