高一数学期末复习资料

1、复习指南1 留意基础和通性通法在平常的学习中，应立足教材，学好用好教材，深化地钻研教材，挖掘教材的潜力，留意防止眼高手低，偏重难题，搞题海战术，轻视基础学问和基本方法的不良倾向，当然留意基础和通性通法的同时，应留意一题多解的探究，常常利用变式训练和变式引申来提高自己的分析问题、解决问题的才能；2. 留意思维的严谨性平常学习过程中应防止只停留在“懂”上，由于听懂了不肯定会，会了不肯定对，对了不肯定美；即数学学习的五种境域：听懂会对美；我们今后要在第五种境域上下功夫，每年的高考终止，结果下来都可以发觉我们宿迁市的考生与南方的差距较大，这就是其中的一个缘由；另外我们的同学的解题的素养不够，比如仅仅一

2、点“规范答题”问题，我们老师也强调许多遍，但作为同学的你们又有几人能够听进去！期望大家仍是能够做到我常常所讲的做题的“三观”：1. 审题观2.思想方法观3.步骤清楚、层次分明观3. 留意应用意识的培育留意培育用数学的眼光观看和分析实际问题，提高数学的爱好， 增强学好数学的信心，达到培育创新精神和实践才能的目的；4. 培育学习与反思的整合建构主义学习观认为学问并不是简洁的由老师或者其他人传授给同学的，而只能由同学依据自身已有的学问、体会，主动地加以建构；学习是一个制造的过程，一个批判、选择、和存疑的过程，一个布满想象、探究和体验的过程；你不想学，老师强行的逼迫是不简洁的或者说是作用不大，俗语说“

3、强扭的瓜不甜”嘛！数学学习不但要对概念、结论和技能进行记忆，积存和仿照，而且仍要动手实践，自主探究，并且在获得学问的基础上进行反思和修正； （这也就是我们常常将让大家肯定要好好预习，养成自学的好习惯；）记得有一位中科院的教授曾经给“科学”下了一个定义：科学就是以怀疑和接纳新学问作为进 步的标准的一门学问，认真想来的确很有道理！所以我们在平常学习中要留意反思，只有这样才能使内容得到巩固，学问的得到拓展，才能得到提高，思维得到优化，创新才能得到真正的进展，期望大能够让数学反思成为我 们的自然的习惯！5. 留意平常的听课效率听课效率高不仅可以让自己深刻的懂得学问，而且事半功倍，可以省好多的时间；而有

4、些同学就认为上课时听不到什么，干脆就不听，抓紧课堂上的每一点时间做题，多做几道题心里就踏实； 这种熟悉是不科学的，想象假如上课没有用的话，国家仍开办学校干嘛？只要印刷课本就足够了，同学买了书就可以自己学习到时候参与考试就行了；想想好多东西仍是在课堂上倾听的，听听老师对问题的分析和解题技巧，老师是如何想到的，与自己预习时的想法比较；课堂上登记比较重要的东西，更重要的是跟着老师的思路，留意老师对题目的分析过程；课后宁愿花时间去整理笔记，由于整理笔记实际上是一种学问的整合和再制造！回忆课堂上老师是怎样讲的，自己在整理时有比较好的想法，第 1 页 共 17 页就登记来，抓住自己思维的火花，由于较为深刻

5、的思维火花往往是稍纵即逝的；在这里我再一次强调听课要做到“五得”听得懂.想得通记得住说得出用得上6. 留意思想方法的学习学习数学重再学习数学思想方法，它是数学学问在更高层次上的抽象和概括，它包蕴于数学学问发生、进展和应用的过程中，也是历年来高考数学命题的特点之一；不少学者认为：“传授学问”是数学的一种境域，加上“才能培育”是稍高的境域，再加上“方法渗透”是较高的境域，而再加上“提高修养（指数学文化和非智力引力的介入）”就是最高境域；作为同学肯定要深刻懂得数学的思想方法，它是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的学问和技能转化为分析问题和解决问题的才能，才能表达数学的学科特点，才能形成数

6、学素养；即使在以后我们走上社会，在工作岗位上我们的这种数学素养就会内化为自身的较深的修养，从而使得自己的气质得以升华，它对于我们今后的做人和处事有很大的指导意义，再加上我们的人文素养就可以造就自己哲学修养；高 一 数 学 必 修1 各 章 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性如：世界上最高的山(2) 元素的互异性如：由happy的字母组成的集合h,a,p,y(3) 元素的无序性 :如： a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3. 集合的表示：如： 我校的篮球队员 ， 太平洋 , 大西洋, 印度洋 , 北冰洋 (

7、1) 用拉丁字母表示集合：a= 我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n正整数集n* 或 n+整数集 z有理数集q实数集 r1） 列举法： a,b,c2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；xr| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） venn 图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合2(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例： x|x二、集合间的基本关系1. “包

8、含”关系子集= 5留意： ab 有两种可能（ 1）a 是 b 的一部分，；（ 2）a 与 b 是同一集合；第 2 页 共 17 页反之 :集合 a 不包含于集合b, 或集合 b不包含集合a, 记作 ab或 ba2“相等”关系：a=b 5 5，且 55，就 5=52实例： 设 a=x|x-1=0 b=-1,1“元素相同就两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集；aa真子集 : 假如 ab, 且 ab 那就说集合a 是集合 b 的真子集，记作 ab或 ba假如 ab, bc , 那么 ac 如 果 a b同时 ba 那 么 a=b3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 :空集是任何集合的子集，

9、空集是任何非空集合的真子集；n有 n 个元素的集合，含有2三、集合的运算个子集， 2n-1个真子集运算交集并集补集类型定由全部属于a 且属义于 b 的元素所组成 的集合 , 叫做 a,b 的由全部属于集合a 或属于集合b 的元素所组成的集合， 叫做 a,b设 s 是一个集合，a 是s 的一个子集，由 s 中全部不属于 a的元素组成的集合， 叫做 s 中子交集 记作 ab（ 读的并集 记作： ab集 a 的 补集 （或余集）作 a 交 b），即 ab= x|xa，且（读作 a 并 b），即 ab =x|xa，或记作 c s a ，即xbxb csa=x | xs,且xa韦恩ababsa图示图 1

10、图 2性质例题：aa=aa =ab=baabaabbaa=aa=aab=baababbcuac ub= c u abcuac ub= c uabac ua=uac ua=1. 以下四组对象，能构成集合的是（）a 某班全部高个子的同学b闻名的艺术家c 一切很大的书d倒数等于它自身的实数2. 集合 a ，b， c 的真子集共有个第 3 页 共 17 页3. 如集合 m=y|y=x 2-2x+1,xr,n=x|x0 ，就 m与 n 的关系是.4. 设集合 a= x 1x2 ， b= x xa，如 ab，就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40 人，化学

11、试验做得正确得有31 人，两种试验都做错得有4 人，就这两种试验都做对的有人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合22m=.7. 已知集合a=x| x+2x-8=0, b=x| x-5x+6=0, c=x|x2 -mx+m2-19=0,如 b c， ac=，求 m的值二、函数的有关概念1函数的概念：设a、b 是非空的数集，假如依据某个确定的对应关 系 f ，使对于集合a中的任意一个数x，在集合 b 中都有唯独确定的数fx和它对应， 那么就称f ：a b 为从集合a 到集合 b 的一个函数 记作： y=fx， x a其中， x 叫做自变量，x 的取值范畴a 叫做函数的定义

12、域； 与 x 的值相对应的y 值叫做函数值， 函数值的集合 fx|x a 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被开方数不小于零；(3) 对数式的真数必需大于零；(4) 指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6) 指数为零底不行以等于零，(7) 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无

13、关） ；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例22值域 :先考虑其定义域(1) 观看法(2) 配方法(3) 代换法3.函数图象学问归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , xa 中的 x为横坐标，函数值y 为纵坐标的点px ，y 的集合 c，叫做函数 y=fx,x a 的图象 c 上每一点的坐标x ，y 均满意函数关系 y=fx，反过来， 以满意 y=fx的每一组有序实数对x、y 为坐标的点 x ， y ，均在 c上 .(2) 画 法 a、 描点法： b、 图象变换法第 4 页 共 17 页常用变换方法有三种1平移变换2伸缩变换3对称变换4区间的概念（ 1）区间的

14、分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示 5映射一般地，设a、b 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对 应法就 f ，使对于集合a 中的任意一个元素x ，在集合 b中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：ab 为从集合a 到集合 b 的一个映射；记作“f （对应关系） ： a（原象）b（象）”对于映射f ： ab 来说，就应满意：(1) 集合 a 中的每一个元素， 在集合 b 中都有象， 并且象是唯独的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合b 中对应的象可以是同一个；(3) 不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象；6. 分段函数(1)

15、在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；(2) 各部分的自变量的取值情形(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu m,u=gxx a, 就 y=fgx=fxx a称为 f 、g 的复合函数；二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （ 1）增函数设函数 y=fx的定义域为i ，假如对于定义域i 内的某个区间d内的任意两个自变量x 1， x 2，当 x1<x 2 时，都有fx 1<fx2 ，那么就说 fx在区间 d 上是增函数 . 区间 d 称为 y=fx的单调增区间.假如对于区间 d 上的任意两个自变量的值 x1， x2，

16、当 x 1<x2 时， 都有 fx 1 fx 2 ，那么就说 fx 在这个区间上是减函数 . 区间 d 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2） 图象的特点假如函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3.函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法：任取 x 1， x2d，且 x1<x2； 作差 fx 1 fx 2 ； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判定差fx 1 fx 2 的正负）； 下结论（指出函数fx在给定

17、的区间d 上的单调性） 第 5 页 共 17 页(b) 图象法 从图象上看升降(c) 复合函数的单调性复合函数f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ，y=fu 的单调性亲密相关，其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间, 不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x ，都有 f x=fx，那么 fx就叫做偶函数（ 2）奇函数一般地，对于函数fx的定义域内的任意一个x ，都有 f x= fx，那么 fx就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关

18、于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤： 1 第一确定函数的定义域，并判定其是否关于原点对称； 2 确定 f x 与 fx的关系； 3 作出相应结论：如f x = fx或 fx fx = 0，就 fx是偶函数；如f x = fx或 fx fx = 0，就fx是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称，如不对称就函数是非奇非偶函数 . 如对称， 1 再依据定义判定; 2由 f-x± fx= 0 或 fx f-x=± 1 来判定 ; 3 利用定理， 或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式（ 1） . 函数的解析式是函数的

19、一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法就，二是要求出函数的定义域 .（ 2）求函数的解析式的主要方法有：1) 凑配法（ 2）待定系数法（ 3）换元法（ 4）消参法 10函数最大（小）值（定义见课本p36 页） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx在区间 a ，b 上单调递增，在区间b ， c 上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值fb；假如函数y=fx在区间 a ，b 上单调递减，在区间b ， c 上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值fb； 例题

20、：1. 求以下函数的定义域：x22 x15x1 2yy1x33x1第 6 页 共 17 页2. 设函数 f x 的定义域为 0，1 ，就函数f x 2 的定义域为 _ _3. 如函数f x1 的定义域为 2， 3 ，就函数f 2 x1 的定义域是4. 函数f xx2 x2x 11x2，如 f x3 ，就 x =2x x25. 求以下函数的值域： yx22x3 xr yx22 x3x1,2(3) yx12x4yx24x56. 已知函数f x1x24x ，求函数fx ，f 2x1的解析式7. 已知函数fx满意 2f xf x3x4，就f x =；8. 设 fx是 r 上的奇函数，且当f x 在 r

21、上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：x0, 时,f xx13 x , 就当 x,0 时f x=2yx2 x3 yx22x3yx26 x110. 判定函数 yx 31的单调性并证明你的结论11. 设函数f x1x21x 2判定它的奇偶性并且求证：f 1 xf x 其次章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念： 一般地， 假如 xn其中 n >1，且 n n * a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 ；当 n 是奇数时，n a na ，当 n 是偶数时，n an| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数

22、指数幂的意义，规定：ma nn a m a0, m, nmn * , n1 ，amn11aanma n0, m, nn * ,n10 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（ 1）rrr sa · aaa0,r , sr ；第 7 页 共 17 页rsrs（ 2） a aa0,r , sr ；rrs（ 3） aba aa0,r , sr （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地， 函数 ya x a0,且a1 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质1a>

23、;10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 r定义域 r值域 y 0值域 y 0在 r 上单调递增在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：函数图象都过定点（ 0， 1）（ 1）在a ，b 上， f x ax a0且a1) 值域是f a, f b 或f b, f a ；（ 2）如 x0 ，就 f x 1 ；fx取遍全部正数当且仅当xr ；（ 3）对于指数函数二、对数函数（一）对数f xa x a0且a1 ，总有f 1a ；1对数的概念： 一般地， 假如 a x

24、n a0, a1 ，那么数 x 叫做以a 为底 n 的对数， 记作： xlog an （ a 底数， n 真数， log a n 对数式）说明： 1留意底数的限制a0 ，且 a1 ； 2a xnlog a nx ； 3留意对数的书写格式两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数lg nlog a n； 2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln n 指数式与对数式的互化第 8 页 共 17 页幂值真数aa b nlogn b底数指数对数（二）对数的运算性质假如 a0 ，且 a1 ， m0 ， n0 ，那么： 1log a m· n log a m log a n ；

25、m 2log anlog a m log a n ；n 3log a mn log a mnr 留意：换底公式log a blog c b（ alog c a0 ，且 a1；c0，且 c1 ；b0 ）利用换底公式推导下面的结论nn（ 1） log m blogb ；（ 2） logb1ama（二）对数函数alog b a1、对数函数的概念：函数ylog ax a0 ，且 a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0， +）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意辨别；如： y2 log 2 x ， yxlog 55都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数

26、对底数的限制：2、对数函数的性质：a0 ，且 a1 a>10<a<1332.521.51 12.521.51 10.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .51 12345678定义域 x 0定义域 x 0值域为 r值域为 r在 r 上递增在 r 上递减函数图象都过定点（ 1， 0）（三）幂函数函数图象都过定点（ 1， 0）第 9 页 共 17 页1、幂函数定义： 一般地， 形如 y其中为常数2、幂函数性质归纳x ar) 的函数称为幂函数，（ 1）全部的幂函数在 （ 0，+）都有定义并且图象都过点（ 1，

27、1）；（ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0, 上是增函数 特殊地， 当1时，幂函数的图象下凸；当 0幂函数的图象上凸；1时，（ 3）0 时，幂函数的图象在区间 0, 上是减函数 在第一象限内， 当 x 从右边趋向原点时， 图象在 y 轴右方无限地靠近y 轴正半轴，当x 趋于时，图象在x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴例题：x1. 已知 a>0， a0，函数 y=a 与 y=log a-x的图象只能是2. 运算：log3 2; 24log2 3 =；1 log 5 2725 32 log 5 2 =;log 27 6410.064 37 0284 23 316 0.751=0

28、.0123. 函数 y=log1 2x2-3x+1 的递减区间为4. 如函数f xloga x0a1 在区间a,2a上的最大值是最小值的3 倍，就 a=5. 已知f xlog 1a 1x a x0且a1 ，（ 1）求f x 的定义域（ 2）求使f x 0的 x 的取值范畴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf x xd) ，把使f x0 成立的实数 x 叫做函数yf x xd 的零点；2、函数零点的意义： 函数 yf x 的零点就是方程f x0 实数根，亦即函数yf x 的图象与x 轴交点的横坐标；即：方程函数f x yf0 有实数根函数 y x 有零点f x

29、 的图象与x 轴有交点3、函数零点的求法：第 10 页 共 17 页（代数法）求方程f x0 的实数根；（几何法） 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点f x4、二次函数的零点：二次函数yax 2bxca0 （ 1），方程ax 2bxc0 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴有两个交点，二次函数有两个零点（ 2），方程ax 2bxc0 有两相等实根，二次函数的图象与 x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（ 3），方程ax 2bxc0 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点高一新课标人教版必修4 公式总结基本三角函数2、

30、2、2、2、2终边落在x 轴上的角的集合：,z.终边落在y 轴上的角的集合：,z终边落在坐标轴上的角的集合：,z 22360 度lr2弧度基本三角函数符号记s1 lr1221r 21801弧度弧度.180度忆：“一全，二正弦，三切，四余弦”180弧度倒数关系：tan sin coscot1csc1sec1正六边形对角线上对应的三角函数之积为1第 11 页 共 17 页tan21sec2三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对平方关系：2sin2cos1边对应的三角函数的平方乘积关系：1cot 2sintancsc 2cos， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积诱导公式终边相同的角的

31、三角函数值相等sin2 ksin,kzcos tan2 k2 kcos tan,kkzzsinsin.角与角关于 x轴对称cos tancostan角与角角与角关于 y轴对称关于原点对称sin cos tansin cos tansincos tansin costan角与角2关于 yx对称sin2cos2tan2cossin cotsin2cos2tan2cossin cot上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”周期问题yasinx,a0 ,0 ,t2yacosx,a0 ,0 ,t2yasinx,a0 ,0 ,tyacosxyasinx,a0 ,b,a0 ,0 ,t20 , b0

32、,tyacosxb,a0 ,0 ,b0,t2第 12 页 共 17 页ya tanx, a0 ,0 ,t.ya cotx, a0 ,0 ,tya tanx,a0 ,0 ,tya cotx,a0 ,0 ,t三角函数的性质性质ysinxycos x定义域rr值域1,1周期性221,1奇偶性奇函数偶函数单调性2k,2k22k,2k2, k23, k2z,增函数2k2kz,减函数,2k,2k, k, kz,增函数z,减函数对称中心k,0 , kzk,0 , kz 2对称轴xk, kz 2x k, kz54图534y23y12像-8-2 -6-3 /2 -4- -/2 -21o /2 -1-2-3-4-

33、53 /2x46 2 8-8-2 -6-3 /2 -4- -2 - /2o/22-1-2-3-4-543 /2x6 2 8-6性质ytan xy cot x第 13 页 共 17 页定义域x x,z2x x,z值域rr周期性奇偶性奇函数奇函数单调性k, k2, kz , 增函数2k, k, kz, 增函数对称中心k,0 , kzk, 0, kz 2对称轴无无1086图y42x-15-10-5 -3 /2 - 像-/2-2-4-6-8-10o /2 3 /2 51015怎样由 ysinx变化为 yasinxk？振幅变化：ysinxyasinx左右伸缩变化：yasinx左右平移变化yasinx上下

34、平移变化yasin xk平面对量共线定理：一般地，对于两个向量a, a0 , b,假如有一个实数, 使得ba, a0 ,就b与a是共线向量；反之假如b与a是共线向量那么又且只有一个实数,使得ba.向量的一个定理的类似推广向量共线定理：baa0推广第 14 页 共 17 页平面对量基本定理：a1 e12 e 2 ,其中e1 , e 2 为该平面内的两个不共线的向量推广a1 e12 e23 e3 ,空间向量基本定理：其中 e1, e2, e3为该空间内的三个不共面的向量一般地，设向量ax1 ,y1 , bx2 , y 2 且a0,假如a b那么x1 y2x2 y10反过来，假如x1 y2x2 y10,就a b .一般地，对于两个非零向量a, b 有a . ba b cos， 其中为两向量的夹角；22cosa . bx1 x 2y1 y 2a bx1y1x 2y2特殊的，22a .aa22a或者