高考复习方案数学理科北师版第2单元第15讲定积分与微积分基本定理

1、第第1515讲讲 定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理知识梳理1定积分的概念定积分的概念一般地，给定一个在区间一般地，给定一个在区间a，b上的函数上的函数yf(x)，其图像如图，其图像如图151所示所示将将a，b区间分成区间分成n份，分点为：份，分点为：ax0 x1x2xn1xnb.第第i个小区间为个小区间为xi1，xi，设其长度为，设其长度为xi，在这个小区间上取一点，在这个小区间上取一点i，使，使f(i)在区间在区间xi1，xi上的值最大，设上的值最大，设sf(1)x1f(2)2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点在这个小区间上取一点i，使，使f(i)在区间在区间xi1，

2、xi上的值最小，上的值最小，设设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn. 第第1515讲讲 知识梳理知识梳理图图151如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，s与与s的差也趋于的差也趋于0，此时，此时s与与s同时趋于某一个固定的同时趋于某一个固定的_，容易验证，在每个小区间，容易验证，在每个小区间xi1，xi上任取上任取一点一点i，sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn的值也趋于该的值也趋于该_，我们，我们称称_是函数是函数yf(x)在区间在区间a，b上的上的_，记作，记作f(x)dx，即，即_其中，其中，叫作积分号，叫作积分号，

3、a与与b分别叫作积分的分别叫作积分的_与积分的与积分的_，函数，函数f(x)叫作叫作_ 第第1515讲讲 知识梳理知识梳理常数常数a 常数常数a a 定积分定积分 下限下限 上限上限 被积函数被积函数 第第1515讲讲 知识梳理知识梳理yf(x) xa，xb和和x轴轴 ba f(b)f(a) 要点探究 探究点探究点1利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分第第1515讲讲 要点探究要点探究思路思路 利用微积分基本定理求定积分，就是求出被积函数的一个利用微积分基本定理求定积分，就是求出被积函数的一个原函数，然后再计算在相应区间上的函数值的差即可原函数，然后

4、再计算在相应区间上的函数值的差即可 第第1515讲讲 要点探究要点探究第第1515讲讲 要点探究要点探究(2)不等式不等式0(2x8)dx0的解集为的解集为 答案答案 a|0a8 第第1515讲讲 要点探究要点探究答案答案 3 第第1515讲讲 要点探究要点探究 点评点评 利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互数的一个原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复为逆运算，因此要注意掌握一些常见函数的导数，在求稍微复杂的定积分时要注意被积

5、函数的变形转化把定积分融入方程杂的定积分时要注意被积函数的变形转化把定积分融入方程或不等式已成为近几年考试的热点或不等式已成为近几年考试的热点 探究点探究点2利用定积分的几何意义求定积分利用定积分的几何意义求定积分第第1515讲讲 要点探究要点探究思路思路 画出被积函数的图像，求出对应图形的面积，由定积分的几画出被积函数的图像，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值何意义便可求出积分值 第第1515讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点3定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用定积分在求图形面积和旋转体体积方面的应用 例例3 (1)求抛物线求抛物线y22x与直线与直线yx4围成的平

6、面图形的面积围成的平面图形的面积 第第1515讲讲 要点探究要点探究思路思路 先画出已知函数的图像，求出抛物线与直线的交点，再利用积分求解先画出已知函数的图像，求出抛物线与直线的交点，再利用积分求解 第第1515讲讲 要点探究要点探究(2)求由曲线求由曲线ysinx在在0，段与段与x轴所围成的图形绕轴所围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积轴旋转所成的旋转体的体积v. 思路思路 直接用旋转体的体积公式计算直接用旋转体的体积公式计算 第第1515讲讲 要点探究要点探究 点评点评 (1)从上述两种解法中可以看出，对从上述两种解法中可以看出，对y积分比积分比x积分计算简捷，但同积分计算简捷，但同时也

7、要注意对时也要注意对y积分时，积分函数应为积分时，积分函数应为xm(y)，然后再根据定积分求解，因，然后再根据定积分求解，因此对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据此对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间(2)利用积分利用积分研究旋转体的体积时，要注意旋转体相应的旋转曲线，旋转方向与旋转轴研究旋转体的体积时，要注意旋转体相应的旋转曲线，旋转方向与旋转轴 探究点探究点4定积分在物理方面的应用定积分在物理方面的应用第第1515讲讲 要点探究

8、要点探究 例例4 2010福州模拟福州模拟 一辆汽车的速度一辆汽车的速度时间曲线如图时间曲线如图152所示，求所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程该汽车在这一分钟内行驶的路程 图图152 思路思路 本题考查定积分在物理中的应用，可本题考查定积分在物理中的应用，可以先根据图像求出速度关于时间的函数解以先根据图像求出速度关于时间的函数解析式，再利用定积分求出路程析式，再利用定积分求出路程 第第1515讲讲 要点探究要点探究第第1515讲讲 要点探究要点探究 点评点评 用定积分解决变速运动的位置与路程问题用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键变速直线运时，将物理问题转化为数学问题是关键变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可可得到答案，由于函数是分段函数，所以运算过程可能