函数的单调性87550

1、abxabxabxabxx| axbaxbaxbaxbaxbx| axbx| axbx| axba，b(a，b)(a，ba，b)闭区间闭区间开区间开区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间半开半闭区间设设 axb其中其中 a，b 叫做区间的端点叫做区间的端点axaxaxaxx ax ax ax ax| x ax| x ax| x ax| x a( ，aa ，)(，a)(a，)对于实数集对于实数集 r，也可用区间，也可用区间( ，) 表示表示 例例1用区间记法表示下列不等式的解集：用区间记法表示下列不等式的解集： （1）9x10 ； （2） x0.4 解：（解：（1）9，10 ； 用区间记法表示

2、下列不等式的解集，用区间记法表示下列不等式的解集，并在数轴上表示这些区间：并在数轴上表示这些区间：（1）2x3； （2） 3x4；（3）2x3； （4）3x4；（5） x3； （6） x4（2）(，0.4 bxabxabxabxa集合名称区间数轴表示x| 开区间（a，b） x| 闭区间a，b x| 半开半闭区间 a，b） x| 半开半闭区间（a，b ax ax 集合区间数轴表示x| （a，） x| （-，a） x| a，+） x| （-，a x r（-，+） ax ax abxabxabxabxaxa xaxax1xy观察下列函数中观察下列函数中x,yx,y的关系的关系2x2yyx-11oyx

3、12o观察讨论观察讨论xyo1x)x(f11x)x(f11x)x(f1)x(f11x1x)x(f1)x(f11x2xy 1x)x(f1在上，在上，y y随随x x的的增大而减小增大而减小(,0)在在 上，上，y y随随x x的的增大而增大增大而增大0,)观察讨论观察讨论,21xx在给定区间上任取21xx )f(x)f(x21oxy) x( fy如何用如何用x与与 f(x)的变化来表述上升的图象？的变化来表述上升的图象？)x( f11x如何用如何用x与与 f(x)的变化来表述下降的图象？的变化来表述下降的图象？,21xx在给定区间上任取21xx )f(x)f(x21)x( f1)x ( f2)

4、x ( fyoxy1x2x)x ( f22x归纳定义归纳定义xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)归纳定义归纳定义（1）函数的）函数的单调性单调性也叫函数的也叫函数的增减性增减性；（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它）函数的单调性是对某个区间而言的，它是个是个局部概念局部概念。这个区间是定义域的。这个区间是定义域的子集子集。（3）单调区间：针对自变量）单调区间：针对自变量 x 而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调若函数在此区间上是减

5、函数，则为单调递减区间递减区间.特别说明特别说明-2 212345-23-3-4-5-1-112xy例：如图是定义在闭区间例：如图是定义在闭区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)的的图象，根据图象说出图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一的单调区间，以及在每一单调区间上，函数单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数. 解：函数解：函数f(x)的单调区间有的单调区间有-5,-2)，-2,1)，1,3)，3,5,其中其中f(x)在区间在区间-5,-2)，1,3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间-2,1)，3,5上是增函数上是增函数.)(xfy o举例应用

6、举例应用1、根据函数图像，指出函、根据函数图像，指出函数在哪些区间上是减函数数在哪些区间上是减函数. 5, 4),5,7)减区间分别是：(,),(,)22增区间分别是：-1-4-55794xyo222、根据函数图像，指出函、根据函数图像，指出函数在哪些区间上是增函数数在哪些区间上是增函数.oyx演练反馈演练反馈。正确答案：正确答案：增区间：增区间：-2，1，3，5减区间：减区间：-5，-2，1，3增区间：增区间：-2，1，3，5减区间：减区间：-5，-2，1，3增区间：增区间：-2，0，（，（0，1， 3，5减区间：减区间：-5，-2，1，3演练反馈演练反馈常见函数的单调性常见函数的单调性yo

7、xoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数ab2-，,2ab在 增函数在 减函数ab2-，,2ab在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yoxyxoyy=2x+1xoy=(x-1)2-112-1yxy =x3oyoxx1y 增区间增区间为为(,) 增区间增区间为为增区间增区间为为(,) 1,)减区间减区间为为(,1减区间减区间为为(,0),(0,)例例2:写出函数的单调区间写出函数的单调区间练习练习1：根据下列函数图象，写出其单调区间。：根据下列函数图象，写出其单调区间。y=x2y=x3y=x_1正确答案：正确答案：增区间（

8、增区间（-，0， 减区间减区间 0，+）增区间（增区间（-，+）减区间（减区间（-，0），）， （0，+）演练反馈演练反馈1x例例3 作出下列函数的图象，并写出函数的作出下列函数的图象，并写出函数的 单调区间：单调区间：（1）y=x22 ； （2）y=解解:（1）函数）函数y=x22在（在（，0）上是单调增函数，上是单调增函数， 在（在（ 0 ，+）上是单调增函数）上是单调增函数减函数减函数.（2）函数）函数y=1x在（在（ 0 ，+）上也是单调减函数）上也是单调减函数.在（在（，0）上是单调减函数，）上是单调减函数，举例应用举例应用思考：思考：观察下列函数的图象，并指出它们是否观察下列函数的

9、图象，并指出它们是否为定义域上的增函数：为定义域上的增函数： 注意：注意：一个函数的两个单调区间是不可一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：以取其并集，比如：y= y= 在在(0,+(0,+）上是单调递减的，并且在（上是单调递减的，并且在（，0 0）上）上也是单调递减的，只能说也是单调递减的，只能说(0,+(0,+）和）和（，0 0）是函数的两个单调递减区间，）是函数的两个单调递减区间，不能说（不能说（，0 0） (0,+ (0,+）是原函）是原函数的单调递减区间。数的单调递减区间。 1x1x问：能不能说，函数问：能不能说，函数y=上是单调减函数？上是单调减函数？在（在（，0）（）（

10、0 ，+） 能不能不通过观察函数的图象就能不能不通过观察函数的图象就能知道函数的单调性呢？能知道函数的单调性呢？动脑思考动脑思考 内任意是区间设),(x,x 21)x2(x) 1x2() 1x2()x( f)x( f2121210 xx ,xx21210)x(f)x(f21)x(f)x(f21即),(1x2)x(f在区间则函数证明：证明：。两个实数，且 xx 21是增函数。 （条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论）例例4 证明函数证明函数f(x)=2x+1在区间在区间(-,+) 上是增函数上是增函数1.取值取值: 对任意对任意 x1, x2m, 且且 x1x2;2.作差作差:

11、f(x1)- -f(x2);并将并将f(x1)-f(x2)化简变形成最简形式化简变形成最简形式3.判定判定差的正负差的正负;4.根据判定的结果作出相应的根据判定的结果作出相应的结论结论. 用函数单调性定义判定或证明函数单调用函数单调性定义判定或证明函数单调性的一般步骤性的一般步骤：归纳小结归纳小结.上的单调性区间4 4 2 2, ,在在x x1 16 6x xf f( (x x) ) 例例5 试判断函数试判断函数 x x x x1 16 6) )x x ( (x x ) )x x( (x x2 21 12 21 12 21 1, , 4 4x xx x2 22 21 1, , 0 0 x xx

12、 x2 21 1, , 1 16 6x xx x4 42 21 1, , 0 0) )f f( (x x) )f f( (x x2 21 1) ), ,f f( (x x ) )即即f f( (x x2 21 1上上单单调调递递减减。 4 4 2 2, , 在在x x1 16 6x xf f( (x x) ) 0 01 16 6- -x x即即x x2 21 1, , 4 4x xx x2 2 设设2 21 1证明：证明：) )f f( (x x) )f f( (x x2 21 1) )x x1 16 6( (x x) )x x1 16 6( (x x2 22 21 11 1 x x x x)

13、 )x x1 16 6( (x x) )x x( (x x2 21 11 12 22 21 1证明：在证明：在上任意取上任意取x1,x2 ， 且且x10 , 0又由又由x10所以所以f(x1)- f(x2)0即即f(x1) f(x2)所以所以f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。1x解：解：f(x)= 在在(0，+)上是减上是减函数函数1x函数单调性的定义中，实际上含有函数单调性的定义中，实际上含有两层两层意思：意思： 对 于 任 意 的对 于 任 意 的 x x1 1, x, x2 2 m m ， 若， 若 x x1 1 x x2 2 ， 有有f(xf(x1 1)f(x)f

14、(x2 2) )，则称，则称f(x)f(x)在在m m上是增函数；上是增函数；若若f(x)f(x)在在m m上是增函数，则当上是增函数，则当x x1 1x x2 2时，就有时，就有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )1、已知函数、已知函数y=f(x)在在r上是减函数，上是减函数，则则f(1) _f(2)2、已知函数、已知函数y=f(x)在在r上是增函数，上是增函数，则则f(-1)_f(-2)函数单调性的定义中，实际上含有函数单调性的定义中，实际上含有两层两层意思：意思： 对 于 任 意 的对 于 任 意 的 x x1 1, x, x2 2 m m ， 若， 若 x x1 1 x x2

15、 2 ， 有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，则称，则称f(x)f(x)在在m m上是增函数；上是增函数；若若f(x)f(x)在在m m上是增函数，则当上是增函数，则当x x1 1x x2 2时，就有时，就有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )3、已知函数、已知函数y=f(x)在在r上是增函数，上是增函数，若若f(2)=0，则，则f(-1)_0, f(1)_0.4、已知函数、已知函数y=f(x)在在r上是增函数，上是增函数，若若f(x+2) f(2x),求求x的取值范围。的取值范围。方法一：观察函数的图象方法一：观察函数的图象。方法二：利用函数单调性的定义方法二：利用

16、函数单调性的定义。判断函数单调区间的常用方法：判断函数单调区间的常用方法： 本节课主要学习了函数单调性的概念以及本节课主要学习了函数单调性的概念以及判断函数在某个区间上的单调性的方法以及判断函数在某个区间上的单调性的方法以及函数单调性的一些简单运用函数单调性的一些简单运用.小结小结说明说明:1.1.在单调区间上增函数的图像是在单调区间上增函数的图像是上升上升的，减函数的，减函数的图像是的图像是下降下降的；的；2.2.函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上函数的单调性是在函数的定义域或其子区间上的性质；的性质；3.3.函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性；上不存在单调性；4.4.函数单调性的定义中，实际上含有两层意思：函数单调性的定义中，实际上含有两层意思： 对 于 任 意 的对 于 任 意