小学六年级奥数 第一章 方程解应用题

1、第一章 列方程解应用题知识要点 列方程解应用题时，就是用字母代替未知数，字母和已知量处于同等的地位，然后根据存在于应用题中的等量关系，把已知量、未知量的关系用等式表示出来，即得方程，求出方程的解，使应用题得以解答。 列方程解应用题的一般步骤是：审题选元列代数式列方程解方程检验做结论。 审题：审题就是要弄清题目中事物的已知量和未知量间的基本数量关系。 选元：合理选择未知数是解题的关键步骤之一。一般设直接未知数，即把题目所求量设为x。特殊情况下也可设间接未知数，即把与所求量相关的某个量设为x。 列代数式：把题目中用语言叙述的数量关系用代数式表示出来。列代数式时应特别注意实际问题中各量间所具有的基本

2、关系。 列方程：根据题目所设的条件，利用等量关系列含有未知数的等式方程。 解方程：求未知数x。 检验：检查验证方程的解是否合乎题意。 做结论：写出正确的答语。典例巧解例1 (第三届“希望杯”邀请赛试题)过年时，某种商品打八折销售，过完年，此商品提价 %可恢复到原来的价格。点拨 此商品的原来价格不知道，我们可引入一个辅助未知数以元表示，则打八折后的价格是0.8a元，再设提价x%后可恢复到原价列方程求解。解 设此种商品原来的价格是a元，则打八折后价格是0.8a元，提价x%后可恢复到原价，由题意可列方程：0.8a(1x%)a解得 x25 答：提价25%后可恢复到原价。例2 甲、乙两人共携带90千克行

3、李乘火车，甲超重部分交款5.6元，乙超重部分交款4.4元。如果甲、乙两人带的行李归一人携带，超重部分应交款14元。乘火车时每人免费携带行李的重量是多少千克？点拨 题目中是甲、乙两人携带行李超重交款的事，但出现了归一人携带应交超重款不等于甲、乙两人分别携带应交超重款之和。我们应该找出题目中的日常语言，用译式法翻译成代数语言。把甲、乙两人乘火车时每人可免费携带行李的重量设为x千克。 日常语言 代数语言 每人可免费携带行李的重量是多少千克x(千克) 如果一人携带行李超重多少千克 (90x)(千克) 如果两人分别携带行李共超重多少千克(902x)(千克) 超重部分每千克应交款多少元素(元) 或(元)

4、或(元)解 设两人乘火车每人可免费携带行李的重量是x千克。 126028x90010x 36018x x20 答：两人乘火车每人可免费携带行李的重量是20千克。说明 也可以用方程来解答。例3 敌军清晨5时从距我军7千米的驻地开始逃跑，我军在5时15分出发追击，速度是敌军的1倍，结果在7时45分追上。我军追击的速度是多少？点拨 本题涉及三种量：速度、时间和路程，这三种量又分为敌军和我军的，这三种量的基本关系是：路程速度×时间。解 设我军追击时每小时行x千米。速度时间路程我军x5(5)x敌军x÷15(5)(x÷1) (5)x(5)(x÷1)7 2x2

5、5;x×7 2x1x7 2x1x7 x7 x10 答：我军追击时每小时行10千米。说明 1.列方程时两边单位要统一 2.必须把给定的条件全部用上。 3.等量关系：我军行的路程敌军行的路程7千米。例4 某厂赶制一批零件，生产了500个以后，经过技术改进使生产效率提高到原来的2倍，现在生产600个的时间比原来生产500个的时间还少20小时。原来每小时生产零件多少个？点拨 本题涉及工作效率、工作时间和工作总量三种量，它们的基本关系是：工作时间，又可分为技术改进前和技术改进后两种工作状态。为了明确表示题意，我们不如设这个工厂技术改造前每小时生产零件x个，列表进行解题。解 设原来每小时生产零件

6、x个。工作效率工作总量工作时间技术改进前x500技术改进后2x600 20 100060040x 100060040x 40040x x10 答：原来每小时生产10个零件。例5 甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。甲、乙从A地、丙从B地同时相向出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲。求A、B两地的距离。点拨 由于路程速度×时间，现已知速度求距离，故可以直接设距离为x，也可设时间为x，现用两种方法解之。解法一 设乙、丙相遇时已用了x分钟，则甲、丙相遇时用了(x2)分钟，故A、B两地的距离等于乙、丙相遇时乙、丙所行路程的和，也等于甲、丙相遇时甲、丙所行路程的和。 乙、丙相遇时

7、，乙、丙所行路程的和：(6070)x130x 甲、丙相遇时，甲、丙所行路程的和：(5070)×(x2) 120x240 所以有方程130x120x240 解这个方程得x24，即乙、丙24分钟相遇。 所以A、B两地的距离：130×243120(米) 答：A、B两地的距离为3120米。解法二 设A、B两地的距离为x米。则乙、丙相遇所需时间为x÷(6070)分钟，甲、丙相遇所需时间为x÷(5070)分钟，由此得方程 2 解这个方程，在原方程左右两边同时乘以120×130，得 130x120x2×120×130 10x31200 x

8、3120 答：A、B两地的距离为3120米。例6 一台天平，右盘上有若干重量相同的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。如果从右盘取走一个白球放在左盘，再取左盘两个黑球置于右盘，同时给左盘加20克砝码，这时两边也平衡。如从右盘移动两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球到右盘，则须再放50克砝码于右盘上，两边才平衡。问白球、黑球每个重多少克？点拨 不妨设白球每个重x克，黑球每个重y克。第一次换球时，右盘增加2个黑球、减少1个白球；左盘增加1个白球及20克砝码、减少2个黑球，两边平衡，故有2yxx202y。第二次，右盘增加1个黑球及50克砝码，减少2个白球；左盘增加2个白球，减少1个黑球，两

9、边平衡，又有y502x2xy。解 设白球每个重x克，黑球每个重y克。则有 化简得 由式可得x2y10，代入式得 2y4(2y10)50O 2y8y40500 908y2y y15 把y15代入式得x20 所以方程组的解为 答：白球每个重20克，黑球每个重15克。例7 (第三届“希望杯”邀请赛试题)今年儿子的年龄是父亲年龄的，15年后，儿子的年龄是父亲年龄的，今年儿子 岁。点拨 解题时要清楚父亲与儿子的年龄差是不变的。解法一 设今年儿子x岁，则今年父亲4x岁。15年后，儿子(x15)岁，则父亲(4x15)岁。由题设知 (4x15)：(x15)11：5 于是(4x15)：(4x60)11：20 解

10、得x10解法二 设今年父亲x岁，儿子y岁，由题设知 x: y4：1 得 (xy)：y3：16：2 15年后，有 (x15)：(y15)11；5 得 (xy)：(y15)6：5 所以 y ：(y15)2：5 即 y ：152：3 y10例8 雨后初晴，小方同几个小伙伴八点多钟上山采集标本，临出门时他看了看时钟，时针与分针恰好重合；下午两点多钟他回到家里，一进门看到了钟的时针与分针方向相反，正巧成一条直线。小方采集标本是几点出发的？几点回到家的？共用了多少小时？点拨 分针每小时转过60个格，时针每小时只转5个格，这就是说，分针转速是每分钟转1个格，而时针转速是每分钟转格。依题意可以画出钟面图，并估

11、计确定分针和时针的位置，认真观察钟面图，分析后就可以找到解决问题的方法。 (1)求几点钟出发的。 八点钟时，分针与时针指在虚线位置上(如下左图)。假设分针和时针在8点x分时重合，由图意可知：这时分针转了x个格，时针转了(x40)个格，时针也转了个格，列方程可解。 (2)同理能求出小方下午的回家时间。 如下右图，假设分针和时针在2点y分时成一条直线，由图意可知：分针转了y个格，时针转了(y40)个格，时针也转了个格。解 (1)设分针和时针在8点x分时重合，则有 x40 x43所以小方出发时间是上午8点43分。(2)设分针和时针在2点y分时成一条直线，则有 y40 y43 所以小方回家的时间是下午

12、2点43分。 (3)采集标本共用时间 14时43分8时43分6小时 答：小方采集标本是8点43分出发的，下午2点43分回到家里，共用了6个小时。例9 割草人要把两块地的草割完。大的一块比小的一块大一倍。上午所有人都在大的一块草地割草，下午一半人仍留在大块草地上，到傍晚时正好把草割完。另一半人去割小块草地的草，到傍晚还剩下一小块，这一小块由一个割草人再用一天时间刚好割完。这组割草人共有多少人？点拨 由“大的一块比小的一块大一倍”可知，大的一块是小的一块的2倍，若将小的一块用正方形表示，大的一块用边长是正方形边长的2倍、宽是正方形边长的长方形表示，如右图。由题意可知，小块草地是两块草地的1/3，而

13、一天内割完两块草地需要的人数比实际参加的人数多1人，一天内割完小块草地需要的人数占需要总人数的1/3，一半人割半天，相当于需要人数的一半，则一天内割完小块草地需要的人数比实际人数的1/4多1人。因此，可以列出方程求解。解 设这组割草人共有x人。 ×1 4x43x12 x8也可以列成下列方程：()1 或 (x2) 还可以用算术方法解：(1)÷()8(人) 答：这组割草人共有8人。例10 已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度为3%，第二次又加入同样多的水后，盐水的浓度变为2%。求第三次加入同样的水后盐水的浓度。点拨 这道题是有关浓度的问题，原有盐水的重量不知道，

14、必须用字母表示，而每次加水后浓度变化了，溶液重量变化了，而溶质盐的重量不变，每次加入的水的重量又同样多，也应用字母表示，所求的问题设为未知数，这就出现了两个辅助未知数。解 设原有盐水a千克，每次加水b千克，第三次加入同样多的水后盐水的浓度为x%。 化简得 由式得3a3b2a4b 即ab 把ab代入，得2(b2b)(b3b)x 6b4bx 因为b0 所以4x6 x1.5 答：第三次加入同样多的水后，盐水浓度变为1.5%。例11 (第五届“希望杯”邀请赛试题)两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。甲、乙同时出发10分钟，两人与十字路口的距离相等；出发后10

15、0分钟，两人与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口多少米？点拨 本题涉及路程、时间和速度三种量。由于路程速度×时间，现要求距离，因速度未知，可设甲、乙的速度分别为x，y，再解之。解法一 设甲的速度为x米分钟，乙的速度为y米分钟，则 由×10得 12000100x100x1200100y100y 10800200y y54 所以出发后100分钟，乙与十字路口的距离是 100y54×1005400(米) 答：出发后100分钟、，当甲、乙两人与十字路口的距离再次相等时，他们距十字路口5400米。解法二 甲100分钟比乙100分钟多走1200米，即甲比乙每分钟多走

16、12米。 又因为出发10分钟时，甲、乙两人与十字路口的距离相等，所以乙每分钟走 (120012×10)÷10÷254(米) 因此，出发后100分钟，乙与十字路口的距离是 54×1005400(米) 答：出发后100分钟，当甲、乙两人与十字路口的距离再次相等时，他们距十字路口5400米。解题技巧 列方程解决问题的实质是将问题中的同一个数或等量用两种方式表达出来，建立等量关系。而这种等量关系的建立首先必须对题目作细致的分析，因为较复杂的问题，其等量关系比较隐蔽，需要综合地运用学过的知识，有时还采用一些技巧和方法，如应用图表，或画图来进行直观分析，或是连续两次

17、列方程，或是增设未知数，帮助建立已知量和未知量的联系，为列方程创造条件，化难为易。竞赛能级训练A 级1.(第五届“希望杯”邀请赛试题)甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出，甲车的速度是50千米小时，乙车的速度是40千米小时。当甲车驶过AB距离的多50千米时，与乙车相遇，A.B两地相距 千米。2.一片箭竹林，去年不开花的箭竹比开花的2倍还多55棵，今年开花的箭竹比去年多了100棵，这时开花的箭竹恰好是不开花的4倍。这片箭竹林有 棵箭竹。3.两个杯中分别装有浓度为40%与10%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为30%。若再加入300克浓度为20%的盐水，则浓度变成25%，那么原有40%的盐水 克

18、。4.一把小刀的售价是6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数比是3：5；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数比是9：11。原来两人共有 元钱。5.一辆汽车在上坡路上行驶的速度是每小时40千米，在下坡路上行驶的速度是每小时50千米，在平路上行驶的速度是每小时45千米。某日这辆汽车从甲地开往乙地，先是用了的时间走上坡路，然后用了的时间走下坡路，最后用了的时间走平路。已知汽车从乙地按原路返回甲地时，比从甲地开往乙地所用的时间多15分钟，甲、乙两地相距多少千米？6.兄弟两人三年后的年龄和是26岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟两人年龄差的2倍。问三年后兄弟两人各几岁？7.某日停电，房间里同时

19、点燃了两支同样长的蜡烛，两支蜡烛可点燃的时间不同，一支可点燃3小时，一支可点燃5小时。当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下的长度的3倍。这次停电多长时间？8.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后爸爸骑摩托车追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几点几分？B 级1.3头牛在2星期中能吃完2公亩地上原有的草和在这期间长出的新草；2头牛在4星期中能吃完2公亩地上原有的草和在这期间长出的新草。要多少头牛才能在6星期中吃完6公亩地上原有的草和在这期间所长出的新草？2.大盒放有若干支同样的钢笔，小盒

20、放有若干支同样的圆珠笔，两盒的总价值相等。如果从大盒中取出8支钢笔放入小盒，从小盒中取出10支圆珠笔放入大盒，必须在大盒中添两支同样的钢笔，两盒笔的总价值才相等。如果从大盒中取出10支钢笔放入小盒，从小盒中取出8支圆珠笔放入大盒，那么大盒内笔的总价少了44元。每支钢笔多少钱？3.有一项工程，由甲单独做需12天完成，丙单独做需20天完成，甲、乙、丙合作，需5天完成。如果这项工程由乙单独做，需几天完成？4.用原来那台抽水机向游泳池内注水若干小时才注满。如果换一台抽水效率比原来高20%的抽水机，可提前1小时将游泳池注满；如果先用原来那台抽水机注水1200立方米后，再换效率比原来那台抽水机高25%的抽

21、水机，则可提前40分钟将游泳池注满。那么该游泳池预定的蓄水量是多少立方米？5.有一个皮球从A点落下到地面，弹起到B点后又落下到高20厘米的平台上，再弹起到C点，最后落下到地面(如图)。已知皮球每次弹起的高度都是落下高度的80%，且A点离地面比C点离地面高出68厘米，求C点离地面的高度。6.有一个水池，第一次放出全部水的，第二次放出40立方米，第三次又放出剩下水的，池里还剩水56立方米。全池蓄水多少立方米？7.胜利中学数学竞赛中，六年级大约有380450人参赛。比赛结束后，全体学生的平均分为76分，男、女生平均分数分别为79分、71分。男、女生至少各有多少人参赛？能力测试一、选择题(每题8分，共

22、16分) 1.已知篮球、足球、排球平均每个36元。篮球比排球每个多10元，足球比排球每个多8元。每个足球( )元。A.30 B.38 C.36 2.杯中有浓度为36%的盐水，倒入一定量的水后，盐水的浓度降低到30%。若要稀释到浓度为24%，则再加入的水是上次所加水的( )倍。A.1 B.1.5 C.2 D.2.5二、填空题(每题5分，共20分)1.某车间有工人176人，其中男工人数的比女工人数的多12人。这个车间男工有( )人，女工有( )人。2.有一架飞机，最多能在空中连续飞行4小时，飞机的速度是每小时行950千米，返回时每小时行850千米。这架飞机最远飞出( )千米就应返回。3.甲、乙两人原有钱数之比为6:5，后来甲又得了180元，乙又得了30元，这时甲、乙钱数之比为18：11。原来两人钱数之和是( )元。 4.9年前，弟弟的年龄是哥哥年龄的。现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，哥哥现在( )岁。 三、解答题(每题8分，