用均值不等式求最值的方法和技巧[共19页]

1、用均值不等式求最值的方法和技巧桃源县第九中学 朱梅芳均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题 的方法和技巧 。一、几个重要的均值不等式2 22 b ab ab a b a b R2a 2 ( 、 )，当且仅当 a = b 时 ，“=”号成立；22a ba b 2 ab ab (a、b R )，当且仅当 a = b 时 ，“=”号成立；23 3 3a b c3 a b c R3 3a b c 3abc abc ( 、 、 )，当且仅当 a = b = c 时,“=”号3成立；3a b c a 3 a、b、c R ,当且仅

2、当 a = b = c 时,“=” b c 3 abc abc ( )3号成立.注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定、”三“等；”2 熟悉一个重要的不等式链： ab1 1a ba b22 b 2a2。二、用均值不等式求最值的常见 的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数1y x (x 1)的最小值。22(x 1)解析：1y x (x 1)22(x 1)1(x 1) 1(x 1)22(x 1)x 1 x 1 122 2 2(x 1)1(x 1)x 1 x 1 13 1322 2 2(x 1)32152，当且仅当x1 122 2(x 1)(x 1)即x 2时 ，“=”

3、号成立，故此函数最小值是52。评析： 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。12、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：2 3y x (3 2 x)(0 x ) 22y sin x cosx(0 x )2解析： 3 2 30 x ,3 2x 0 ，y x (3 2x )(0 x ) x x (3 2x) 2 2x x (3 2x)3 1 3，当且仅当 x 3 2x 即x 1时 ，“=”号成立，故此函数最大值是1。 0 x ,sin x 0,cos x 0 ，则 y 0，欲求 y 的最大值，可

4、先求 y22的最大值。2 sin4 cos2y x x2 2 2sin x sin x cos x12 2 2 (sin x sin x 2cos x)22 2 21 sin x sin x 2cos x 43( )2 3 27,当 且仅当2 2sin x 2cos x (0 x ) tan x 2 ， 即2x a r tcan 2时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是2 39。评析： 利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子） 、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若 x、y R ，

5、求f ( x) x4x(0 x 1)的最小值。b解法一 ：（单调性法）由函数 f (x) ax (a、b 0) 图象及性质知，当 x (0,1时，x函数f ( x) x4x是减函数。证明：4 4任取 x1 , x2 (0,1 且0 x1 x2 1，则 1 2 1 2f ( x ) f ( x ) (x x ) ( )x x1 2( x x ) 41 2x x2 1x x1 2(x x )1 2x x1 2x x1 24， x x0 x x 1，1 2 1 2x x 41 20, 0x x1 2，则 f (x1) f ( x2 ) 0 f (x1) f ( x2 ) ，即f (x) x4x在(0

6、,1上是减函数。故当 x 1时，f (x) x4x在(0,1上有最小值 5。解法二：（配方法）因0 x 1，则有f (x) x4x22( x) 4x，易知当 0 x 1时，22xx 0且单调递减，则22f (x) ( x) 4在(0,1 上也是减函数，即xf (x) x4x在(0,1上是减函数，当 x 1 时，f (x) x4x在(0,1上有最小值 5。解法三 ：（导数法）由f (x) x4x4f (x) 1得 2x4，当 x ( 0,1 时，f (x) 1 2 0 ，xf ( x) x则函数4x在(0,1上是减函数。故当 x 1时，f ( x) x4x在(0,1上有最小值 5。解法四：（拆分

7、法）f (x) x4x(0 x 1)1 3( x )x x2 x1 3x 15 ，当且仅当 x 1时“=”号成立，故此函数最小值是 5。评析： 求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。4、条件最值问题。例4、已知正数 x、y 满足8 1x y1，求 x 2y 的最小值。解法一 ：（利用均值不等式）x 2y 8 1 x 16y( )(x 2y) 10x y y xx 16 y10 2 18y x,当且仅当8 1x yx 16 yy x1即x 12, y 3时“=”号成立，故此函数最小值是 18。解法二 ：（消元法）由8 1x y1

8、得yxx 8x， 由 y 0 又0 x 0 x 则8x 8x 2y2x 2(x 8) 16 16 16x x x 2 (x 8) 10x 8 x 8 x 8 x 8 162 (x 8) 10 18 x 8。当且仅当 x 816即x 12,此时y 3 时“=”号成立，故此函数最小值是 18。x 8解法三 ：（三角换元法）8x1ysincos22xx则有xy82sin1cosx 令2x则x 2y8 22 2sin x cos x2 2 2 2 2 28csc x 2sec x 8(1 cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x 2tan x2 210 2 (8cot x) (2 tan

9、 x) 18，易求得 x 12,此时y 3时“=”号成立，故最小值是18。评析： 此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：8 1 8 1x 2y ( )(x 2y) 2 x 2y 8x y x y3。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数 x、y满足 xy x y 3，试求 xy 、x y 的范围。解法一 ：由x 0, y 0 ，则xy x y 3 xy 3 x y 2 xy ，即2( xy) 2 xy 3 0 解得xy 1( 舍) 或 xy 3 ，当且仅当 x y且xy x y 3即x y 3时取“=”号，

10、故xy 的取值范围是 9, ) 。又x y2x y 3 xy ( )22(x y) 4(x y) 12 0 x y 2(舍)或x y 6 ，当且仅当 x y且xy x y 3即x y 3时取“=”号，故x y的取值范围是 6, )解法二 ：由x 0, y 0 ，xy x y 3 ( x 1) y x 3知 x 1，则 yxx31，由x 3y 0 0 x 1，则：x 12 2 x 3 x 3x (x 1) 5(x 1) 4 4xy x (x 1) 5x 1 x 1 x 1 x 142 (x 1) 5 9x 1，当且仅当4即 ，并求得 y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是 9, ) 。x 1

11、(x 0) x 3x 1x 3 x 1 4 4 4 4x y x x x 1 (x 1) 2 2 (x 1) 2 6x 1 x 1 x 1 x 1 x 1，当且仅当4即 ，并求得 y 3时取“=”号，故xy 的取值范围是 9, ) 。x 1 (x 0) x 3x 1三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、 添、减项（配常数项）例 1 求函数2y 3x2162x . 的最小值分析：23x2162x 是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值而 .122 x 可与2 2x 相约，即其积为定积 1，因此可以先添、减项 6，即16 2y 3x 6 622 x ，再用均值不等式 .4解：2 2x 2 0

12、, y 3x2162x16 23( x 2) 622 x16 22 3(x 2) 622 x8 3 623(x 2)2162x ，即2 4 3x32当且仅当时,等号成立 . 所以 y 的最小值是 8 3 6 .评注 为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧 ;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项 .2、 配系数（乘、除项）例 2 已知 x 0, y 0 ，且满足 3x 2y 12 ，求lg x lg y 的最大值.分析 lg x lg y lg( xy) , xy 是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y 是否定值，而已知是 3x 与2y 的和为定值 12 ，故应先

13、配系数，即将 xy 变形为3x 2y6 ，再用均值不等式 .解：x 0, y 0lg x lg y lg( xy) lg3x 2y62 2 1 3x 2y 1 12lg lg6 2 6 2lg 6当且仅当 3x 2y ，即x 2, y 3 时，等号成立. 所以lg x lg y 的最大值是 lg 6.评注 本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利2 a bab2用来解决.53、 裂项例 3 已知 x 1，求函数yx 5 x 2x 1 的最小值 .分析 在分子的各因式中分别凑出 x 1，借助于裂项解决问题 .解：x 1 0y ,x 1 4 x 1 1x 1 4 4( x 1)

14、5 2 (x 1) 5 x 1 x 19当且仅当4x 1x 1 ，即 x 1时，取等号 . 所以ymin 9.4、 取倒数例 4 已知0 x12，求函数y2(x 1)x(1 2x) 的最小值.分析 分母是 x与(1 2x) 的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为 (1 x) (这是解本题时真正需要的 ).于是通过取倒数即可解决问题 .0 x12解 由，得1 x 0 ，1 2x 0 .1 x(1 2x) 1 3x 1 2x2y (1 x) 3 1 x 1 x23x 1 2x1 1 1 1 x x3 2 12取倒数，得3x 1 2x1 x 1 x ，即x15当且仅当时，

15、取等号 .故y 的最小值是 12.5、 平方6例 5 已知 x 0, y 0 且2y22x 83求2x y 的最大值.6 2分析 条件式中的 x与 y 都是平方式， 而所求式中的 x是一次式， y 是平方式但带根号 .初看似乎无从下手，但若把所求式2x 6 2y 平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决 .2 2 2 2 2 2y解：(x 6 2y ) x (6 2y ) 3 2x (1 )3 22y22x (1 )933 3( )2 22当且仅当22y2x (1 )3，即x32，y422时，等号成立 .故2x 6 2y 的最大值是932 .评注 本题也可将 x纳入根号内，即将所求式

16、化为2x y ，先配系6 2数，再运用均值不等式的变式 .6、 换元（整体思想）例 6 求函数yx 22x 5 的最大值 .分析 可先令 x 2 t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决 .72解：令 x 2 t t , x 0 t , 则 2 ,ty (t 0 )22t 1当 时，t 0 y 0;当t 时，y01 1 2 1 1 42t 2 2tt t1 2当且仅当 2 = ，即 时，取等号 .t tt 23 2所以x 时,取最大值为 .2 47、 逆用条件例 7 已知1 91(x 0, y 0)x y ,则x y 的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式， 只能求 xy

17、的最小值， 而无法求 x y 的最小值.这时可逆用条件，即由11 9x y ，得1 9x y (x y)( )x y ，然后展开即可解决问题 .1 9解：由 x 0, y 0, 1，得x y 1 9 y 9 xx y (x y)( ) 10 x y x yy 9 x2 10 16 x yy 9x当且仅当 ,即x 4, y 12时，等号成立 .x y故x y的最小值是 16.1 9评注 若已知 x 0, y 0, x y 1 (或其他定值 )，要求x y 的最大值，则同样可运用此法 .8、 巧组合例 8 若a, b, c 0 且a(a b c) bc 4 2 3,求2a b c 的最小值 .分析

18、 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用 a b 2 ab +b8来解决 .换个思路，可考虑将 2a b c 重新组合，变成 (a b) (a c) ，而(a b)( a c)等于定值 4 2 3 ，于是就可以利用均值不等式了 .解：由 知a,b, c 0, 2a b c (a b) (a c)22 (a b)( a c) 2 a ab ac bc2 4 2 3 2 3 2, b c,当且仅当即b c 3 1 a时，等号成立 .故2a b c的最小值为 2 3 2.9、 消元2y例 9、设x, y, z为正实数， x 2y 3z 0 ，则xz 的最小值是 .分析 本题也是三元式的最值问题 .由题意得yx 3z2，则可对2yxz 进行消元，用 x,z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题 .x 3z解：由 可得