概率论与数理统计 件PPT课件

1、休息休息结束结束1)可在相同的条件下重复可在相同的条件下重复2)每次试验的结果不止一个且能事先明确所有可能每次试验的结果不止一个且能事先明确所有可能 的结果的结果3)进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现进行一次试验前不能确定哪一个结果会出现这样的试验称为这样的试验称为随机试验随机试验。在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为随机随机现象现象。第第1页页/共共106页页样本空间样本空间 随机试验的一切可能结果组成的随机试验的一切可能结果组成的集合称为集合称为样本空间样本空间，记为

2、，记为S 。样本空间的元素，称为样本空间的元素，称为样本点样本点，常记为，常记为 ，S= 。随机事件随机事件 样本空间的子集样本空间的子集,常记为常记为 A ,B ,它它是满足某些条件的样本点所组成的集合。是满足某些条件的样本点所组成的集合。 (特别地，特别地，由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为称为基本事件基本事件)第第2页页/共共106页页如在掷骰子试验中，观察掷出的点数如在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .基本事件基本事件事件事件 B=掷出奇数点掷出奇数点A Ai i =掷出掷出i i点点 i = 1,2,3,4,5,6 第第3页页/共共106页页随机事件发生随机事件发生

3、组成随机事件的一组成随机事件的一个样本点发生。个样本点发生。必然事件必然事件全体样本点组成的事件全体样本点组成的事件,记记为为S 每次试验必定发生的事件。每次试验必定发生的事件。不可能事件不可能事件 每次试验必定不发生的每次试验必定不发生的事情，即不包含任何样本点的事情，即不包含任何样本点的事件，记为事件，记为 。第第4页页/共共106页页休息休息结束结束例例1 1 随机试验及相应的样本空间随机试验及相应的样本空间E1 :投一枚硬币投一枚硬币3次，观察正面出现的次数次，观察正面出现的次数1S0,1,2,3 有限样本空间有限样本空间E2 :观察总机每天观察总机每天9:0010:00接到的电话次数

4、接到的电话次数E3 : 观察某灯泡的寿命观察某灯泡的寿命2S0,1,2,3, 3S t :t0 第第5页页/共共106页页休息休息结束结束 事件的关系和运算事件的关系和运算Venn图图AS 随机事件的关系和运算类似于集合随机事件的关系和运算类似于集合的关系和运算的关系和运算第第6页页/共共106页页休息休息结束结束1. 事件的包含 A 包含于包含于B 事件事件 A 发生必导致发生必导致事件事件 B 发生发生 A SB 2. 事件的相等BA ABBABA 且且第第7页页/共共106页页休息休息结束结束3. 事件的并(和)BA或或BA A 与与B 的和事件的和事件事件事件 A与事件与事件B 至至

5、少有一个发生少有一个发生n21A,A,A的和事件的和事件 n1iiA ,21nAAA的和事件的和事件 1iiAS BAAB第第8页页/共共106页页休息休息结束结束4. 事件的交事件的交(积积) 事件事件 A与事件与事件B 同时发生同时发生 A 与与B 的积事件的积事件BA或或AB发生发生BAn21A,A,A的积事件的积事件 n1iiA ,21nAAA的积事件的积事件 1iiAS ABBA第第9页页/共共106页页休息休息结束结束5. 事件的差 A 与与B 的差事件的差事件BA 发生发生 事件事件 A 发生，但事件发生，但事件 B 不发生不发生SB ABA B第第10页页/共共106页页休息休

6、息结束结束6. 事件的互斥(互不相容) AB A 与与B 互不相互不相容（互斥）容（互斥）A、 B不可能同时发生不可能同时发生nAAA,21两两互斥两两互斥n,2 , 1j , i , ji ,AAji ,21nAAA两两互斥两两互斥,2 , 1j , i , ji ,AAji SAB第第11页页/共共106页页休息休息结束结束7. 事件的对立AB, ABS A 与与B 互相对立（互逆）互相对立（互逆）每次试验每次试验 A、 B中有且只有一个发生中有且只有一个发生称称B 为为A的的对立事件对立事件(or逆事件逆事件)，记为记为AB 注意注意：“A A 与与B B 互相对立互相对立”与与“A A

7、 与与B B 互互不相容不相容”是不同的概念是不同的概念SAAB 第第12页页/共共106页页休息休息结束结束 运算律运算律事件运算集合运算对应对应q 吸收律ASSAAA( AB )A ASAAA( AB )A q 重余律AA q 幂等律AAAAAA 第第13页页/共共106页页休息休息结束结束q 交换律ABBA BAAB q 结合律)CB(AC)BA( )BC(AC)AB( q 分配律)CB()CA(C)BA( )CA)(BA()BC(A q 差化积)AB(ABABA 第第14页页/共共106页页休息休息结束结束 运算顺序：q 对偶律BABA BAAB n1iin1iiAA n1iin1ii

8、AA 逆交并差，括号优先。第第15页页/共共106页页休息休息结束结束例例2 利用事件关系和运算表达多个事件的关系利用事件关系和运算表达多个事件的关系:A ,B ,C 都不发生都不发生CBACBA A ,B ,C 不都发生不都发生CBA ABC)AB(ABABA A 发生，而发生，而 B 不发生不发生第第16页页/共共106页页休息休息结束结束例例3 生产加工三个零件生产加工三个零件 ，分别用，分别用 表示表示第第 i 个零件为正品。用个零件为正品。用 及事件的运算表及事件的运算表示下列事件：示下列事件：（1 1）没有一个零件是次品，全是正品。）没有一个零件是次品，全是正品。( ( B1 )

9、)（2 2）只有第一个是次品。）只有第一个是次品。( B2 )（3 3）恰有一个是次品。）恰有一个是次品。 ( ( B3 )（4 4）至少有一个是次品。）至少有一个是次品。 ( ( B4 ) )123A , A , A123A , A , A解：解：1123BA A A （1）?AB12 (2)3212AAAB (2)?AAAB3213 (3)3213213213AAAAAAAAAB (3)3214AAAB (4)123A A A 第第17页页/共共106页页休息休息结束结束频率的稳定性实验者实验者 n nH fn(H)德德.摩根（摩根（De.Morgan）204810610.5181 蒲丰蒲

10、丰(Buffon）404020480.5069K.皮尔逊（皮尔逊（K.Pearson）1200060190.5016K.皮尔逊（皮尔逊（K.Pearson）24000120120.5005 观察历史上有多位有名的科学家的观察历史上有多位有名的科学家的“抛硬抛硬币币”试验结果，有什么规律试验结果，有什么规律? ?确定确定概率的概率的频率频率方法方法第第18页页/共共106页页 这个事实表明，偶然现象背后隐藏这个事实表明，偶然现象背后隐藏着必然性。着必然性。“频率稳定性频率稳定性”就是偶然性就是偶然性中隐藏的必然性。中隐藏的必然性。“频率稳定值频率稳定值”就是就是必然性的一种度量，反映了偶然现象发

11、必然性的一种度量，反映了偶然现象发生可能性的大小。生可能性的大小。第第19页页/共共106页页休息休息结束结束概率的统计定义概率的统计定义为了研究事件为了研究事件 A 的概率，在相同的条件下，重的概率，在相同的条件下，重复进行复进行 n 次试验，若次试验，若 A 出现（发生）了出现（发生）了 k 次，则称次，则称 为事件为事件 A 的的频率频率 。nkf ( A)n 理论和试验都表明，当理论和试验都表明，当 n充分大时，频率具充分大时，频率具有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：有稳定性（稳定于某个数值），因此定义：nnnkP( A)lim f ( A)limn第第20页页/共共106页页休息

12、休息结束结束l非负性公理非负性公理：对每一个：对每一个A ，有，有P(A) 0 l规范性公理规范性公理：P( S ) = 1l可列可加性公理可列可加性公理：若：若A1 , A2 , 互不相容，互不相容， 有有: )A(P)A(P)AA(P2121设设 E 是随机试验，是随机试验，S 是样本空间。如果对于是样本空间。如果对于E的的每一事件每一事件 A ，赋予一个实数，记为，赋予一个实数，记为 P(A), 称为事件称为事件A的概率，如果的概率，如果 P(A) 满足：满足：第第21页页/共共106页页休息休息结束结束i.P( )= 0 ii. 有限可加性有限可加性 若A1, A2, An ,是是两两

13、互不两两互不相容的事件，则有：相容的事件，则有：)A(P)A(P)A(P)AAA(Pn21n21 第第22页页/共共106页页休息休息结束结束iii. 单调性单调性 设设A , B 是两个事件，若是两个事件，若A B , 则有：则有：;)A(P)B(P)AB(P P(B)P( A) . 即即推论推论：对任意事件：对任意事件A, B, 有：有：P( BA)P( B )P( AB ); 第第23页页/共共106页页休息休息结束结束iv. 对于任一事件对于任一事件 A 0 P(A) 1 v. （逆事件的概率）（逆事件的概率）对于任一事件对于任一事件 A，有：有：)A(P1)A(P 第第24页页/共共

14、106页页休息休息结束结束S()()P ABP ABAB证：()ABABABAB()( )()P ABP AP BABABB又3由性质 可得证。vi. （加法公式）加法公式） 对于任意两事件对于任意两事件 A, B 有：有：)AB(P)B(P)A(P)BA(P 第第25页页/共共106页页休息休息结束结束对于任意对于任意 n 个事件个事件 A1 , A2 , An , 有：有：nniiijijki 11 ij n1 ijm),要求第要求第 i i 组恰组恰有有ni个球个球(i=1,m)，共有分法：，共有分法：第第42页页/共共106页页休息休息结束结束27!3!509! 9! 9!(1)( )

15、( )203P AN S30人人(1) (2) (3)(2) 解法一解法一 (“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”包括包括 “3名运动员名运动员都都在在第第一组一组”, “3名运动员名运动员都都在在第二第二组组”, “3名运动员名运动员都都在在第三第三组组”三种情况三种情况.)71010107101010727201027171027177( )30! 10! 10! 10!18203C C CC C CC C CP B第第43页页/共共106页页休息休息结束结束71010272010318( )30!20310! 10! 10!C C CP B30人人(1) (2) (3)(2)

16、解法二解法二 (“3名运动员集中在一个组名运动员集中在一个组”相当于相当于 “取一组有取一组有3名运动员名运动员,7名普通队员名普通队员,其余两组分配其余两组分配剩余的剩余的20名普通队员名普通队员.)第第44页页/共共106页页休息休息结束结束 袋中有袋中有7只白球，只白球，3只红球；白球中有只红球；白球中有4只木球，只木球，3只塑料球；红球中有只塑料球；红球中有2只木球，只木球，1只塑料球。现只塑料球。现从袋中任取从袋中任取1球，假设每个球被取到的可能性相球，假设每个球被取到的可能性相同。同。 设设 A: 取到的球是白球。取到的球是白球。B:取到的球是木球。取到的球是木球。 求：求：1)

17、P(A); 2) P(AB) ; 3) 在已知取出的球是白球的条件下，求取出的在已知取出的球是白球的条件下，求取出的是木球的概率。是木球的概率。第第45页页/共共106页页休息休息结束结束白球红球 小计木球426塑料球314小计7310解解：107nk)A(P).1A 104nk)AB(P).2AB 列表3). 所求的概率称为所求的概率称为在事件在事件A 发生的条件下发生的条件下事件事件B 发生的发生的条件概率条件概率。记为。记为 ABPABAPk4n(B A)7ABAknnn P( AB )P( A) 第第46页页/共共106页页休息休息结束结束定义：定义： 设设 A、B 为两事件为两事件,

18、 , P ( B ) 0, 则则称称 为事件为事件B 发生的条件下发生的条件下, ,事件事件A 发生的条件概率。记为发生的条件概率。记为P( AB )P(B ) P A BP( AB )P( A B )P(B ) 即即一般地一般地,我们有我们有:第第47页页/共共106页页休息休息结束结束 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也发生也发生 , 试验结试验结果必须是既在果必须是既在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即此点必即此点必属于属于AB. 由于我们已经知道由于我们已经知道B已发生已发生, 故故B变成了变成了新的样本空间新的样本空间 , 于是于是 有上式。有上式。 AB

19、ABS第第48页页/共共106页页休息休息结束结束条件概率也是概率，它符合概率的定义，具条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：有概率的性质：q 可列可加性可列可加性 iii 1i 1P()P() A BA Bq 规范性规范性 P()1 S Bq 非负性非负性P ()0 A B第第49页页/共共106页页休息休息结束结束q P( A B )1P( A B ) q 121212P( AA B )P( A B )P( A B )P( A A B ) q 12112P( AA B )P( A B )P( A A B ) 第第50页页/共共106页页休息休息结束结束条件概率的计算1) 用定

20、义计算用定义计算: :P( AB )P( A| B ),P( B ) P(B)0 2) 从加入条件后改变了的情况去算。从加入条件后改变了的情况去算。例：例：A=掷出掷出2点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31在缩减样本间在缩减样本间中中A所含样点个数所含样点个数B发生后的缩减样发生后的缩减样本空间所含样本点本空间所含样本点总数总数第第51页页/共共106页页例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子, ,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6 6点点, ,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于1010”的概率是多少的概率是多少? ? 解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10

21、B=第一颗掷出第一颗掷出6点点解法解法1: )()()|(BPABPBAP3 3616 362解法解法2: 31P( A| B )62在在B发生后的缩减发生后的缩减样本空间中计算样本空间中计算第第52页页/共共106页页休息休息结束结束利用条件概率求积事件的概率利用条件概率求积事件的概率 )0)A(P(ABP)A(P)AB(P )0)B(P(BAP)B(P)AB(P 推广： 121312n12n 1P( A )P AAP AA APAA AA )0)AB(P(ABCPABP)A(P)ABC(P 12nP( A AA ) 12n 1P( A AA)0 第第53页页/共共106页页休息休息结束结束

22、413452C(2)PC P( ABCD)P( A)P(B A)P(C AB )P( D ABC ) (1)1352 13 1211 105251 5049 设设A, B, C ,D依次为第一、二、三、四次取依次为第一、二、三、四次取 。解：解：1251 1150 1049 例例2 有有5252张扑克牌。张扑克牌。（1 1）依次取四张，求四张都是）依次取四张，求四张都是 的概率。的概率。 （2 2）一次性抽取四张，四张都是）一次性抽取四张，四张都是 的概率的概率第第54页页/共共106页页休息休息结束结束 已知某厂生产的灯泡能用到已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概率为小时的概率为0.8,

23、 能用到能用到1500小时的概率为小时的概率为0.4 , 求已用到求已用到1000小小时的灯泡能用到时的灯泡能用到1500小时的概率。小时的概率。解解 令 A ：灯泡能用到1000小时； B ：灯泡能用到1500小时。所求概率为 P( AB )P B AP( A) BAP( B )P( A) 例例30.410.82第第55页页/共共106页页休息休息结束结束一盒中装有一盒中装有5件产品，其中有件产品，其中有3件正品，件正品， 2件次品，件次品，从中不放回地取两次，每次从中不放回地取两次，每次1件，求：件，求：（1）都取得正品的概率）都取得正品的概率（2）第二次取得正品的概率）第二次取得正品的概

24、率（3）第二次才取得正品的概率）第二次才取得正品的概率解：解： 令令 Ai 为第为第 i 次取到正品次取到正品i=1,2。（1）12121P( A A )P( A )P( AA ) 2P( A )（2）23325454 例例43 235 4101212P( A A )P( A A )1212P( A AA A ) 35 第第56页页/共共106页页休息休息结束结束2 335 410(3) 第二次才取得正品的概率21P( A A )?是是12P( A A ) ?还还是是12121P( A A )P( A ) P( A A )第第57页页/共共106页页例例5 波里亚罐子模型波里亚罐子模型 一个罐

25、子中包含一个罐子中包含 b 个白球个白球和和 r 个红球个红球. 随机地抽取一个随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c个与个与所抽出的球具有相同颜色的球所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率取到红球的概率. b b 个白球个白球, , r r 个红球个红球第第58页页/共共106页页休息休息结束结束 解解: 设设 Wi =第第i次取出是白球次取出是白球, i = 1, 2, 3, 4 Rj =第第j次取出是红球次取出是红球， j =1,2

26、,3,4A= W1 W2 R3 R4b b 个白球个白球, , r r 个红球个红球利用乘法公式：利用乘法公式：第第59页页/共共106页页P(W1W2R3R4)=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)bbr 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率。为一到同色球的概率。为一传染病模型传染病模型。 每次发现一个传每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率。染病患者，都会增加再传染的概率。bcbrc rbr2crcbr3c 第第60页页/共共106页页例例6 抽签问题抽签问题 一场精彩的足球赛将要举行，一

27、场精彩的足球赛将要举行，5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决。只好用抽签的方法来解决。中签概率于抽签顺序是否有关第第61页页/共共106页页“先抽的人当然要比后抽的先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。人抽到的机会大。”“大家不必争先恐后，你们一大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到个一个按次序来，谁抽到入入场券场券的机会都一样大的机会都一样大.”到底谁说的对呢？第第62页页/共共106页页休息休息结束结束我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.iA则则 表示表示“第第

28、i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”显然，显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A也就是说，也就是说，第第1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/5.第第63页页/共共106页页休息休息结束结束212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 )|()()(1212AAPAPAP也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，个人未抽到，计算得：计算得： P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5第第64页页/共共106页页休息休息结束结束 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须，必须第第1、第、第2个人都没有抽到个人都没有抽

29、到. 因此因此3123P( A )P( A A A ) 121312P( A )P( A | A )P( A | A A ) (4/5) 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入入场券场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后！结论：结论：(3/4) (1/3) =1/5第第65页页/共共106页页 引例引例 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1, 2, 3。1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装号箱装有有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（

30、出一球，（1）求取得红球的概率。（）求取得红球的概率。（2）已知）已知取出的是红球，求此球来自取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。号箱的概率。(1) 解：解：记记 Bi = 球取自球取自 i 号箱号箱 , i=1, 2, 3; A =取得红球取得红球123BBBAAAA B1A, B2A, B3A 两两互斥两两互斥第第66页页/共共106页页休息休息结束结束123P( A)P(B A)P(B A)P(B A)112233P(B )P( A B )P(B )P( A B )P(B )P( A B )将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用

31、的得到在概率计算中常用的全概率公式。3iii 1P(B )P( A B ) 1135依题意，依题意，P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=2/5, P(A|B3)=3/312351333815 第第67页页/共共106页页niiji 1AAB( AB )( AB ) nii1ijBSB B n1ii)AB(P)A(P)BA(P)B(Pin1ii B1BnAB1AB2ABnASB2第第68页页/共共106页页休息休息结束结束全概率公式的来由全概率公式的来由“全全”部概率部概率 P( A) 被分解成了许多部分之和。被分解成了许多部分之和。它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:在较复杂情

32、况下直接计算 P( A ) 不易,但 A 总是伴随着某个 Bi 出现，适当地去构造这一组 Bi 往往可以简化计算。第第69页页/共共106页页休息休息结束结束( 2 ) 解解：引例引例 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1, 2, 3。1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装号箱装有有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，（出一球，（1）求取得红球的概率。（）求取得红球的概率。（2）已知取）已知取出的是红球，求此球来自出的是红球，求此球来自1号箱的概率。号箱的概率。1P(B A)1

33、1P(B )P( A B )P( A) 113iii 1P(B )P( A B )P(B )P( A B ) 1135815 18 1P(B A)P( A) 第第70页页/共共106页页休息休息结束结束AB1Bayes公式这类问题，是这类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”是已知是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。 设设B1,B2,Bn是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且P(Bi)0，i=1,2,n, 另有一事件另有一事件A，它总是与，它总是与B1,B2,Bn 之之一同时发生，则一同时发生，则 kP(BA)iP(B A) njjj

34、1P(B )P( A B ) iP(B A)P( A)iiP(B )P( A B ) 第第71页页/共共106页页休息休息结束结束 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在它是在观察到事件观察到事件A已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致A发生的发生的每个原因的概率。每个原因的概率。 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最可能）发生的最可能原因。原因。第第72页页/共共106页页休息休息结束结束每每100件产品为一批，已知每批产品中的件产品为一批，已知每

35、批产品中的次品数不超过次品数不超过4件，每批产品中有件，每批产品中有 i 件次品的概件次品的概率为：率为： i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1从每批产品中不放回地取从每批产品中不放回地取10件进行检验，若发件进行检验，若发现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就现有不合格产品，则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格。求：认为这批产品合格。求：（1）一批产品通过检验的概率一批产品通过检验的概率；（2）通过检验的产品中恰有通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率件次品的概率。例例第第73页页/共共106页页休息休息结束结束设设 Bi ：一批产品中有：一批产品

36、中有 i 件次品件次品 i = 0,1,4A ：一批产品通过检验：一批产品通过检验nii 1ijAB ,B B, ij,i, j0,1,2,3,4 则10100 ii10100CP( A B ), i0,1,2,3,4C 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与iP(B A), i0,1,2,3,4 解：解：第第74页页/共共106页页休息休息结束结束结果如下表所示iP( A B )iP(B A)4iii 0P( A)P(B )P( A B ) 0.814 iiiP(B )P( A B )P(B A), i0,1,2,3,4P( A) i 0 1 2 3 4 P( Bi ) 0.1

37、0.2 0.4 0.2 0.11.0 0.9 0.809 0.727 0.6520.123 0.221 0.397 0.179 0.080第第75页页/共共106页页P( A|C ) = 0.95, P( A| )=0.05C某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种，患者对一种试验反应是阳性的概率为试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验，正常人对这种试验反应是阳性的概率为反应是阳性的概率为0.05，现抽查了一个人，试验，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?解解:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的

38、人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，已知已知 P( C )= 0.005, P( )=0.995,C 求求P(C|A).例例 3第第76页页/共共106页页休息休息结束结束P( AC )P(C | A)P( A) = 0.0872 结果的意义：结果的意义：P(C )P( A|C )P(C )P( A|C )P(C )P( A|C ) 0.0050.95 CP( A|C )=0.95, P( A| )=0.05已知已知 P( C )=0.005, P( )=0.995,C0.0050.95 0.9950.05第第77页页/共共106页页休息休息结束结束1. 这种试验对于诊断一个人是否

39、患有癌症这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？有无意义？如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率为：他是患者的概率为： P(C)=0.005 若试验后得阳性反应，则根据试验得来的若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为信息，此人是患者的概率为 P(CA)= 0.0872 将近增加约将近增加约 17 倍倍说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。症有意义。第第78页页/共共106页页休息休息结束结束2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为此人确

40、患癌症的概率为 P(CA)=0.0872 即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌即使检出阳性，尚可不必过早下结论就有癌症，这种可能性只有症，这种可能性只有8.72% (平均来说，平均来说，1000个人个人中大约只有中大约只有87人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过再，此时医生常要通过再试验来确认试验来确认. P( AB )1P( AB ) 解解2：10.1 0.20.98 第第79页页/共共106页页休息休息结束结束称称 P( Bi ) 为为先验概率先验概率，它是由以往的经，它是由以往的经验得到的，它是事件验得到的，它是事件 A 的原因。的原因。称称 为为后验概率后验概率，它是得到了信，它

41、是得到了信息息 A 发生，再对导致发生，再对导致 A 发生的原因发生的原因Bi发生发生的可能性大小重新加以修正。的可能性大小重新加以修正。iP( B A)值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计贝叶斯统计”。 可见贝叶斯公式的影响可见贝叶斯公式的影响 。第第80页页/共共106页页休息休息结束结束 例例 4 用用Bayes公式分析伊索寓言公式分析伊索寓言孩子与狼孩子与狼中村中村民对小孩的信赖程度是如何下降的。民对小孩的信赖程度是如何下降的。解解:A ：小孩说谎；小孩说谎； B

42、 ：小孩可信；小孩可信；小孩第一次说谎后的可信度为：小孩第一次说谎后的可信度为：不妨设：不妨设：P(B)= 0.8；P( A B )0.1;P( A B )0.5;P( AB )P(B A)P( A)P(B )P( A B )P(B )P( A B )P(B )P( A B ) 第第81页页/共共106页页休息休息结束结束0.8 0.10.8 0.10.2 0.5 0.444 小孩第二次说谎后的可信度为：小孩第二次说谎后的可信度为：P(B )P( A B )P(B A)P(B )P( A B )P(B )P( A B ) 0.4440.10.4440.10.5560.5 0.138 第第82页

43、页/共共106页页休息休息结束结束引例引例 在在52张牌中，有放回地抽取两次，令：张牌中，有放回地抽取两次，令：A = = “第一次是第一次是” ; ; B = = “第二次是第二次是K” 求：求：4P(B )52 1)P( A),P( B )2 )P( B A),3)P( AB ).解：解：2134P( AB )P( A)P(B )52 524)B(P)AB(P 13P( A)52 第第83页页/共共106页页休息休息结束结束定义定义：若事件若事件 A 、B 满足满足则称事件则称事件A 、B 相互独立相互独立，简称，简称独立独立。 事件的独立性可根据实际经验判断。如：天气好坏与学习成绩，二人

44、打枪各自的命中率。又：甲乙两人上课讲话（不独立），前后两次抽牌（无放回和有放回）。 2134P( AB )P( A)P(B )52 P( AB )P( A)P(B ) 第第84页页/共共106页页休息休息结束结束两事件相互独立两事件相互独立 ()( ) ( )P ABP A P B两事件互斥两事件互斥 AB A,21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 则则例如例如 由此可见由此可见两事件两事件相互独立，相互独立，但两事件但两事件不互斥不互斥. . 两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考请同学们思考 二者之间没二者之间没有必然联系

45、有必然联系 BAB第第85页页/共共106页页休息休息结束结束AB11( ), ( )22P AP B若()( ) ( ) .P ABP A P B故由此可见两事件由此可见两事件互斥互斥但但不独立不独立. . ()0,P AB 则1( ) ( ),4P A P B 第第86页页/共共106页页休息休息结束结束两人射击，甲射中概率两人射击，甲射中概率0.90.9，乙射中概率，乙射中概率0.80.8，各射一次，求目标被击中的概率。各射一次，求目标被击中的概率。A：“甲中甲中”， B ：“乙中乙中”。“目标被击中目标被击中” ： BA)AB(P)B(P)A(P)BA(P )B(P)A(P)B(P)A

46、(P 98. 08 . 09 . 08 . 09 . 0 例例1解解1：P( AB )1P( AB ) 解解2：10.1 0.20.98 第第87页页/共共106页页休息休息结束结束：设：设A, B是两事件，且是两事件，且P(A)0 。若。若A, B 相互独立，则相互独立，则 。反之。反之也然。也然。)B(P)AB(P ：若事件：若事件A, B相互独立，则下面相互独立，则下面个事件对也相互独立。个事件对也相互独立。与与与与与与BA,BA,BA第第88页页/共共106页页休息休息结束结束 三个事件的独立性三个事件的独立性： 设设 A, B, C 是三个事件，如果满足是三个事件，如果满足：),C(

47、P)B(P)A(P)ABC(P),C(P)A(P)AC(P),C(P)B(P)BC(P),B(P)A(P)AB(P 则称事件则称事件 A, B, C 相互独立相互独立。第第89页页/共共106页页休息休息结束结束 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A，B，C 分别分别记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件，记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问问 A，B，C是否相互独立是否相互独立? 解解 由于在四面体中红、由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面，白、黑分别出现两面， 因此因此 1( )( )( ),2P AP BP C又由题意知又由题意知 1()()(),4P ABP BCP AC第第90页页/共共106页页休息休息结束结束故有故有 因此因此 A，B，C 不相互独立不相互独立. 1()( ) ( ),41()( ) ( ),41()( ) ( ),4P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P C则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立. 由于由于 1()4P ABC 1( ) ( ) ( ),8P A P B P C第第91页页/共共1