时间序列预测模型

1、时间序列是指把某一变量在不同时 间上的数值按时间先后顺序排列起来所 形成的序列，它的时间单位可以是分、时、 日、周、旬、月、季、年等。时间序列 模型就是利用时间序列建立的数学模型， 它主要被用来对未来进行短期预测，属 于趋势预测法。一、简单一次移动平均预测法设时间序列为4,取移动平均的项数为，则第 t+1期预测值的计算公式为：鶴二二乳+儿+5nn=4上式中:开表示第t期实际值；M)表示第T期一次移动平均数; 刃+1表示第r +1期预测值C >n).其预测标准误差为:上式中,N为时间序列%所含原始数据的个数 项数n的数值，要根据时间序列的特点而定,不宜过 大或过小.n过大会降低移动平均数的

2、敏感性,影响预 测的准确性;n过小,移动平均数易受随机变动的影响, 难以反映实际趋势一般取n的大小能包含季节变动 和周期变动的时期为好，这样可消除它们的影响对于 没有季节变动和周期变动的时间序列，项数n的取值 可取较大的数;如果历史数据的类型呈上升（或下降） 型的发展趋势，则项数n的数值应取较小的数，这样能 取得较好的预测效果.例1 某企业1月11月的销售收入时间序 列如下表所示取n=4,试用简单一次移动 平均法预测第12月的销售收入，并计算预 测的标准误差.月份t123456791011销售 收入533.8574.6606.9649.8705.1772.0816.4892.7963.9101

3、5.11102.7月份t销售收 入几M,刃+1x+iyJ(%+1 -入)21553.82574.63606.94649.8591.35705.1634.1591.3113.812950.46772.0683.5634.1137.919016.47816.4735.8683.5132.917662.48892.7796.6735.8156.924617.69963.9861.3796.6167.327989.3101015.1922.0861.3153.823654.4111102.7993.6922.0180.732652.512993.62158542.7儿+九+旳+必_ 1102.7 +

4、1015.1 + 963.9 + 892.7_4q 993.6（万元）为第12月份销售收入的预测值预测的标准误差为：卩58542.7V 11-4«150.51、加权一次移动平均预测法简单一次移动平均预测法，是把参与平 均的数据在预测中所起的作用同等对待， 但参与平均的各期数据所起的作用往往是 不同的。为此，需要采用加权移动平均法 进行预测，加权一次移动平均预测法是其 中比较简单的一种。计算公式如下：九1 一W+W2+ + %其中:几表示第r期实际值；刃+1表示第£+1期预测值;比表示权数； n表示移动平均的项数预测标准误差的计算公式与简单一次移动平均相同.仍以例1为例取n

5、= 3,并取权数叱=3,吧=2,吧=1，试用加权一次移动平均预测法预测12月份的销售收入584.03x606.9 + 2x574.6 + 1x533.8歹12 =叫儿+咒九+弘为W+W2+足3x1102.7 + 2x1015.1 + 1x963.9_3+2+1= 1050.480810.711-3=100.1二、指数平滑预测法1、一次指数平滑预测法一次指数平滑预测法是以*(1-为权数(0<gv1), (/ = 1,2,3,)对时间序列% 进行加权平均的一种预测 方法的权数为久人的权数为Q(1F),儿2的权数为，以此类推其计算公式如下：刃+i = S)=纠 +(1 - a)S出其中：X表示

6、第t期实际值；表示第1 + 1期预测值； s£,sP分别表示第一 l,t期一次指数平滑值； 汰示平滑系数0<a<l.预测标准误差为：£b+i-刃+1)2=1一 1上式中"为时间序列所含原始螂个数.平滑系数比的取值对预测值的影响是很大的,因此， 利用指数平滑法进行予则则O的选值是很关键的,但目前 还没有一个很好的统一的选值方法，一般是根据经验来 确定的当时间序列数据是水平型的发展趋势类型理可 取较小的值，在00.3之间;当时间序列数据是上丹或下 降)的发展趋势类型，应取较大的值，在0.6 1之间.在进 行实际预测时，可选不同的M直进行比较,从中选择一个

7、比较合适的值.指数平滑法平滑值的眉还需给出一个初值即），可取原时间序列 的第一项或前几项的算术平均值为初值一次指数平滑法适用于变化比较平稳、增长或下降趋势不明显的 时间序列数据的下一期的预测.例2下表数据是某股票在8个连续交易日的收盘价试用一次指数 平滑法预测第9个交易日的收盘价（初值S = y.a = 0.4）.时间t12345678价格观测值兀16.4117.6216.1515.5417.2416.8318.1417.05解:时间t价格观 测值开指数平 滑值S,预测值刃+1刀+1刃+1(X+1-刃 J116.4116.41217.6216.8916.411.211.46316.1516.5

8、916.89-0.740.55415.5416.1716.59-1.051.10517.2416.5916.171.071.14616.8316.6816.590.240.06718.1417.2616.681.462.13817.0517.1817.26-0.210.04917.18s6.48¥1641IIII+7">o +aiasII1641H O4X1762 + O6X1641 H 1689 sy)H$3+(la)sy)n 0.4X 1615 + 0.6X 16bo9 n 1659RHSg)c)sy)H17.182二次指数平滑预测法二次指数平滑预测法是对一次指数

9、平滑值再作一次 指数平滑来进行预测的方法，但第t+1期预测值并非第 t期的二次指数平滑值，而是采用下列公式进行预测：&=宓+ (1 - a)S凸<S,(2) = o5,(1) + (l-a)19t+T at + b：T其中：at=2S-S!2) , $ = f(S,-S$)-aS”表示第/期的一次指数平滑值;sf)表示第期的二次指数平滑值； X表示第r期实际<yt+T表示第/ + T期预测值;尿示平滑系数初值 Sf)的取值方法与呼)的取法相同预测的标准差为：S二”£=1n-2二次指数平滑预测法适用于时间序列呈线性增 长趋势情况下的短期预测.例3仍以例2为例.试用二

10、次指数平滑预测法预测第9 个交易日的收盘价(S$)= S”)=必,4 = 0.4)1、某商场2月份的销售额时间序列数据如下表所 示。取试用简单一次移动平均法和加权一次移动平均 法（取W1=3, W2=2, W3=1）预测下年一月份（第 13月）的销售额（单位：万元）川份123456789101112实际销 售额4953555950515252515253592、一公司某种产品的市场销售量按年变化的时间序 列资料如下表，取平滑系数为0.7,初值为前三年数据 的平均值,用一次指数平滑法预测其下一年的销售量 （单位:吨）.年度199719981999200020012002200320042005销

11、售量874.51121.11103.31085.21089.51124.01249.01501.91866.4一元线性回归模型例测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下:为了研究这些数据之间的规律性，作散点图。数据大致 落在一条直线附近，这说明x （身高）与y （腿长）之 间的关系大致可以看作是直线关系。不过这些点又不 都在一条直线上，这表明x和y之间的关系不是确定性 关系。实际上，腿长y除了与身高兀有一定关系外，还受到许多 其它因素的影响因此y与x之间可假设有如下结构式：y = 0o +0+£其中0。、Q是两个未知参数,&为其它随机因素对y的影响. x是非随机可精确观察的，

12、£是均值为零的随机变量是 不可观察的。一般地，称一元线性回归模型为：二 0o +0“+£爲=0,Ds = a20o,肉称为回归系数，兀称为回归变量.两边同时取期望得：y = 0o+0“称为y对x的回归直线方程.由观测或实验获得组数据（无,X），i二12,运用 最小二乘法确定参数的估计值5 二 y_b“，片二工（）2 '- 1十_ 1右n i=n 铝A,石的计算公式可通过求解如下的优化问题得到min0 =b%-肚）2回归方程的显著性检验在实际工作中，事先我们并不能断定y与x之间有 线性关系。当然，这个假设不是没有根据，我们可 以通过专业知识和散点图作粗略判断。但在求岀

13、回 归方程后，还需对线性回归方程同实际观测数据拟 合的效果进行检验。当0 |越大,y随兀的变化趋势就越明显;反之，当0 |越小,y随x 的变化趋势就越不明显特别当b严0时,则认为y与兀之间不存 在线性关系当勺H 0时,则认为y与兀之间有线性关系因此，问题 归结为对假设H。:勺=0; H : bx H 0进行检验假设：勺=0被拒绝，则回归显著认为y与兀存在线 性关系所求的线性回归方程有意义;否则回归不显著,y与兀不 能用一元线性回归模型来描述.(1) F检验法统计量F=F（l, 2）工 D（%_2Z = 1当F > F(1/-2)时，拒绝H°；否则就接受丹0判定系数疋F越接近1,

14、拟合程度越女了;反之越差可线性化的一元非线性回归（曲线回归）（1）双曲线丄= 0+2作变换u = 1/x,v = 1/ y,得 v = a+bu 由数据值（羽,% ）, i = 1,2,按色=l/xi,vl =1/%算出仏,匕）, 对u与讶U用前面的回归直线公式，计算估计值久,人.故有 丄必+色 y兀幕函数曲线= axb取对数：log y = logo + blog x,令 u = logx, v = log y,A = logo 得直线方程 v = A + bu（3）指数曲线y二必加 倒指数曲线J = aeb'x 对数曲线ya+blogx（6）S型曲线y二1a+bex例 岀钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火 材料的侵蚀，容积不断扩大。我们希望知道使用 次数与增大的容积之间的关系。