ch031函数极限

1、2021-11-221第三章第三章 函数极限函数极限二、函数极限二、函数极限三、函数极限的性质三、函数极限的性质一、引言一、引言四、函数极限的存在性四、函数极限的存在性2021-11-222一、引言一、引言函数极限研究的方法函数极限研究的方法温故而知新温故而知新要注意新知识与旧知识有什麽相同与要注意新知识与旧知识有什麽相同与不同之处？不同之处？更重要的是不同之处！更重要的是不同之处！rdf:函数函数rnf:数列数列 nanf,)(定义、定义、 性质、性质、 收敛性收敛性不同之处？不同之处？nnnf :)(rxxf :)(自变量变化花样多！自变量变化花样多！怎样描述各种变化？怎样描述各种变化？2

2、2021-11-223第第3.1节节 函数的极限函数的极限（一）自变量变化的描述（一）自变量变化的描述1. 邻域邻域),(000 xxxxux邻域邻域的的点点0 ),(),(00000 xxxxxuxnx邻域邻域的空心的空心点点2021-11-2242. 两种基本变化趋势两种基本变化趋势0 xx 0 xx 0 xx 趋向于无穷趋向于无穷 x x x 00, 0 xx 00, 0 xx 00, 0 xxnxn , 0nxn , 0nxn , 0 0 x x x 趋向于一点趋向于一点xo2021-11-225.)(,)(,)(,0, 0, 0,.)(0000axfxxaxfxxaxfxxxraxx

3、f趋趋向向于于时时或或称称当当有有极极限限时时则则称称当当都都有有动动点点的的使使得得所所有有满满足足不不等等式式如如果果有有定定义义的的某某空空心心邻邻域域在在点点设设函函数数 )()()(lim00 xxaxfaxfxx 或或记作记作定义定义1：（二）函数极限的定义（二）函数极限的定义1. 函数在一点的极限函数在一点的极限定义定义 2021-11-226注意注意1的的含含义义是是什什麽麽？ 00 xx邻邻域域内内的的空空心心落落入入点点 0 xx为什麽要考虑空心邻域？为什麽要考虑空心邻域？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数考虑函数在一点

4、的极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义的值是什麽，在该点处是否有定义，定义的值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。反例反例 0,10,1sin)(xxxxxf2021-11-2272021-11-228注意注意2的的几几何何意意义义是是什什麽麽？axfxx )(lim0 xoy0 xa)(xfy ),(),(, 0, 00 auxnf 使使或或 a a( ) 0 x 0 x( )2021-11-229定义定义2： （右极限）（右极限）怎样定义单侧极限？怎样定义单侧极限？记记作作为为右右极极限限以以时时趋趋向向于于则则称称当当有有就就使使得得只只要要正正数数都都存存

5、在在一一个个无无论论它它多多麽麽小小正正数数对对于于任任意意给给定定的的如如果果存存在在一一个个实实数数附附近近有有定定义义在在点点设设函函数数.)(,)(,0, 0, 0,.)(000axfxxaxfxxaxxf axfxx )(lim0 00 xx2021-11-2210记记作作为为左左极极限限以以时时趋趋向向于于则则称称当当有有就就使使得得只只要要正正数数都都存存在在一一个个无无论论它它多多麽麽小小正正数数对对于于任任意意给给定定的的如如果果存存在在一一个个实实数数附附近近有有定定义义在在点点设设函函数数.)(,)(, 0, 0, 0,.)(000axfxxaxfxxaxxf axfxx

6、 )(lim0定义定义3：（左极限）（左极限）00 xx 2021-11-2211一点极限与单侧极限有什麽关系？一点极限与单侧极限有什麽关系？.)(lim)(lim)(lim000都都存存在在且且相相等等与与存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是xfxfxfxxxxxx 定理：定理：例例符号函数符号函数 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxy2021-11-2212oyx 11 观察图形观察图形1sgnlim0 xx1sgnlim0 xxxxxxsgnlimsgnlim00 因为因为所以所以不不存存在在！xxsgnlim02021-11-2213例例1?11lim21 xxx2

7、111lim21 xxx观察知观察知证证 )1(212111, 02xxxx欲使欲使 1021112xxx)1)1(2(1)1(21 xxxx只要只要0, 1 xx不不妨妨设设因因为为1)1(21 xxx 故取故取 12111,10:, 02xxxxx有有使使于于是是证毕证毕2021-11-2214例例2 用定义证明用定义证明2111lim0 xxx证明证明不妨设不妨设0, 1 xx211112111 xxx因因为为2) 11( 2 xx22111xxx 所以所以 2 故故取取证毕证毕有有,0:,2, 0 xx 22111xxx2021-11-22152. 函数在无穷远的极限函数在无穷远的极限

8、.)(,)(,)(, 0, 0,).0(),()(axfxaxfxaxfxnxnraaaxf趋趋向向于于时时或或称称当当有有极极限限时时则则称称当当都都有有的的动动点点使使得得所所有有满满足足不不等等式式如如果果有有定定义义在在区区间间设设函函数数 )()()(lim xaxfaxfx或或记作记作定义定义4：22021-11-2216第第2.2节节 函数极限的性质函数极限的性质性质性质2:（有界性）（有界性）.)(,)(lim00有有界界时时当当则则存存在在设设xfxxxfxx.)(,0, 000mxfxxm 就就有有时时使使当当和和即即存存在在 函数极限如果存在，则函数一定有界函数极限如果存

9、在，则函数一定有界.性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限如果存在，则一定是唯一的函数极限如果存在，则一定是唯一的.xy1 .)(,)(lim有有界界时时当当则则存存在在设设xfxxfx .)(, 00mxfnxnm 就就有有时时使使当当和和即即存存在在2021-11-2217性质性质3:（保号性）（保号性）存存在在设设axfxx )(lim0. 0)(,0:, 0, 0)1(0 xfxxxa就就有有使使得得则则如如果果 . 0, 0)(,0:, 0)2(0 axfxxx则则有有有有如如果果 2021-11-2218性质性质4: （函数极限与数列极限的关系）（函数极限与数列极限的关系） .)

10、(lim,)(lim000axfnnxxxxaxfnnnnxx 都都有有）（的的数数列列对对每每个个收收敛敛于于点点存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是即即,)(lim0axfxx axfxxx)(,0:, 0, 00就就有有使使得得证明证明 必要性必要性根据假设根据假设 axfxxxnnn)(,0:,0有有特特别别2021-11-2219 00,),(, 0,limxxnnnxxnnn就有就有使得使得自然数自然数对上述对上述根据定理假设根据定理假设得得到到于于是是即即有有注注意意到到,0,00 xxxxnn 00,),(,0 xxnnnn有有使使得得自自然然数数 axfn)(从从而而就就

11、有有证毕证毕axfnn )(lim即即2021-11-2220?1sinlim0 xx例例观察图形观察图形不不存存在在！xx1sinlim02021-11-22212221,21 nxnxnn取取0lim, 0;0lim, 0 nnnnnnxxxx显然显然1)22sin()( nxfn1)22sin()( nxfn从而从而1)(lim, 1)(lim nnnnxfxf不不存存在在极极限限所所以以xx1sinlim,0)(lim)(limnnnnxfxf 证明证明证毕证毕22021-11-2222axgaxhxfxhxgxfxnxxxxxxx )(lim)(lim)(lim)()()(),(00

12、00则则且且有有证法证法1：应用函数极限与数列极限关系定理：应用函数极限与数列极限关系定理 和数列极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理.第第3.3节节 函数极限的存在性函数极限的存在性夹逼定理夹逼定理: :证法证法2：应用函数极限定义：应用函数极限定义.2021-11-2223第第3.4节节 两个重要极限两个重要极限1sinlim0 xxxexxx)11 (lim2021-11-2224?sinlim0 xxx例例利用夹逼定理讨论利用夹逼定理讨论考虑能否找到一个考虑能否找到一个不等式？不等式？的面积的面积扇形的面积aocaobaob )2, 0(tan2121sin21 xxxx即2021-11

13、-2225)2, 0(,)0,2( xx时当) 2() 0,2(tansin xxxx)3()20(tansin xxxx由（1）式知将（1）式与（2）式结合起来，得到亦即) 1 ()2, 0(tansin xxxx2021-11-2226xxxcos1sin1 得）式去除（用时注意到当,3sin, 0sin,0 xxx )20(1sincos xxxx时因为当20 x0sin, 0coscos xxxx2021-11-2227)20(1sincos xxxxxxxcos1sin10 所以上式即从而有)20(2)2(22sin2222 xxxx2021-11-2228由夹逼定理得到令, 0 x

14、0sin1lim0 xxx1sinlim0 xxx即2021-11-2229证明证明利用夹逼定理和极限利用夹逼定理和极限ennn )11(limexxx )11 (lim先先证证明明1, xx不不妨妨设设因因为为exxx )11 (lim证证明明极极限限例例,nx 令令1 nxn则则从而从而nxn1111 2021-11-2230ennnnnnn )11()11(lim)11(lim1于于是是由由夹夹逼逼定定理理知知exxn )11(lim于是于是1)11()11()111( nxnnxnennnnnnn 11)111()111(lim)111(lim2021-11-2231exxn )11

15、(lim再再证证明明)111 ()111 ()111 ()1()11 ()11 (1 yyyyyyxyyyyx0, xx不不妨妨设设因因为为0, yxy则则令令2021-11-2232于于是是有有从从而而时时当当,1, yyxeeyyxyyyxx 1)111 (lim)111 (lim)11 (lim111exxxxxxxxx )11 (lim)11 (lim)11 (lim综上所述，我们得到综上所述，我们得到2021-11-22332.2.单调有界定理单调有界定理: :)()(lim()()(lim,)(lim,)(,()1(000000 xfxfxfxfxfxafxxxxxx 且且存存在在则则且且有有界界非非增增单单调调非非减减上上有有定定义义在在设设)()(lim()()(lim,)(