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文档简介
1、 在数列中应用函数思想解题策略探究 胡魁勇摘要:函数思想是学生在中学阶段接触到的最重要的数学思想之一。数列作为一种特殊的函数,充分利用函数思想解决数列有关问题,可以加深学生对数列的认识,提高学生分析问题和解决问题的能力,而现行教材较少涉及函数思想在数列中的应用。基于此,本文探讨了在数列中应用函数思想解题的策略。关键词:函数思想 数列 解题策略近几年,在高考试卷中,利用函数思想解决数学问题属于高频考点。通过建立函数关系或构造函数,可以充分运用函数的性质和图像分析问题、转化问题,从而解决问题。数列在初等数学和高等数学中都占
2、有重要地位,在古代数学中更是处于中心地位。设计利用函数思想解决数列问题,有助于提高学生灵活、综合运用数学知识的能力,加深学生对数学方法的理解。特别是部分特殊数列和较为复杂的递推数列,如果学生用常规方法,则难以解决,而使用函数思想往往可化难为易、化繁为简,找到解题捷径。下面,笔者通过一些示例谈谈如何应用函数思想解决数列问题。一、函数解析式的应用数列是关于正整数n的函数,所以学生可以运用求函数解析式的方法待定系数法、求数列通项公式和前n项和公式。例1.(待定系数法)等差数列的前n项和为sn,若s12=84,s20=460,求s28。解:由题意可知,该等差数列的前n项和sn是关于n的二次函数设sn=
3、an2+bn(a0) 84=144a+12b460=400a+20ba=2b=-17sn=2n2-17ns28=1092此题应用了二次函数解析式解题,二次函数是学生在初中就接触到的函数,较为简单。这道例题充分体现了函数思想在数列中的应用,激发了学生的学习兴趣,拓展了学生思路。二、函数单调性的应用例2.已知数列an,通项公式为an=(n+1)( )n (nn),试问该数列有没有最大的项,若有,求出其项数;若没有,请说明理由。解:该数列有最大的项,理由如下:an+1-an=(n+2)(
4、; )n+1-(n+1)( )n = ( )n当nan,数列an单调递增当n>9时,an+1当n=9时,an+1=an,即a10=a9数列an有最大值,其项数为9或10。此数列既不是等差数列,又不是等比数列,用求出各项再研究其规律的方法不易完成。如果学生从函数思想出发,从研究函数单调性入手,并利用指数函数的函数值恒大于0,就简单得多。虽然解此题时需要掌握指数函数,但这个方法能拓宽数列最值的求解思路。三、函数对称性的应用例3.非零等差数列an中,前m项和sm=sn(mn),求sm+sn。解:设sn
5、=an2+bn(a0)y=an2+bn(a0)的圖像是一条过原点的抛物线sm=sn(mn)该抛物线的对称轴为x=抛物线与x轴的交点其一为(0,0)另一交点为(m+n,0)sm+sn=0此题由sn=an2+bn(a0)很自然就联想到了二次函数,从二次函数图像对称性入手,易于学生理解和掌握。总而言之,在数列教学中,教师除了要注重理解和掌握学生数列基础知识外,还要适当渗透函数思想在数列相关问题中的应用,深化学生对数学思想方法的理解,达到提高学生数学核心素养的目标。参考文献:1刘正玉.浅谈高中数学教学中函数思想的应用j.考试周刊,2014(9).2唐剑,王振新,李群,等.高等数学理论在高中数学教学中的渗透j.阜阳师
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