保算之洞葱漫利息理论

1、王 明 征大连理工大学管理学院2009年11月2利息是借入资本需要支付的使用价值或 出让资本使用权得到的报酬： 在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，由于受通货膨胀的影响，等额的货币在不同时间上的实际价值也不同。 利息的计算与累积函数的形式、利息的计算次数、投资时期长短等有关3总额函数： 累积函数是单位本金的累计额，以 表示。 其中， ， 。4)(ta)0()()(atata1)0(a)()0()(taata( )( )( )( )(0)( ).a ttti tta ta tai t时刻的资金累积额时刻的本金和利息之和; 时刻的利息.则

2、称为总额函数。这样有 a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。5a(t)01ta(t)01ta(t)01t 图2-1 图2-2 图2-3利息率l1年内1单位本金的利息就是实际年利息率 以 表示第n个基本计息时间单位的实际利率 6( )(1)(1)na na nia nni1(1)(0)(0)aaia单利单利：只在本金上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为: 第2年末的累

3、积额为:当各年利率均为i时，有7( )1()a tit 累积函数的形式)1)(0()0()0() 1 (11iaiaaa1212(2)(0)(1)(0)(0)(1)aaiaiaii)1)(0()(itata复利复利：在本金和利息上生息设第t年实际利率it，1年末的累积额为: 第2年末的累积额为:当各年利率均为i时，有8)1)(0()0()0() 1 (11iaiaaa)1)(1)(0()1)(0()1)(0()2(21211iiaiiaiaaniana)1)(0()( )(1)ta ti （累积函数的形式）利息可以按年结算，也可以按半年、季度和月结算。在单利下，计息单位不影响利息额；在复利下，

4、年利使率不变，但结算的时间单位不同，也会使实际利息值不同。910在复利下，tti)1 (111122( 2 )( 0 )(12 )1000(125% )1100 ()22( 2 )( 0 )(1)1000(15% )1102.5 ()( 2 )19971391000(15% )1365aaiaai(1)1997年 1月 1日 到 1999年 1月 1日 为 2年 。在 单 利 下 ， 还 款 总 额 为 ： 元；在 复 利 下 ， 还 款 总 额 为 ：元。从年 1月 1日 到 1997年 5月 20日 为 140天 ， 计 息 天 数 为 139天 。在 单 利 下 ， 还 款 总 额 为

5、：解 ：019.04 ()1393651000(15% )1018.75 ()(3 )120012001000(10.05 ),4 ()12001000(10.05 ) ,3.74 ()ttttt元，在 复 利 下 ， 还 款 总 额 为 ：元。设 借 款 年 后 需 要 还 款元 。在 单 利 下 ， 有 进 一 步 可 得 ： 元；在 复 利 下 ， 有 进 一 步 可 得 ： 元。13(5) 10000 (1 2 5% 3 6%) 12800()23(5)10000(15%)(16%)13139.95()aa 在单利下，有元 ；在复利下，有元 。解：在单利下，14贴现率：单位货币在单位时

6、间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。 d表示一年的贴现率: dn表示第n年贴现率: 15iiiiaaaaad1111) 1 (1) 1 () 1 ()0() 1 ()() 1()()() 1()(nanananananadn16iiiiiaad111)1 () 1 (1) 1 (iiid11111ddi1可见， d(1 0.05)857.38()0.05(2)0.053.10.952.3 did 计算1998年1月1日1000元在复利贴现率5%下1995年1月1日的现值及年利息率。解：(1)1995年1月日的现值为： 元 ；年利息率为： 例：20199

7、88114000(1) (2) 211400012459.95()1.06(2)1400021402.4年 月日某投资资金的价值为元，计算在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1日的现值。在复利贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。解： (1)已知利率时，用折现系数计算值，14000元2年前的现值为：元 ；用贴现率计算现值，元 年的现值为：例： 200(10.06)12370.4()元 。名义利率:一年结算多次的规定的年利率。 以 表示，m表示结算次数， 21)(mimmmii11)(名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。 以 表示，m表示结算次数， 22(

8、)mdid111mmmdd1 1)(233%1000362898.28()2898.282.5某人以每月的利率从银行贷款元，那么在复利计息下，3年后他拖欠多少钱？解：3%是月结利率，3年后的累计欠款可以直接36个月的复利计算本息，有1000 (1.03)元 ，故三个年后他拖欠元。例：24(1 )1 2 %( 2 )1 2()1 2 %11111 2 .6 8 % ,1 21 2 .6 8 % .4()1 0 %( 2 ) 111142 .6mmiimmmddm 求 每 月 结 算 的 年 利 率 为的 实 际 利 率 。求 每 季 结 算 的 年 贴 现 率 为 1 0 % 的 实 际 贴 现

9、 率 。( 3 ) 求 相 当 于 每 月 结 算 的 年 利 率 为 1 2 % 的 半 年 结 算 的贴 现 率 。解 ： ( 1 ) 实 际 利 率 为 ：故 实 际 利 率 为实 际 贴 现 率 为 ：例：9 .6 3 % ,9 .6 3 %()()1( 3 ) (1)1,11,21 2()1 2 %11,1 2261 2 %( 2 )2111 1 .5 9 % .1 2mnmnididmnndd故 实 际 贴 现 率 为。由有代 入 相 应 的 数 值 可 得这 样 得 到 254000416%2116%4374000 (1 4%)5263.73()2.7 某人从银行借款元，这笔借款

10、的利息每年结算 次，年利率为。那么他在借款个月欠银行的款为多少？解：年利率为，每年结算 次，也就是每 个月结算一次,每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次(21/3=7)。这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：元。例：利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。 定义利息力为，)1ln(11)1 (lim 11 limlim11)(imiimimmmmmm26ie 1故， e27(1) 2003722(2 ) (12 )(3) 5 (1) ,400020037224000 (1)(2.20 )150.74000(1)40002.8iiiieiie 某 人 在 1998年

11、 7月 22日 贷 款 4000元 ， 如 果 利 息 力 是 14%， 在复 利 下 ， 试 求 解 以 下 问 题 ：贷 款 额 在年月日 的 价 值 。年 利 率 。名 义 利 率。解 ：如 果 已 知 年 利 率元 贷 款 额 在年月日 的 值 。由 公 式， 利 息 力 与 利 率 有 如 下 关 系 ：，从 而例：8055.01()0.140.14(2 ) 1,10.1502712(12 )0.14(3) (2.14)11,12(12 )014 /1212(1)0.14082ieieiaieie 元 。由得 年 利 率 为 ：。由式 和 (2.20)式 ， 有 这 样 有28300

12、0032000072.9x某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了元，又过了 年再还了元，求 年后的欠款额为多少？解：设他在7年后的欠款额为 ，有例：1410450000 1.0330000 1.0320000 1.0312801()x 元29199512.10某人在年 月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%，计算2004年1月1日其账户上的余额。解：依题意，可以画出下面的收支图：例：97380001.0560001.05120001.056961.73()x 元3019961 1400020001 16000

13、 20031 150007%20021 12.11某人在年 月日存款元，在年 月日存款元，年 月日存款元。如果年利率为，计算在年 月日账户中的存款总额。解：依题意，可以画出下面的收支图：例：62140001.0760001.0750001.0717545.22()x元3119951 1200019981 13000某人年 月日在其银行账户上存款元，年 月日存款元，如果之后没有存取款项，2000年1月1日的账户余额为7100元，计算实际利率。解：依题意，可以画出下面的收支图：例2.12：522 0 0 0(1)3 0 0 0(1)7 1 0 0 ,52()2 0 0 0(1)3 0 0 0(1)

14、7 1 0 0 .()( 0 .1 1 1 )1 1 .7 10 ,1()( 0 .1 1 2 )1 0 .2 20 .21 1 .7 1()00 .1 1 10 .0 0 10 .1 1 1 5 3 .1 0 .2 2(1 1 .7 1 )iifiiififfiffii 令利 用 计 算 机 模 拟 可 以 得 到 结 果 ， 也 可 以 利 用 线 性 插 值 得 到 结 果 ，这 样 有由可 知 ：年金：是收付款的一种方式，每隔一个相等的时间间隔的一系列固定数额的收付款方式。 例如：购房时的按揭付款方式；退休购买养老金 期首付年金期末付年金32331321nna 11n=dn1=34nn

15、a321)1(n=in1=(1)(1)1nnnnsaiid35对于n年定期、每年1元、期首付的年金在n年末的终值为：36nnnias)1(nnii)1 (1iin1)1 (对于n年定期、每年1元、期末付的年金在n年末的终值为：37n年定期的每年1单位元期首付年金、期末付年金的现值和终值间关系图 对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m元的期首付年金现值，以 表示，38()1/2/(1) (1)/1/()11111111mmmnmmnnmnmammmmmd )(mna 39对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金现值以 表示，)(mna()1/2/()1111mmmnnnmamm

16、mi40对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期首付年金在n 年末的终值为，()()1nmmnsd41对于n 年定期，每年收付m次，每次1/m 元的期末付年金在n 年末的终值为，()()1nmmnsi42202.13某人从银行贷款万元用于购买住房，规定的还款期是30年。假设贷款利率为5%，如果从贷款第2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。解：设每年需要的还款额为x，根据题意，有下面的还贷收支图：例：200000,3020000013010.29301xaixv由 于 贷 款 和 还 款 在 零 时 刻 的 现 值 是 相 等 的 ， 有 那 么 进 一 步 有 （ 元 ） 。43

17、200020002000,.15151150.060.0566,11 0.06194.27()dxaxavidix因为那么有 由于故有元200015,2.14x某人用元一次性购买了年确定年金，假设年利率为6%，第一次年金领取从购买时开始，试计算每年可以领取的数额。解：假设每年可以领取的数额为如下图：例：4430300603%(1) (2) 20(1)303030(1)11.03130030030014700300.03/1.032.15isd某 人 在岁 时 计 划 每 年 初 存 入元 建 立 个 人 账 户 ， 如 果 他 在岁退 休 ， 存 款 年 利 率 假 设 恒 定 为。求 退 休

18、 时 个 人 账 户 的 累 积 额 。如 果 个 人 账 户 累 积 额 在 退 休 后 以 固 定 年 金 的 方 式 在年 内 每 年 领 取 一 次 ，求 每 年 可 以 领 取 的 数 额 。解 ： 退 休 时 个 人 账 户 累 积 额 是年 定 期 的 年 金 终 值 ：例：.80()14700.80(2)300,3020202011 (1/1.03)15.3238,200.03/1.0314700.80959.34()15.3238959.34xsxavadx元 ，因 此 ， 个 人 账 户 在 退 休 时 的 累 积 额 为元 。在 退 休 时 ， 将 来 领 取 的 年 金

19、 现 值 等 于 过 去 个 人 账 户 累 积 额 ， 设 每 年 可 以领 取 到 的 数 额 为元 ， 则 有那 么 有 元 。因 此 每 年 可 以 领 取 的 数 额 为元 。4550000956%1211.060.004868.6018850000(1) ,6060850000(1)1001.092().6012.16 xjjjvxajajjjxv某人贷款元购买汽车，从贷款后第 个月开始后在 年中每月还款，利率为，求每月的还款额。解：假设每月的还款额为 且月利率为 ，那么有 ，进而有 在第 个月，有那么有元例46定义： 收付时期没有限制，每隔一个间隔永远连续收付的 年金，相当于前面

20、定期年金当时期n趋于无穷大时 的值。 每年一元期末付永续年金现值为， iaann1lim47daann1lim )()(1mmia )()(1mmda 其他永续年金现值为： 变额年金是每次收付额不等的年金常见的有，每次收付额等差递增或递减每次收付额等比递增48如果在n年定期内，第一年末收付1单位元，第2年末收付2单位元，以后每次比上一次递增1单位元的期末付年金现值以 表示。 49（nia)23()23nnian 5021(1) ()123nniian 21()1nnnnniianan inaiannn )(dnaainnn )(两者相减后得代入上式后得 上述年金期首付时，年金现值为51当第一年

21、收付n元，以后每隔一年收付额减少一单位元的n年定期递减的期末付年金为， iandann)(上述定期递减年金在期首付时，为 iainadnn )1 ()( 变额年金的终值是相应年金现值与利率累积系数之积 52对等比递增的年金，如果第一年1单位元，以后收付额每年递增j比例，n年定期的年金现值为：2211211(1)(1)(1)(1)11111nnnnpvjjjjpvdiijdiij 设， 上 式 成 为 ：其 中 ，531010(1)110900100()90010017733.6810102.20sisisii某年金第1年末收付1000元，以后每隔一年收付额比前1年增加100元，共收付10年。若

22、年利率为5%，求10年末的年金终值。解：这一变额年金可以分解为每年99元的10年定额年金和100元的10年等差递增年金。因此第10年末的年金终值为：（元）。例：542 239 396000 0.08 (1 1.021.021.02)401 (1.02 )4801 1.02.21vvvv 我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结合的方式，个人账户以个人缴费工资的8%计入。如果某职工从20岁参加个人账户保险，当年工资为6000元，工资年增长率为2%，个人账户的累积利率为4%。求在他60岁退休时，个人账户的累积额。解：个人账户在20岁时的现值为：例：401 (1.02/1.04)48013

23、.480.63()21 1.02/1.04604013480.631.0464720.78()v元 ，在岁时的累积额为：元 。等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内 每次偿还相等数额的还款方式。每次偿还金额为5556 在每期偿还的金额中，既包含当期应偿还的利息，也包含部分本金。偿还的利息等于期初尚未偿还本金余额与当期实际利率的乘积，每期的偿还金额扣减偿还的利息就是偿还的本金部分。 未偿还本金余额就是计算日尚未偿还的借款。我们用 表示第k期末的未偿还本金余额，也就是第k次还款后需要在以后偿还的剩余还款额。 经过n期偿还，在第n期末将还清全部借款，借款余额为0. 中间时点，未偿还本金余额可以采取

24、过去法和将来法： 在过去法下，未偿还本金余额等于借款本金扣减过去已偿还本金的差额。设每期期初的本金金额为 ，则每期的利息分别为 ，各期偿还的本金为 因此，各期末未偿还本金余额为： 由此可见，第k期末的未偿还本金余额等于原始本金在k期末的累积值与过去所有已支付的款项在k期末的累计值的差额。kbnbbb,10nbibibi,10nbirbirbir,10ikkkirsibbrsibbirbbribbirbb|0|2201120001)1()1()(,)1()(57将来法下，未偿还本金余额是将来需要偿还的总金额在计算时的现值利用将来法与过去法计算的未偿还本金余额是相等的： nkrabiknk, 2

25、, 1,|iknknkknikkinikkkinraivriiiivrsiarrsibbrab|0|011)1 ()1 (1)1 ()1 ( , 则由于 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 1 r r(1-vn)rvnk r r(1-vn-k+1) rvn-k+1 n r r(1-v) rv0 总计总计 nr innr rainra581inra in kra0inrab变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。 原始贷款金额为b0 ，第k 期偿还的金额为rk （k=1，2， ,n）5960一笔金额为nr 元的贷款，年利率为i ，

26、期限为n 年，每年偿还r 元本金，其分期偿还表如下： 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0 nr1 r (1+in)inrr(n-1)rk r 1+i(n-k+1) i(n-k+1)r r(n-k)r n r (1+i)ir r0 总计总计 nr +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nr偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。61等额偿债基金方