高一数学必修一基本初等函数教案

1、基本初等函数一【要点精讲】1指数与对数运算（1）根式的概念：定义：如一个数的n 次方等于a n1,且nn ，就这个数称a 的 n 次方根；即如x na ，就 x 称 a 的 n 次方根 n1且nn ，1）当 n 为奇数时，a的n 次方根记作n a ；2）当 n 为偶数时，负数a 没有 n 次方根，而正数a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作n a a0性质： 1） na na ； 2）当 n 为奇数时，n a na ；3）当 n 为偶数时，n a| a |aa0；aa0*0（2）幂的有关概念规定： 1） a naaa nn ； 2） a1 a0 ；n个*3） ap1 pmq， 4） a nn

2、 a m a0, m 、 nn且 n1pa性质： 1） a ra ssa ra0,r、 sq）；2） a r sa r s a0, r、 sq）；3） ab) ra rb r a0,b0, rq）；（注）上述性质对r 、 sr 均适用；（3）对数的概念定义：假如aa0, 且a1) 的 b 次幂等于n，就是 a bn ，那么数 b 称以 a 为底 n 的对数，记作log a nb,其中 a 称对数的底， n 称真数1）以 10 为底的对数称常用对数，log 10n 记作lg n ；2）以无理数ee2.71828 为底的对数称自然对数，log e n，记作ln n ；基本性质：1）真数 n为正数（

3、负数和零无对数）；2） log a 10 ；13） log a a1 ；4）对数恒等式：a log a nn ；运算性质：假如a0, a0, m0, n0, 就1） log a mn log a mlog a n ；m2） log anlog a mlog a n ；n3） log a mn log am nr）换底公式：log a nlog m n a log m a0, a0, m0, m1, n0,1） log a blog b a1； 2）log a m bn logb ； man2指数函数与对数函数（1）指数函数：定义：函数ya x a0, 且a1 称指数函数，1）函数的定义域为r；

4、 2）函数的值域为0, ；3）当 0a1时函数为减函数，当a1 时函数为增函数；函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0， 1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当0a象向右无限接近x 轴）；1 时，图象向左无限接近x 轴，当 a1 时，图3）对于相同的aa0,且a1) ，函数 ya x 与ya x 的图象关于y 轴对称函数值的变化特点：0a1a1 x0时0 x0时y x0时yy1 ，1 ，1 x0时y x0时y x0时01 ，1 ，y1 ，2（2）对数函数：定义：函数ylog axa0,且a1 称对数函数，1）函数的定义域为0, ； 2）函数的值域为r；3）当 0a1

5、时函数为减函数，当a1 时函数为增函数；4）对数函数ylog ax 与指数函数ya x a0,且 a1) 互为反函数函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0， 1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当0a象向下无限接近y 轴）；1时，图象向上无限接近y 轴；当 a1 时，图4）对于相同的aa0,且a1) ，函数 ylog ax与ylog 1ax 的图象关于x 轴对称；函数值的变化特点：a1x1时y0 ，x1时y0 ，x0时0y1 .0a1 x1时y0 ， x1时y0 ， 0x1时y0 .（3）幂函数1）把握 5 个幂函数的图像特点2） a>0 时，幂函数在第一象限

6、内恒为增函数，a<0 时在第一象限恒为减函数3）过定点（ 1， 1）当幂函数为偶函数过（-1,1 ） , 当幂函数为奇函数时过（-1 ， -1 ）当 a>0 时过（ 0， 0）4）幂函数肯定不经过第四象限3四【典例解析】题型 1：指数运算例 1（ 1）运算： 3 3 822110. 50.00830.02 20.32 2 0.06250.25 ；3 5 49（2）化简：41a 38a 3 b2a 323 ba3 a 2；24b3223 aba3a5a3 a解：（ 1）原式 =28 31 49 221000 35042 1625 427981010000 4725142 117222

7、 ；9352102991111121（2）原式 =a 3 a 3 3112b3 3 11a 32b 3a a a 3 2111 a 3 2a32b 3 2b 3 2a 2a3 51115aa 612a 3 a 32b 3 1a 3112b 3a 6a 3aa 3a 2 ；点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时， 化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的次序；3311x2x 22例 2（ 1）已知 x 2x 23 ，求的值x2x 2311解： x

8、2x 23 ，11 x 2x 2 29 ，1 x2x9 ， xx17 ， xx1 249 ， x2x 247 ，3311又 x2x 2 x 2x 2 x11x3 7118 ，4x2x 22472333 ；x 2x 23183点评：此题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，制造条件简化运算；题型 2：对数运算（2） . 江苏省南通市2021 届高三其次次调研考试 幂函数yf x的图象经过点 2,1) ，就满意8f x 27 的 x 的值是.1答案3例 3运算（1） lg 2 2lg 2 lg 50lg 25 ；（ 2） log 3 2log 9 2log 4 3log 8 3 ；（3） lg 5

9、lg 8000lg 23 2lg 6001 lg 0.03621 lg 0.12解：（ 1）原式lg 2 21lg5lg2lg5 2lg 2lg51lg 22lg511lg 22lg52lg 2lg52 ；（2）原式 lg 2lg 2 lg3lg3 lg 2lg 2 lg3lg3lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 23lg 25lg 35；2lg 36lg 24（3）分子 = lg 533 lg 23lg2 23 lg 53lg2lg 5lg 23 ；分母 =lg 62) lg361100010lg 62lg64 ；100；3原式 =4点评：这是一组很基本的对数运算的练习

10、题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习娴熟把握运算公式、法就，以及学习数式变换的各种技巧例 4设 a 、 b 、 c 为正数，且满意222a bc（1）求证：log 1b c log1a c1 ；（2）如log 4 122ab8b c1 ， logabc a2，求 a 、 b 、 c 的值；35证明：（ 1）左边logabcloga bclog abcabc 222abablog2ab2c2a2log22abb2c2log22abc2c2log2 21；ababab解：（ 2）由log 4 1b c1 得1bc4 ， aa3abc022由 log

11、8 abc得 abc8 343由得 ba2由得 c3ab ，代入 a2b2c2 得 2 a4 a3b0 ， a0， 4a3b0由、解得a6 ， b8 ，从而 c10 ；点评：对于含对数因式的证明和求值问题，仍是以对数运算法就为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可；题型 3：指数、对数方程例 5 江西师大附中2021 届高三数学上学期期中2 xb已知定义域为r 的函数（1）求 a,b 的值；f x2 x 1是奇函数 .a（2）如对任意的tr ，不等式f t 22t f 2t 2k0 恒成立，求k 的取值范畴 .解（ 1） 由于f x 是 r 上的奇函数，所以xf 00,即1b2a10,解得 b

12、11从而有f x21 .又由f 1f 1知212，解得 a22 x 1a4a1a,2 x111（2）解法一：由（1）知f xx 1x22221由上式易知f x在 r上为减函数，又因f x 是奇函数，从而不等式f t 22tf 2t 2k 0 等价于f t 22tf 2t 2k f 2t 2k.因 f x 是 r上的减函数，由上式推得t 22t2t 2k.即对一切 tr有3t 22tk0, 从而412k10,解得 k32 x1解法二：由（ 1）知f x,2 x 12又由题设条件得2t2t1222 2tk1222022即 2 2tk 122t2t 1222t2 t122 t22tk 12t 122

13、22tk10整理得23t2t k1，因底数2>1，故3t 22tk06上式对一切tr 均成立，从而判别式412k0,解得 k1 .3例 6（ 2021 广东理 7）设 ar ，如函数yeax3 x ， xr 有大于零的极值点，就（b）a a3b a3c a13d a13【解析】f 'x3aeax ，如函数在xr上有大于零的极值点，即f 'x3aeax0有正根；当有f ' x3aeax0 成立时 , 明显有 a0 , 此时 x1 ln3 ，由 x0 我们马aa上就能得到参数a 的范畴为 a3 .点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数

14、、对数因式的一般等式或方程的形式，再来求解；题型 4：指数函数的概念与性质例 7设f x2ex 1 , x2，就f f2 的值为 （）3log x21， x2.a 0b 1c 2d 3解： c；f 2log 32 211，f f22e 0 12 ；e点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值例 8已知f log a xxx 1 a0, 且a1 试求函数f x 的单调区间；解：令log a xt ，就 x= a t ， t r；所以 ft atxa xax，（ x r）；af即由于 f x= f x ，所以 f x 为偶函数，故只需争论f x 在0 ， +）上的单调性；任取 x1 ，x2

15、，且使 0x1x2 ，就f x2 a x2f x1 a x 2 a x1ax1 a x1a x21a x1x2 a x1 x2（1）当 a>1 时，由 0x1x2 ，有 0a x1a x2， a x1 x 21 ，所以f x2 f x1 0 ，即 f x 在0 ， + 上单调递增；（2）当 0<a<1 时，由 0x1x2 ，有 0a x1a x2，a x1 x21 ，所以f x2 f x1 0 ，即 f x 在0 ， + 上单调递增；综合所述， 0 ， + 是 f x 的单调增区间， （， 0）是 f x 的单调区间；点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性

16、质都需要借助指数函数的性质来处理；特殊是分a1,0a1 两种情形来处理；7题型 5：指数函数的图像与应用例 9如函数y 1 |1 x|2m 的图象与x 轴有公共点，就m的取值范畴是（）a m 1b 1 m<0c m 1d 0<m 1解：y 1 |1 x| 1 x 12 x1，22x 1 x1画图象可知 1 m<0；答案为 b；点评：此题考察了复杂形式的指数函数的图像特点，解题的动身点仍旧是a1,0, a1 两种情形下函数ya x 的图像特点；例 10设函数f x2|x1| |x1| ,求使 f x2 2 x 的取值范畴；解：由于y2 x 是增函数，f x22 等价于 | x1

17、| x1|321) 当 x1时， | x1| x1|2 ，式恒成立；2) 当1x1 时， | x1| x1|2 x ，式化为2 x3 ，即 3x1；3) 当 x1 时， | x1| x241|2 ，式无解；综上 x 的取值范畴是3 ,；4点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为一般不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理题型 6：对数函数的概念与性质例 11（ 1）函数 ylog 2 x2 的定义域是（）a 3,b 3,c 4,d 4,（2）（ 2006 湖北）设fx lg 22x ，就 f x x2f 2 x的定义域为（）a（ 4，0）（0，4）b

18、4, 11 ， 4c 2, 11 ， 2d 4, 22 ， 4解：（ 1） d（ 2） b；点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范畴，在对数函数中只有真数大于零时才有意义；对于抽象函数的处理要留意对应法就的对应关系；例 12（ 2021 广东三校一模）设函数fx1x 22 ln 1x .(1) 求 fx 的单调区间 ;8(2) 如当 x11, ee1 时, 其中 e2.718 不等式fxm 恒成立 , 求实数 m 的取值范畴 ;(3) 试争论关于x 的方程 :fxx 2xa 在区间0,2上的根的个数.解（ 1）函数的定义域为1, fx2x112 x x2.1分x1x1由 fx0

19、 得 x0;2分由 fx0 得1x0 ,3分就增区间为0, 减区间为1,0.4分(2) 令 fx2x x20, 得 x0 , 由1 知 fx在11,0上递减 , 在0,e1 上递x1e增,6分由 f11 e12, fe1 e2e22 , 且 e 2212e2 ,8分1x1,ee1 时,fx的最大值为e22 , 故 me22 时, 不等式fxm 恒成立.9分(3) 方程 fxx 2xa, 即 x12 ln 1xa . 记 g xx12 ln 1x , 就gx121xx1 . 由 gxx10 得 x1; 由 gx0 得1x1.所 以 gx 在0,1上递减，在 1 ， 2 上递增 .而 g0=1 ，

20、 g1=2-2ln2， g2=3-2ln3， g0 g2 g110分所以，当a 1 时，方程无解；当 3-2ln3 a 1 时，方程有一个解，当 2-2ln2 a a 3-2ln3时，方程有两个解；当 a=2-2ln2时，方程有一个解；当 a 2-2ln2时，方程无解.13分字上所述， a1,22 ln 2 时，方程无解；a32 ln 3,1 或 a=2-2ln2时，方程有唯独解；a22ln 2,32 ln 3 时，方程有两个不等的解.14 分例 13当 a>1 时，函数y=log a x 和 y=1 a x 的图象只可能是9yyyyo1xao 1xbo 1xco 1xd解：当 a>

21、;1 时，函数y=log ax 的图象只能在a 和 c中选，又 a>1 时， y=1 a x 为减函数；答案： b点评：要正确识别函数图像，一是熟识各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，依据图像的性质去判定，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例 14设 a、b 是函数 y= log 2x 图象上两点 ,其横坐标分别为a 和 a+4,直线 l :x=a+2 与函数 y= log2x 图象交于点c,与直线 ab交于点 d；（1）求点 d 的坐标；（2）当 abc的面积大于1 时,求实数 a 的取值范畴解：（ 1）易知 d 为线段 ab的中点 ,因 a a, log2a ,b a+4,

22、log2 a+4 ，所以由中点公式得d a+2, log2aa4) ；（2） sabc=s 梯形 aacc+s 梯形 ccbb- s梯形 aa b b= log 2其中 a , b , c为 a, b, c 在 x 轴上的射影；aa a2 2,4由 s abc= log 2aaa2 24>1,得 0< a<22 2；点评：解题过程中用到了对数函数性质，留意底数分类来处理，依据函数的性质来处理复杂问题；题型 8：指数函数、对数函数综合问题例 15在 xoy平面上有一点列p1 a1, b1, p2 a2, b2, pn an, bn，对每个自然数n 点 pn位于函数y=2000a

23、 x 0< a<1 的图象上， 且点 p , 点 n,0 与点 n+1,0 构成一个以p 为顶点的nn10等腰三角形；(1) 求点 pn 的纵坐标bn 的表达式；(2) 如对于每个自然数n，以 bn , bn+1 , bn+2 为边长能构成一个三角形，求a 的取值范畴；*(3) 设 cn=lg bn n n , 如 a 取2 中确定的范畴内的最小整数，问数列 cn 前多少项的和最大？试说明理由11an解： 1 由题意知： an=n+2, bn=20002 ；102 函数 y=2000a x0< a<10 递减， 10对每个自然数n, 有 bn>bn+1>bn

24、+2 ；就以 bn, bn+1, bn+2 为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn +1>bn，即a 2+10a 1>0，1010解得 a< 51+2 或 a>55 1 ；55 1< a<10；3 55 1< a<10， a=7n17bn=20002 ；数列 bn 是一个递减的正数数列，10对每个自然数n 2, bn=bnbn1；于是当 bn 1 时， bn<bn1，当 bn<1 时， bn bn1，因此数列 bn 的最大项的项数n 满意不等式bn 1 且 bn+1<1，n17由 bn=2000n=20；2 1 得：

25、n 20；10点评：此题题设从函数图像入手，表达数形结合的优越性，最终仍是依据函数性质结合数列学问，以及三角形的面积解决了实际问题；例 16已知函数f xlog a axx a0, a1为常数）（1）求函数f x 的定义域；（2）如 a=2，试依据单调性定义确定函数f x 的单调性（3）如函数y=f x 是增函数，求a 的取值范畴；解：（ 1）由 axx0得xaxa 0， x 0x01xxa 2 x 2a2f x 的定义域是x 1 , ；a 2（2）如 a=2，就f xlog 2 2xx 1设 x1x2， 就42x1x1 2x2x2 2x1x 2 x1x2 x1x2 2x1x2 10f x1

26、f x2 故 f x 为增函数；11（3）设ax1x1x1 1x22aax2x2 就aax1x1ax2 x2x11x2 x1x2 ax1x2 10ax1x1ax2x2f x 是增函数，f x1 f x2即 log a ax1x1 loga ax2x2 联立、知a 1，a 1 ， + ；点评：该题属于纯粹的争论复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可题型 9：课标创新题例 17对于在区间m, n上有意义的两个函数f x 与 g x ，假如对任意的xm, n ，均有f xg x1 ，就称 f x 与 g x 在m, n上是接近的，否就称

27、f x 与 g x 在m, n 上是非接近的， 现有两个函数f1 xlog a x3a 与f 2 xlog a1a xa0, a1 ，给定区间a2, a3 ；（1）如f1 x 与f 2 x 在给定区间a2, a3 上都有意义，求a 的取值范畴；（2）争论f1 x 与f 2 x 在给定区间a2, a3 上是否是接近的；解：（ 1）两个函数f1 xloga x3a 与f 2 x1log aaxa0, a1 在给定区间a2, a3 有意义，由于函数yx3a 给定区间a2, a3 上单调递增，函数在y1给定区间axa2, a3a0上恒为正数，故有意义当且仅当a1a23a00a1 ；（2）构造函数f x

28、f1 xf 2 xlog a xa x3a ，对于函数 txa x3a 来讲，明显其在 ,2a上单调递减，在 2a, 上单调递增；且 ylog a t在其定义域内肯定是减函数由于 0a1 ，得 02a2 a212所以原函数在区间a2, a3 内单调递减，只需保证| f a| f a2 |3 | log a 41| log a 33a |1 2a |1a 3341a1a2a1a当 0a957 时，12f1 x 与f 2 x 在区间a2,a3 上是接近的；当 a95712时 ， f1x 与f2 x 在区间a2, a3 上是非接近的点评：该题属于信息赐予的题目，考生第一懂得“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行争论，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可；例 18设 x1 ， y1 ，且 2log x y2log y x30 ，求 tx24 y2 的最小值；解：令tlog x y ， x1 ， y1， t0 ；由 2