第六节函数项级数的一致收敛

1、上页 下页 返回 结束 函数项级数的一致收敛性*第六节一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 第十二章 上页 下页 返回 结束 幂级数在收敛域内的性质类似于多项式幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数但一般函数项级数则不一定有这么好的特点项级数则不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在每项在 0,1 上都连续上都连续, 其前其前 n 项之和为项之和为,)(nnxxs和函数和函数)(lim)(xsxsnn10 x, 01x, 1该和函数在该和函数在 x

2、1 间断间断.一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性上页 下页 返回 结束 因为对任意因为对任意 x 都有都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为所以它的收敛域为 (, +) ,但逐项求导后的级数但逐项求导后的级数 xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般项不趋于其一般项不趋于0, 所以对任意所以对任意 x 都发散都发散 .又如又如, 函数项级数函数项级数问题问题: 对什么样的函数项级数才有对什么样的函数项级数才有:逐项连续逐项连续 和函数连续和函数连续; 逐项求导逐项求导 = 和函数求导和函数求导; 逐项积分逐项积

3、分 = 和函数积分和函数积分 上页 下页 返回 结束 定义定义. 设设 s(x) 为为 )(1xunn若对若对 都有一个只依赖于都有一个只依赖于 的自然数的自然数 n , 使使 当当n n 时时, 对区间对区间 i 上的一切上的一切 x 都有都有)()()(xsxsxrnn则称该级数在区间则称该级数在区间 i 上一致收敛于和函数上一致收敛于和函数s(x) .在区间在区间 i 上的和函数上的和函数,任意给定的任意给定的 0,显然显然, 在区间在区间 i 上上 )(1xunn一致收敛于和函数一致收敛于和函数s(x)部分和序列部分和序列)(xsn一致收敛于一致收敛于s(x) 余项余项 )(xrn一致

4、收敛于一致收敛于 0 上页 下页 返回 结束 几何解释几何解释 : (如图如图) )(xsy)(xsyix)(xsy , 0,zn当当n n 时时,表示)()(xsxsn曲线曲线 )()(xsyxsy与总位于曲线总位于曲线)(xsyn)(xsyn之间之间.上页 下页 返回 结束 例例1. 研究级数研究级数 ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间在区间 0, +) 上的收敛性上的收敛性.解解: 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxsn)111(nxnx1111nxx上页 下页 返回 结束 )(lim)(xsxsnn)

5、1111(limnxxn11x)0( x余项的绝对值余项的绝对值:)()()(xsxsxrnn11nx11n)0( x因此因此, 任给任给 0, 取自然数取自然数 ,11n则当则当n n 时有时有)0()(xxrn这说明级数在这说明级数在 0, +) 上一致收敛于上一致收敛于 .11)(xxs上页 下页 返回 结束 例例2. 证明级数证明级数 )()()(1232nnxxxxxxx在在 0,1 上不一致收敛上不一致收敛 . 证证: nnnnxxxxxxxs)()()(12)(xs10 x, 01x, 1)()()(xsxsxrnn10 x,nx1x, 0取正数取正数 ,21对无论多么大的正数对

6、无论多么大的正数 n ,)(11210nx取, 1, 00 x,)(2101xrn而因此级数在因此级数在 0, 1 上不上不一致收敛一致收敛 . 上页 下页 返回 结束 yox说明说明:11nnnxxs)()(xs10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xs对任意正数对任意正数 r 0, 欲使欲使,nr只要只要,lnlnrn因此取因此取,lnlnrn只要只要,nn ,)(nnrxr必有即级数在即级数在 0, r 上一致收敛上一致收敛 .上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯维尔斯特拉斯(weierstrass) 判别法判别法 用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时用一致收

7、敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出需求出 ),()(xsxsn及这往往比较困难这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的下面介绍一个较方便的判别法判别法.若函数项级数若函数项级数)(1xunn在区间在区间 i 上满足上满足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数则函数项级数 )(1xunn在区间在区间 i 上一致收敛上一致收敛 .上页 下页 返回 结束 由条件由条件2), 根据柯西审敛原理根据柯西审敛原理, ,0n当当 n n 时时, 对任意正整数对任意正整数 p , 都有都有 221pnnnaaa由条件由条件1), 对对 x i , 有有)()()(2

8、1xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数故函数项级数 )(1xunn在区间在区间 i 上一致收敛上一致收敛 . 证毕证毕证证: :上页 下页 返回 结束 oxrrab若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径 r 0 , 则此级则此级 数在数在 (r, r ) 内任一闭区间内任一闭区间 a , b 上一致收敛上一致收敛 .证证: ,maxbar 设则对则对 a , b 上的一切上的一切 x , 都有都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0rr 而由阿贝尔定理由阿贝尔定理(第三节定理第三节定理1) 级数级

9、数 nnnra0绝对收敛绝对收敛 ,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛则一致收敛 区间可包含此端点区间可包含此端点. 证毕证毕 推论推论. .上页 下页 返回 结束 证明级数证明级数22222sin22sin1sinnxnxx在在(, +) 上上 一致收敛一致收敛 .证证: ),(x因对任意),2, 1 ,0(1sin222nnnxn而级数而级数021nn收敛收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在在 (, +) 上上 一致收敛一致收敛 .例例3.3

10、.上页 下页 返回 结束 维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性敛性, 而且能判别其绝对收敛性而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式当不易观察到不等式时，nnaxu)(可利用导数求可利用导数求)(maxxuanixn例如例如, 级数级数,1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求导法可得用求导法可得已知已知2311nn收敛收敛, 因此原级数在因此原级数在0, +) 上一致收敛上一致收敛 . ,1)(25xnxnxun说明说明: :上页 下页 返回 结束 定理定理1. 若级数若级数 :)(1满

11、足xunn, )(,)()21xsbaxunn上一致收敛于在区间.,)(上连续在则baxs证证: 只需证明只需证明, ,0bax . )()(lim00 xsxsxx由于由于)()(0 xsxs)()()()(00 xrxsxrxsnnnn)()()()(00 xrxrxsxsnnnn;,)() 1上连续在区间各项baxun二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质上页 下页 返回 结束 因为级数因为级数)(1xunn一致收敛于一致收敛于s (x) , n, 0故),(n使当使当 n n 时时, 有有3)(,3)(0 xrxrnn对这样选定的对这样选定的 n , ,)(0连续在xxs

12、n从而必存在从而必存在 0 ,有时当,0 xx3)()(0 xsxsnn从而得从而得)()(0 xsxs,)(0连续在故xxs).()(lim00 xsxsxx即证毕证毕 上页 下页 返回 结束 (1) 定理定理1 表明表明, 对一致收敛的级数对一致收敛的级数, 极限运算与无限极限运算与无限 求和运算可交换求和运算可交换, 即有即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函数项级数不一致收敛时若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立定理结论不一定成立. 例如例如, 级数级数 ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在区间在区间 0 , 1 上处处收敛上处处收敛,

13、 而其和函数而其和函数)(xs10 x, 01x, 1在在 x = 1 处不连续处不连续 .说明说明: :上页 下页 返回 结束 定理定理2. 若级数若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xsbaxunn上一致收敛于在区间则该级数在则该级数在 a, b 上可逐项积分上可逐项积分, xxuxxsnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即对且上式右端级数在且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛上也一致收敛 . 证证: 因为因为 xxukxxnkd)(01xxsxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上连续在区间各项baxun上页 下页 返回 结束 所以只需证明对所以只需

14、证明对任意任意 ),(,00 xxbaxx一致有一致有xxsxxsxxnxxnd)(d)(lim00 根据级数的一致收敛性根据级数的一致收敛性, ),(, 0nn 使当使当 n n 时时, 有有abxsxsn)()(于是于是, 当当 n n 时时, 对对一切一切 ),(,00 xxbaxx有有xxsxxsxxnxxd)(d)(00 xxsxsnxxd)()(0 xxsxsnbad)()(因此定理结论正确因此定理结论正确. 证毕证毕 上页 下页 返回 结束 说明说明: 若级数不一致收敛时若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立定理结论不一定成立. 例如例如, 级数级数 2222) 1(221)

15、1(22xnxnnexnexn它的部分和它的部分和 ,2)(222xnnexnxs因此级数在因此级数在 0 , 1 上上收敛于收敛于 s (x) = 0 , 所以所以.0d)(10 xxs但是但是xexnexnxnxnnd) 1(222222) 1(2211022) 1(1nnnee110)(dxxs为什么对级数定理结论不成立为什么对级数定理结论不成立? 分析它是否满足分析它是否满足 上页 下页 返回 结束 定理定理2 条件条件. 级数的余项级数的余项 2222)(xnnexnxr,10时当nx )2(12)(0nenxrn可见级数在可见级数在 0, 1 上不一致收敛上不一致收敛 , 此即定理

16、此即定理2 结论结论 对级数不成立的原因对级数不成立的原因. 上页 下页 返回 结束 定理定理3. 若级数若级数 满足：)(1xunn,)()31上一致收敛在级数baxunn)()(1xuxsnn且可逐项求导且可逐项求导, 即即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上连续在,)(1上一致收敛在区间则baxunn; )(,) 1xsba上收敛于在区间证证: 先证可逐项求导先证可逐项求导. ),()(1xxunn设根据定理根据定理2, 上页 下页 返回 结束 有对, ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(asxs上式两边对上式两

17、边对 x 求导求导, 得得 ).()(xxs再证再证.,)(1上一致收敛在baxunn根据定理根据定理 2 , ,d)(1上一致收敛在级数baxxunxan而而xxunxand)(1)()(11auxunnnn上页 下页 返回 结束 )(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以所以.,上一致收敛在ba级数一致收敛并不保证可以逐项求导级数一致收敛并不保证可以逐项求导. 例如例如, 例例3中的级数中的级数22222sin22sin1sinnxnxx说明说明:在任意区间上都一致收敛在任意区间上都一致收敛, 但求导后的级数但求导后的级数 xnxx22cos2coscos其一般项不趋于其一般项

18、不趋于 0, 所以对任意所以对任意 x 都发散都发散 . 证毕证毕 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明函数证明函数 31sin)(nnxxfn对任意对任意 x 有连续导数有连续导数.解解: 显然所给级数对任意显然所给级数对任意 x 都收敛都收敛 , 且每项都有连续且每项都有连续导数导数, 而逐项求导后的级数而逐项求导后的级数 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收敛nn故级数在故级数在 (,+) 上一致收敛上一致收敛, 故由定理故由定理3可知可知.cos)(21nnxxfn 再由定理再由定理1可知可知 .),()(上连续在 xf上页 下页 返回 结束 定理定理

19、4 . 若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0r)(xs数nnnxaxs0)(,11nnnxan),(rrxxxaxxsnxnnxdd)(000,110nnnxna),(rrx则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续, 且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分, 运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同,即即证证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理特拉斯判别法的推论及定理 1, 2 立即可得立即可得 . 下面证明逐项可导的结论下面证明逐项可导的结论:上页 下页 返回 结束 证证:.),(10内收敛在先证级数rrxannnn),(rrx任取,11rxxx使再取定, 11xxq记则则1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值审敛法知级数由比值审敛法知级数 ,10收敛nnqn故故, 0lim1nnqn,1有界因此nqn故存在故存在 m 0 , 使得使得 ),2, 1(111nmqnxn,01rx 又,10收敛级数nnnxa由比较审敛法可知由比较审敛法可知上页 下页