平面几何在解析几何中的应用

1、平面几何在解析几何中的应用南昌大学附中 陈一君，、活用几何关系速解圆类问题在解析几何中，作为二次曲线的圆是研究直线的延续和学习圆锥曲线的基础圆既是轴对称图，又是中心对称图形， 其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系，对于解析几何中圆的某些问题，若能活用题中几何要素的关系，解题就会变得简单而快捷，圆涉及的知识点主要有： 圆中切割线定理、圆幂定理、垂径定理活用圆的几何性质可以快速解决圆类问题，降低运算量，培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能力解题时，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件， 灵活利用平面几何知识， 对于拓广解题思路， 减少运算量，将会起到非 常重要的作

2、用，今天我们带领大家学习如何活用几何关系速解圆类问题【例题】已知直线l: y x b和圆C : x2 y2 2y 0相交于不同两点 A, B,点p在直线l上，且满足 PA PB2，当b变化时，求p的轨迹.【常规解法】设点P（m, n）,则l : y x b的参数方程为2 （t为参数）2(1)将（1）代入x2 y2 2y 0，得m2 石mt1 2 2 t nT2nt】t22nV2t0,22t2 (运m近n72) t2 m2 n2n0, (2)显然0.设方程（2）的两根为t1,t2，由PAPB2 ,依题意点p在AB或BA的延长线上, PAPBPA PB 2，即 t1 t22m2 n2 2n 2.即

3、x2 y2 2y 2为p的轨迹方程，表示以 0,-1为圆心，3一为半径的圆.【点评】由PA PB 2联想到直线的参数方程中t的几何意义虽然也很自然， 但相还有运算量相比较还是比对与参数方程在教材中的地位来说对更多高三学生来说亦属不易,较大的，时间成本的控制不如方法需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成16【利用圆的几何性质解法】圆C:x2 y2 2y 0的圆心C(0,1),r1 由切割线定理,如图1所示，有PT 2 PA PB 2 1，故点p在圆C夕卜， PC 二 J|pt|2+|ct|2 =73点p的轨迹方程为x2 (y 1)

4、23 .【点评】显然直线AB是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明 了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制.通过本节微专题学习， 发现求解圆的问题时， 若能充分揭示问题中的几何关系，灵活运用平面几何知识，解题则会事半功倍切割线定理、圆幕定理、垂径定理是圆的对称性的反映，它们在圆中的应用程度非常之广泛【针对训练】(2013年福建高考文科试题)如图，抛物线E : y2 4x 的焦点为F，准线I与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆 心，|OC|为半径作圆，设圆 C与准线I交于不同的两点 M、N.(I) 若点C的纵坐标为2,求|MN| ;2(II) 若 A F

5、 = AM AN ，求圆C的半径.【分析】本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、 直线与圆的位置关系等基础知识.根据条件圆心 C在抛物线上且过原点，解法如下：(I)抛物线E :2y 4x的准线I的方程为x=-1,由点C的纵坐标为2,得点C坐标1,2 ,所以点C到准线l的距离d=2，又|CO|=5 .所以MN2 2CO d2【常规解法2】设C(叵,y°),则圆C的方程为:42 2y0x4（yy。）24 y。2y。，即x22y 2y°y 0,由 x 1 ,y2 2y°y1$、=4y°2 4（1 空）N1, y2 得到y°22yo2 4 0由 A

6、 F 2= AM AN ，得 y1y24,2y。yo圆心C的坐标为C(|g 或si 6从而得2CO33,CO4即圆C的半径为r二色2【利用圆的几何性质解法 】抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幕定理为切入点有下列简洁解法：设圆C与x轴交于不同的两点 0、G.由圆幕定理知：|A0| |AG|=|AM| |AN| .由2条件 F 1,0 , A F = AM AN ，即 4= |AM| - |AN|= |AO| - |AG|,由条件设C(2yo2AG=号+1=4,yO=6, yo=6, C(|6)或C(-6) , r332【点评】(I)涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原

7、点这些 几何特征，结合垂径定理和根与系数关系解决问题.(II)根据条件抓住几何特征通过圆幕定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果.】、解析几何中巧用三角形相似简化计算解析几何是建立在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，用代数方法解决几何问题的一门学科，它开创了数、形结合研究方法解决解析几何问题的最大难度是如何把握好解题的总体思想策略但在平时的解析几何教学中，师生往往偏重于相关量的数量关 系的研究，摒弃了最基本，最直接的解题思路，不重视平面几何知识，但解析几何的“魂”还是“几何”特征.在现代中学教学中，解解析几何

8、时，可以灵活应用平面几何知识，找到简捷的解题途径， 简化解析几何的解题过程，降低运算量运用平面几何知识，能培养学生认真分析图形的几2x【例题】如图：椭圆令ab2何性质，养成综合应用知识的习惯， 提高解题技巧与能力解题时，若能把握形的几何特征， 注意挖掘隐蔽条件， 灵活利用平面几何知识， 对于拓广解题思路， 减少运算量，将会起到非 常重要的作用，今天我们带领大家学习如何利用平面几何的三角形相似知识巧妙解决解析几 何的问题.1(a b o)的左右焦点为 F2，上顶点为A，离心率e -,2点P为第一象限内椭圆上的一个点，且SVPFA : S/pfiF22:1,则直线PF1的斜率为 【常规解法一】P到

9、直线AF1的距离和到x轴的距离的比为 2:1,设出P点坐标，进而求Kpf1.设P（m,n），由题意知直线AF1 : bxeybeP到直线AF1的距离dbm enbe2n,即 bm en be 2an,（点P在直线AF1的右侧，可直接去掉绝对值符号）整理得m e 2a e乜（体现了设而不求）5【常规解法二】A与F2到直线PFi的距离的比为2:1，用点到直线的距离公式直接解出Kpf1设直线PFi方程为0 b ek|kx y ek 0,由A（0,b）与F2（c,0）到直线PFi的距离的比为2:1得到2 ek 0 ek，即 b ek 4 ek, k B 込.1 k25e 5等式.1 k2（注意点到直线

10、距离公式中绝对值符号是如何去掉的）【利用 相似比解法一】连接 AF2与PF1交于点B，证明B是线段AF2的三等分点，进而求 KPF|如图，作AM垂直于PF1于点M，作F2N垂直PF1于点N ,S/afp ： S/PF1F2 AM : F2 N 2:1，连接 AF2交 PFi于点 B，由相似比知AB : BF22:1，所以B是线段AF2的三等分点，而A(O,b), F2(c,0)，求出B点坐标是b - 3COBF1K=-3-5b 一5C【利用点坐标，进而求KPFi1:2，由 SvPF1A : Svpf1f2连接 0P，知 SvPF2O ： SvPF1F22:1，得出 SvPF1A : Svpf1

11、o4:1，相似比解法二】AO与PFi交于点B，证明B是线段AO的五等分点，就能得出 B作AM垂直PFi于点M，作ON垂直于PFi于点N,设PFi与y轴的交点为B，由相似比知 AB : B0 4:1，所以B是线段A0的五等分点,而A(O,b)，求出B点的坐标是 O,b，所以KpFKbFiOO ( C)5c 5【评析】灵活地应用平面几何知识， 可以快速化解题目的难点之处 几何分析是“形”向“数” 的转化，是特殊性方法，是“数形结合”思想应用通过本节微专题学习， 对于某些解析几何问题， 我们不一定都要通过常规方法入手，只要我们认真分析题目中几何量之间的关系，运用平面几何的观点来审题，认清题目的本质特

12、征，然后再动笔，往往带来很多方便要让学生在自然的代数过程中联系几何转化，不要刻意分割解析几何中的“数”与“形”，让数形结合思想真正融入解题思维里.2 2 2【针对训练】已知圆 x +y r ,直线丨：x a (a>r ), P为i上的一点，射线 OP交圆于2点R,点Q在OP上，且满足 OQ OP OR ,当P点在I上移动时，求点 Q的轨迹方程【分析】常规解法相当繁琐，令人头疼 限于篇幅，这里不再展示常规解法，但是，如果采 用三角形相似来解决的话，会很简单 由 RtVOHQ RtVOTP，得OHOQ解：如图所示，过点 P作圆的切线PM，M为切点，连接 MQ，易证MQ OPOP2，即 OH

13、a OQ OP OR OT2r故OH 为定值，又MQ OP,a24故点Q的轨迹方程为（x ）2 y2 丄万2a4a【点评】到目前为止，这是我所见到的本题最简洁的解法 ，简炼有力，令人惊叹!三、平面几何在求轨迹方程中的应用在最近几年的教学中， 我发现了同学们学习中存在的一个普遍问题：学哪一段就用哪一段的方法，这样做产生的后果是：思路闭塞，运算繁琐伴随着年龄的增长，同学们所掌握的 数学方法越来越多， 进入高中以后，特别是接触到解析几何后，我们不少同学就有点喜新厌旧了，把以前初中的平面几何知识抛到一边，认为有点过时了其实不然，数学方法并没有过时的说法，一些简单地定理往往能带来令人意想不到的效果，如中

14、线定理、角平分线定理、射影定理等平面几何中的基本知识，如果运用得当的话，就可以将你从解析几何繁复的运算中解放出来，甚至能让你拍案叫绝 求轨迹方程是解析几何中的两大基本问题之一，也是高考重点考查的内容其方法多种多样，但在求轨迹方程中，如果能够充分利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算 量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领大家学习应用平面几何求解轨迹方程的问题【例题】已知圆 O的方程是x2 y2 36，定点P 4,0，如图作矩形APBQ（ A、B两点在圆上）求矩形的顶点Q的轨迹方程.【常规解法】设Q x, y , A Xi, yi,B X2, y2，则:xj yj 36 x22 y22

15、36 又亠 1,x1 4 x2 4即 x-|X2 y1y24(x-|X2)160.Q x-ix2x 4, y1y2yx y(X1 X24)2(y1y2)22 2 2 2XiX2yiy 8(X1 X2) 2y"2 2x1X2 16722X1X2 yy 4(X1 X2) 1672 1656即所求矩形的顶点 Q的轨迹方程为：x2 y256.【点评】以上解法很常规，但其消元的过程是在太巧妙了！不易想到除此之外，还可利用FA斜率K为参数，建立 Q的参数方程来解决，但其运算过程相当复杂，不易求解【利用中线定理几何性质解法】如上图，连接 OP,OQ,OA,OB,OM（ M为矩形AFBQ的对角线的交

16、点）由平面几何的中线定理知识可知:在VOPQ 中,2OP2OQ =22OM + PM2在厶AOB中，OAOB =22OM + AMQ PM AM2OP2OQ = OA2+ OB222从而可得：OQ =56，故x y 56为所求方程【点评】在求轨迹方程中，充分利用平面几何知识，结合圆锥曲线的定义，在解题中，特别 是在考试的客观题解答中，将使解题过程简单，迅速得出正确答案通过本节微专题学习， 发现求解解析几何的轨迹方程问题时，若能充分灵活运用平面几何知识（中线定理）快速地给出了解答，方法之妙令人叫绝，解题则会事半功倍平时教学中，教师应注意这方面的指导 【针对训练】点 A，B，C依次在直线I上，且A

17、B=4BC，过C作I的垂线，M是这条垂线上的动点，以 A为圆心，为 AB半径作圆， Mt与MT2是这个圆的切线，求MTT 2垂心的轨迹.【分析】如图，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系,H为MTT 2的垂心，N为T1T2与22AM的交点，记BCh .以A为圆心的圆方程为 x y16，连结 ATi, AT2, at2 mt2,t,hmt2, AT2/ T1H，同理 AT,/ HT2.又AT, =AT2，二 AT1HT2是菱形二 2AN AH .又AM TT2, AT, MT, AT,2 AN AM设点H坐标为（x, y）,点M坐标为（5, b），则点N坐标为将坐标代入 AT,2 AN AM，再

18、由b 1，得5 x4在AB上取点K，使AK AB，所求轨迹是以5【点评】本题解法的可取之处在于娴熟的运用了平几知识，得出K为圆心,AK为半径的圆.形对角线互相垂直得出直角三角形，利用直角三角形射影定理OT,HT2是菱形后，依据菱OT,2 ON OM ?得出结论整个解法“平几味”甚浓，扣“形”不放，堪称数形结合的典范，事半功倍.四、巧用投影优化计算高考的解析几何题， 似曾相见曾相识，看似平淡需真功。很多时候，解析几何综合题的复杂性让许多学生望而却步，成为学生高考成败的关键。单纯地依赖代数方法解决几何问题， 不光导致运算十分复杂，也有可能导致思路无法展开， 能不能有效避开一些繁难计算，有时关注试题

19、中的几何特征是解决解析几何问题的关键.今天我们带领大家探讨是平面上两点间距离的转化问题，平面上两点间距离公式是先求平方和再开方，运算十分杂，但利用一条直线上两线段长度比值与它们在同一坐标轴上的投 影比值相等性质，可将其转化为数轴上两点间距离，将二维运算简化为一维运算，能够化繁为简，打开“柳暗花明又一村”的新局面.【例题】在平面直角坐标 xOy中，点A(1,1)与点B关于原点0对称，P是动点.且直线AP1与BP的斜率之积为 -3(I)求动点P的轨迹方程(x2 3y21 )；AP和BP分别与直线xP，使得 PAB与 PMN的面积相等？若存(n)设直线问是否存在点在，求出点P的坐标；若不存在，请说明

20、理由.3交于点N ,8【过程分析】试题中是两条动弦与椭圆相交，不再是一条直线与椭圆相交的位置关系，避开了常规的联立方程模式套路.试题中涉及A、B、P、M、N五个点，而且点 M、N是由点P生成的，所以先要通过设点P(Xo,y。)坐标为参变量，然后计算点 M、N的坐标，再利用五个点坐标分别表示PAB与 PMN的面积，将它们用引入参变量表示，禾U用它们相等的关系，进而求出 P的坐标.【解析】思路一：计算AB长与点P到AB的距离，P到MNPMN两个面积，思路虽自然，运算有一定困难.依题意：设P(x0, y0)、的距离，分别计算 PAB与则直线AP方程：y分别令x 3，得yMM(3,Ym)、N (3,

21、Yn )yo 1/(xXo 14y。Xo 3Xo 11)，直线BP方程：y 1H(x 1)yN2 yoxo3(多个字母参数的运算是学生死Xo 1穴，这种计算比较复杂,.曰1于是 S PMN| yM面积代数转化有困难)学生在心理上就已经发抖、害怕)2山0Yo(3 X。)( M、N点坐标复杂导致三角形Yn | (3 Xo)又直线AB的方程为x yo，且P(Xo, yo)到直线AB的距离d | xo . Yo |且 |AB| 2、. 2，所以 S pab1-|AB|d |xo Yol由题设条件S PMN S PAB，得| xoYo |2| xoYo |(3 Xo)225又|xoyo| °，

22、所以xo1(3xo)，得xo3 .代入椭圆方程得yo 339 ，55/33故存在点P(,)，使得 PAB与 PMN的面积相等.39【评析】解析几何的代数特征经常体现在“设而不求”技巧上，上述解法中困难是计算N点坐标.是不是一定要求出 M、N点坐标呢？这就让我们进一步思考，三角形面积一定 要表示成“底乘以高”的形式么 ？1思路二：我们发现要求的两个二角形有共同的顶角，利用S absi n 这个三角形面积公2式更容易表示 PAB与 PMN的面积并可回避M、N点坐标计算.解决问题需要理论支撑：在解析几何中很少直接用平面上两点间距离公式计算距离，多采用同一条直线上两线段长度比值化归转化为两线段在数轴上

23、投影的线段比值，回避距离公八F极大地简化计算.式中的先平方再开方运算， 将平面上二维的运算化归到数轴上一维的运算, 依题意：假设存在点 P，使得 PAB与 PMN的面积相等设 P（Xo,y。），则 Spab 丄 |PA|PB|sin APB，21S PMN |PM|PN|sin MPN2所以 |PA|PB| | PM | PN |，J PA| | PN |即（在这不可能去求平面上两点间的距离，|PM | PB |而是利用这四条线段在坐标轴上的投影也成相应比例关系进行转化，如此二维的平面两点距离运算转化为一维的数轴上两点距离运算，使运算简洁明了，正确率必然大大提高） 即汨 诜，化简得冷21 （3 xo）2，得xo 3 （后面同解法一）1【评析】共同的顶角两三角形面积关系，利用S abs in 这个三角形面积是关键，如果2把 PAB与 PMN的面积关系调整成比例关系，也同样适用；几何分析是“形”向“数”的转化，是特殊性方法，是“数形结合”思想应用，用好它 的前提是掌握好基本几何图形（三角形、四边形、圆等）的几何性质及基本几何关系 （平行、垂直、相交、相切等）应用主要体现在用比较简洁的“形”的性质去转化“数”的运算和