“问题串”设计-数学

1、1数学课堂教学的一种可行选择数学课堂教学的一种可行选择 问题串问题串“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计”研究成果研究成果2（1 1）教什么：）教什么：教学目标的设计、教学内容的分析、学生认知状况的分析等。教学目标的设计、教学内容的分析、学生认知状况的分析等。（2 2）怎么教：）怎么教：（3 3）教的怎么样：）教的怎么样：教学手段、方法的选择，教学过程的把握等。教学手段、方法的选择，教学过程的把握等。课堂教学目标检测、教学评价等。课堂教学目标检测、教学评价等。教学设计的内容：教学设计的内容：3一、什么是数学问题串一、什么是数学问题串二、如何

2、设计数学问题串二、如何设计数学问题串 1 1问题串设计的依据问题串设计的依据2 2问题串设计的原则问题串设计的原则三、如何用好问题串三、如何用好问题串 四、用问题串进行教学的不足之处四、用问题串进行教学的不足之处4一、什么是数学问题串一、什么是数学问题串 什么是数学问题什么是数学问题 什么是数学问题串什么是数学问题串 问题串在教学中的作用问题串在教学中的作用 5 数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决数学问题是指不能用现成的数学经验和方法解决的一种情景状态。如果把一个数学问题看作一个系统，的一种情景状态。如果把一个数学问题看作一个系统，那么这个系统中至少有一个要素是学生还不知道的。那么这个

3、系统中至少有一个要素是学生还不知道的。数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性；二是数学问题有两个特别显著的特点：一是障碍性；二是可接受性。可接受性。 数学问题串指的是在一定的学习范围或主题内，数学问题串指的是在一定的学习范围或主题内，围绕一定的教学目标目标或某一中心问题，按照一围绕一定的教学目标目标或某一中心问题，按照一定逻辑结构精心设计的一组（一般定逻辑结构精心设计的一组（一般3 3个以上）问题。个以上）问题。 6 达成教学目标达成教学目标 改进学生学习方式改进学生学习方式 培养学生创新意识培养学生创新意识 问题串在教学中的作用问题串在教学中的作用 学生在学习新的概念过程是知识的构建过程，

4、这个过程最佳方案是让学生自己进行主动的构建，但是由于学生本身学习能力、知识基础的不完善，许多的知识障碍不是自己能够解决的，需要依靠教师的引导。如果教师直接对这个概念进行讲解，那就无法激发学生的学习欲望，成为被动的接受，对概念的建构效果也要大打折扣。 “你还记得以前遇到这样的问题你是怎么考虑的吗？” 陶维林 激发学生学习数学的兴趣激发学生学习数学的兴趣7二、如何设计数学问题串二、如何设计数学问题串 1 1问题串设计的依据问题串设计的依据 教学的重、难点教学的重、难点 教学目标的定位教学目标的定位 围绕核心概念和思想方法围绕核心概念和思想方法8学生已有的学生已有的认知基础认知基础教学目标教学目标的

5、达成的达成问题问题1 1问题问题2 2问题问题3 39必修必修3 第三章：（整数值）随机数的产生第三章：（整数值）随机数的产生教学目标：教学目标：（1 1）了解（整数值）随机数及伪随机数的概念；）了解（整数值）随机数及伪随机数的概念；（2 2）会用信息技术工具产生（整数值）随机数；）会用信息技术工具产生（整数值）随机数；（3 3）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟法），能针对）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟法），能针对 具体的随机事件建立概率模型，并通过随机模拟方法估计具体的随机事件建立概率模型，并通过随机模拟方法估计 概率，进一步体会概率的意义。概率，进一步体会概率的意义。教学过

6、程：教学过程：（1 1）引入随机数的概念；）引入随机数的概念；（2 2）学会用计算器产生伪随机数；）学会用计算器产生伪随机数；（3 3）应用蒙特卡罗方法（构造概率模型、进行模拟试验、）应用蒙特卡罗方法（构造概率模型、进行模拟试验、 得出估计值）。得出估计值）。10学生已有的基础：学生已有的基础： 学生曾用随机数表进行过随机抽样，但对什么是随机数、随学生曾用随机数表进行过随机抽样，但对什么是随机数、随机数（表）怎么产生的没有体会。机数（表）怎么产生的没有体会。教学目标：教学目标：（1 1）了解（整数值）随机数及伪随机数的概念；）了解（整数值）随机数及伪随机数的概念；问题串问题串1 111 问题串

7、问题串1 1： 在一个盒子中装有形状和大小完全一样，但分别标有在一个盒子中装有形状和大小完全一样，但分别标有0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9的十个球。的十个球。（1 1）从盒子中随机摸一个球，球上所标的数字是什么？）从盒子中随机摸一个球，球上所标的数字是什么？（3 3）如果通过试验的方法，要估计出现数字）如果通过试验的方法，要估计出现数字3 3的概率，你会怎样做？的概率，你会怎样做？复习古典概型，体会频复习古典概型，体会频率估计概率的意义。率估计概率的意义。体会用计算器（机）体会用计算器（机）产生伪随机数的意义产生伪随机数的意义。体会随机数的概念。

8、体会随机数的概念。（2 2）从盒子中随机摸）从盒子中随机摸1010次球，出现球上所标的数字为次球，出现球上所标的数字为3 3的次数大约的次数大约 是多少？如果摸是多少？如果摸10001000次，出现数字为次，出现数字为3 3的次数大约是多少？的次数大约是多少？12学生已有的基础：学生已有的基础： 学生会用计算器进行常规的操作，但是对于如何利用计算器学生会用计算器进行常规的操作，但是对于如何利用计算器产生随机数很陌生。产生随机数很陌生。教学目标：教学目标：（2 2）会用信息技术工具产生（整数值）随机数；）会用信息技术工具产生（整数值）随机数；问题串问题串2 213问题串问题串2 2：（1 1）利

9、用计算器你会产生整数值随机数）利用计算器你会产生整数值随机数0 0，1 1吗？吗？（3 3）如果要产生）如果要产生2001200120092009的整数值随机数，又该怎么办？的整数值随机数，又该怎么办？（2 2）如果计算器屏幕上出现）如果计算器屏幕上出现 ，然后反复按，然后反复按 ， 你估计会出现什么范围内的数？你估计会出现什么范围内的数？Ran9=（4 4）任意给定两个整数）任意给定两个整数a,b,a,b,如何用计算器产生如何用计算器产生a ab b之间取整数之间取整数 值的随机数呢？值的随机数呢？介绍用计算器产生介绍用计算器产生随机数的方法。随机数的方法。熟悉用计算器产生熟悉用计算器产生随

10、机数的方法，为随机数的方法，为模拟试验作铺垫。模拟试验作铺垫。14教学目标：教学目标：（3 3）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟法），能）通过具体案例理解蒙特卡罗方法（随机模拟法），能针对具体的随机事件建立概率模型，并通过随机模拟方法估针对具体的随机事件建立概率模型，并通过随机模拟方法估计概率，进一步体会概率的意义。计概率，进一步体会概率的意义。学生已有的基础：学生已有的基础： 学生基本没有随机模拟的体验和认识，对于建立什么样学生基本没有随机模拟的体验和认识，对于建立什么样的概率模型来进行模拟，通过哪些步骤来进行模拟试验都没的概率模型来进行模拟，通过哪些步骤来进行模拟试验都没有更多的了解

11、。有更多的了解。问题串问题串3 315问题串问题串3 3：（1 1）现在你能设计一个利用计算器模拟刚才摸球的试验吗？）现在你能设计一个利用计算器模拟刚才摸球的试验吗？（2 2）种植某种树苗的成活率为）种植某种树苗的成活率为50%50%，若种植这种树苗，若种植这种树苗2 2颗，你能颗，你能设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活1 1棵的概率吗？棵的概率吗？初步体验随机初步体验随机模拟方法。模拟方法。逐步形成随机模拟逐步形成随机模拟的步骤和方法。的步骤和方法。学会利用随机模拟方法学会利用随机模拟方法解决实际问题，进一步解决实际问题，进一步体会概率的意义。体会概率的

12、意义。（4 4）天气预报说，在今后三天中，每一天下雨的概率均为）天气预报说，在今后三天中，每一天下雨的概率均为40%40%，这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？（3 3）种植某种树苗的成活率为）种植某种树苗的成活率为 ，若种植这种树苗，若种植这种树苗2 2颗，你能颗，你能设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活设计一种随机模拟的方法近似求恰好成活1 1棵的概率吗？棵的概率吗？32难点：三个随机数为一组，作为一次试验出现；建立概率模型。（5 5）你认为随机模拟有什么好处吗？）你认为随机模拟有什么好处吗？问题串的目的：突破难点、突出重点，体现概率的思想 161

13、1问题串设计的依据问题串设计的依据 教学的重、难点教学的重、难点 教学目标的定位教学目标的定位 围绕核心概念和思想方法围绕核心概念和思想方法17必修必修1 1 3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点函数零点的概念函数零点的概念方程的根与函数零点的关系方程的根与函数零点的关系零点的存在性定理零点的存在性定理2 2问题串设计的原则问题串设计的原则181 1、能够结合具体方程（如一元二次方程），了解零点的、能够结合具体方程（如一元二次方程），了解零点的概念。概念。2 2、通过方程的根、相应函数图象与、通过方程的根、相应函数图象与x x轴的交点的横坐标与轴的交点的横坐标与相应函数

14、零点的关系，体会函数与方程的思想，数形结合相应函数零点的关系，体会函数与方程的思想，数形结合思想。思想。3 3、正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的、正确理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个。了解函数零点可能不止一个。4 4、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数。、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数。教学目标：教学目标：必修必修1 1 3.1.13.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点19问题串问题串4：的图象。的图象。的实数根

15、，并画出函数的实数根，并画出函数：求方程：求方程问题问题32032122 xxyxx的的联联系系。方方程程与与相相应应数数：请请你你从从形形式式上上观观察察函函问问题题03232222 xxxxy的的图图象象如如何何体体现现？在在函函数数的的实实数数根根方方程程：根根据据形形式式上上的的联联系系，问问题题32032322 xxyxx分分别别是是什什么么？的的零零点点和和函函数数：函函数数问问题题3212422 xxyxxy20问题串问题串5：判判断断方方法法？有有实实数数根根吗吗？你你有有哪哪些些：方方程程问问题题013458345612 xx何何联联系系呢呢？的的图图象象有有与与二二次次函函

16、数数的的根根：二二次次方方程程问问题题)0()0(0222 acbxaxyacbxax之之间间有有怎怎样样的的联联系系？与与方方程程：一一般般地地，函函数数问问题题0)()(3 xfxfy的根的根方程方程01345834562 xx的值的值时自变量时自变量的值为的值为函数函数xxxy01345834562 轴交点的横坐标轴交点的横坐标的图象与的图象与函数函数xxxy1345834562 的根的根方程方程0)( xf的值的值时自变量时自变量的值为的值为函数函数xxfy0)( 轴交点的横坐标轴交点的横坐标的图象与的图象与函数函数xxfy)( 21的图象。的图象。画出函数画出函数的实数根，并的实数根

17、，并：求方程：求方程问题问题32032122 xxyxx的联系。的联系。与相应方程与相应方程数数：请你从形式上观察函：请你从形式上观察函问题问题03232222 xxxxy的图象如何体现？的图象如何体现？实数根在函数实数根在函数的的方程方程：根据形式上的联系，：根据形式上的联系，问题问题32032322 xxyxx的零点分别是什么？的零点分别是什么？和函数和函数：函数：函数问题问题3212422 xxyxxy有实数根吗？有实数根吗？：方程：方程问题问题013458345612 xx问题串问题串4：问题串问题串5：问题串设计原则问题串设计原则1 1：要体现：要体现问题的驱动性。问题的驱动性。的的

18、图图象象有有何何联联系系呢呢？的的根根与与二二次次函函数数：二二次次方方程程问问题题)0()0(0222 acbxaxyacbxax之之间间有有怎怎样样的的联联系系？方方程程与与：一一般般地地，函函数数问问题题0)()(3 xfxfy22函数零点的存在性定理函数零点的存在性定理问题问题1 1：如图是某地：如图是某地0 01212时的气温变化图，假设气温是连续变化的，时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为刻的气温为00？为什么？为什么？( (假设气温是连续变化的假设气温是连续

19、变化的）-4128气温气温/时间时间/ /h hO问题问题2 2：函数存在零点的关键是什么？：函数存在零点的关键是什么？问题串问题串6：问题问题1 1：如图是某地：如图是某地0 01212时的气温变化图，假设气温是连续变化的，时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用请用两种不同的方法两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为是否一定有某时刻的气温为00？为什么？为什么？( (假设气温是连续变化的假设气温是连续变化的）问题串问题串7：问题问题2 2：23-4128气温气温/时间时间/ /h hO图图1 1-4128气温

20、气温/时间时间/ /h hO图图2 2-4128气温气温/时间时间/ /h hO图图3 3-4128气温气温/时间时间/ /h hO图图4 4-4128气温气温/时间时间/ /h hO图图5 5问题问题1 1：如图是某地：如图是某地0 01212时的气温变化图，假设气温是连续变化的，时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用请用两种不同的方法两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为是否一定有某时刻的气温为00？为什么？为什么？( (假设气温是连续变化的假设气温是连续变化的）问题串问题串7 7：24函数零点的存在性定理

21、函数零点的存在性定理问题问题1 1：如图是某地：如图是某地0 01212时的气温变化图，假设气温是连续变化的，时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时请将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为刻的气温为00？为什么？为什么？( (假设气温是连续变化的假设气温是连续变化的）-4128气温气温/时间时间/ /h hO问题问题2 2：函数存在零点的关键是什么？：函数存在零点的关键是什么？问题问题1 1：如图是某地：如图是某地0 01212时的气温变化图，假设气温是连续变化的，时的气温变化图，假设气温是连续变化的，请用请用两

22、种不同的方法两种不同的方法将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，将图形补充成完整的函数图象。这段时间内，是否一定有某时刻的气温为是否一定有某时刻的气温为00？为什么？为什么？( (假设气温是连续变化的假设气温是连续变化的）问题串问题串6：问题串问题串7：问题串设计原则问题串设计原则2 2：尽可能：尽可能启发学生的思维。启发学生的思维。25上上一一定定没没有有零零点点吗吗？在在区区间间则则满满足足：若若函函数数问问题题),()(, 0)()()(5baxfybfafxf 上上一一定定存存在在零零点点吗吗？在在则则满满足足：若若函函数数问问题题),()(, 0)()()(1baxfybfafxf

23、 上上只只有有一一个个零零点点吗吗？在在则则满满足足：若若函函数数问问题题),()(, 0)()()(4baxfybfafxf ？零零点点，是是否否一一定定有有上上恰恰有有一一个个在在上上图图象象连连续续不不断断的的函函数数：若若在在区区间间问问题题0)()(,)(,6 bfafbaxfba问题串设计原则问题串设计原则3 3：要有层：要有层次性，体现内在逻辑。次性，体现内在逻辑。问题串问题串8：上上一一定定存存在在零零点点吗吗？在在则则函函数数一一条条曲曲线线，且且满满足足上上的的图图象象是是连连续续不不断断的的在在：若若函函数数问问题题),()(, 0)()(,)(2baxfybfafbax

24、f 函数零点存在性定理函数零点存在性定理问题问题3 3：有位同学画了个图，认为这个：有位同学画了个图，认为这个“定理定理”不成立，你的看法呢？不成立，你的看法呢？Oabxy26必修必修4 4 1.2.1 1.2.1 任意角三角函数任意角三角函数教学目标：教学目标：1、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：、借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：能用平面直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角能用平面直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；能用平面直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标三角函数；能用平面直角坐标系中角的终边与单位圆交点

25、的坐标来表示任意角的三角函数。来表示任意角的三角函数。2、知道三角函数是研究一个实数集（、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。3、在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数、在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用

26、这一思想解决有关定义应用的问题。形结合的思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。27问题串问题串9：的的近近似似值值。，出出函函数数，借借助助三三角角板板，找找：任任意意画画一一个个锐锐角角三三角角问问题题 tancossin1到到？数数值值不不用用计计算算就就可可以以得得单单位位长长，使使有有些些三三角角函函：能能否否把把某某些些线线段段画画成成问问题题2分分别别是是什什么么？以以及及与与之之对对应应的的函函数数值值作作为为一一个个函函数数，自自变变量量：锐锐角角三三角角函函数数问问题题 sin3怎怎样样定定义义好好呢呢？、，对对于于任任意意角角样样的的环环境境下下，你你们们认认为为轴轴

27、的的正正半半轴轴重重合合。在在这这始始边边与与点点，使使得得角角的的的的顶顶点点在在原原，在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中：现现在在角角的的范范围围扩扩大大了了问问题题 tancossin4x必修必修4 4 1.2.1 1.2.1 任意角三角函数任意角三角函数28学生出现的障碍：学生出现的障碍：1 1、学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时、学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时出现障碍，学生已经习惯直观地用有关边长的比值来表示锐角出现障碍，学生已经习惯直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数。三角函数。2 2、学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一、学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上存在障碍。特殊位置上存在障碍。3 3、学生在将单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角、学生在将单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还会出现障碍。函数时，还会出现障碍。29任意角三角函数的概念任意角三角函数的概念锐角三角函数的概念锐角三角函数的概念单位化单位化坐标化坐标化核心概念：核心概念：下位概念：下位概念：函数的概念函数的概念上位概念：上位概念：符合函数定义符合函数定义核心概念：核心概念：下位概念：下