高一数学典型例题分析：数列的求和2

1、学习必备欢迎下载、.我们打败了敌人；我们把敌人打败了；专题争论：数列的求和·例题解析【 例 1】求以下数列的前n 项 和 sn：1111121212123，3233，3435，36，2 n 1332 n11 2 ， 2 4 ， 3 8 ， n2n ，；2，；11111131，1，122， 1424，2n 1解1s n= 1 12 13 12481nn 2= 1 2 31111n n 2482nn +1=2nn112 12n 11211n= 12212122s n = 33 2333 4111132 n 122232 n2= 3 + 33+ 32n-1 + 32+ 34+ 32n 13

2、1=158 1132 n 132132 n 22 131132 n 1323 先对通项求和11a n = 12412 n 112n 12111 sn= 2 2 2 1+24+n-1 2学习必备欢迎下载= 2n 111+ 2412 n-1 = 2n 2 【 例 2】求和：12 n 111+1· 21+2· 31+3· 41nn11111·515·818·113n12 1·53· 75· 92n12n313 21 3n2解11nn + 111nn111111111 sn122334nn111n1nn11111

3、22n12n + 342n12 n311111114537591 sn =12n112 n112n32 n31= 1413n 4n12 n1512n332 n1 2 n3111133n13n + 233n13n2111111111 sn =325588113n13n2111=323n2n6n4学习必备欢迎下载【 例 3】求下面数列的前n 项和：1111 1， 4，2aa 7 ，a n 1 3n 2 ，1分析将数列中的每一项拆成两个数，一个数组成以为公比的等a比数列，另一个数组成以3n2 为通项的等差数列，分别求和后再合并解设数列的通项为an，前 n 项和为 sn就a n =1an 1 3n21

4、11 sn= 1aa2an1 1 4 7 3n 2当a = 1时， sn1= n13n22 · n3n 2n21nn当a 1时， s=a 11a13n22nan1nn1aa3n21 n说明等比数列的求和问题，分q=1 与 q 1 两种情形争论【例4】设a =12 22 k 2k n*，就数列357，a1a2a3k的前 n 项之和是6n3n6n16 n1a b cd n1n1nn2357解设数列，aa，的通项为abn 2na就bn =n1231n又a= 12 2 2 n 21=nn 12n 1 6bn6=nn + 11= 6n1n + 1数列 b n 的前 n 项和 sn=b1 b2

5、bn学习必备欢迎下载111111123n 23nn= 6111n= 6116n=选a n + 1【 例 5】求在区间 a， bb a， a， b n 上分母是3 的不行约分数之和3a3a13a2解法一区间a， b上分母为3的全部分数是，3aa1，33a4 3a，315 3b，a 2， b 1，33323b1，333b它是以3为首项，以为公差的等差数列33项数为3b 3a 1，其和 s =13b 3a 1a b2其中，可约分数是a，a 1， a 2， b1其和 s=b a 1a b 2故不行约分数之和为1s s=b2 a2=a b3b 3a 1 b a1 2解法二s =3a +1313a + 2

6、+323a + 4+343a + 5+353b2+33b1321s=a3a13 a23 a43 b53 b 3 2而又有 s=ba3 b13 3 b3 b3 a3 两式相加： 2s=a b a b a b其个数为以3 为分母的分数个数减去可约分数个数即 3b a 1 b a1=2b a2s=2b aa bs=b2a2【 例 6】求以下数列的前n 项和 sn： 1a， 2a2， 3a3， nan， a 0、1；学习必备欢迎下载21， 4，9， n2，；31， 3x， 5x2， 2n 1x n-1， x 114，223n，482n解1sn=a 2a23a3 nana 0asn=a22a3 3a4

7、n 1annan+1sn asn=aa2 a3 an nan+1a 1 1a) sna11an anan 1a1sn1an 2anan 11 a2sn=1 4 9 n2a 13 a3=3a2 3a 123 13=3× 12 3× 1 1 33 23=3×22 3× 2143 33=3×32 3× 31n3 n 13=3n 123n 1 1 n 13n3=3n 23n 1把上列几个等式的左右两边分别相加，得n 1313=31 2 22 n231 2 n n= 312 2 2 32 12 22 32 n2n 2 3nn1 n2学习必备欢迎

8、下载1=n 1 3 133n n21 n132=n 3n 3n 312=n2n 3n 1613n n21 n=nn 12n 1 63 sn=1 3x 5x2 7x3 2n1x n-1xsn=x 3x2 5x3 2n3x n-1 2n 1x n两式相减，得1 xs n=1 2x1 x x2 x n-2 2n 1xn= 1 2n1x n n+12 xx n 11x1n2n1x=2 n1x1) x1xsn2n1x n+1=2n1) x n 21x1x123n4 sn = 22 22 32 n1123n2 sn2 22 32 42 n 1两式相减，得11111n2nn1sn2322222112 111

9、1n22n n 12n12n2 n 11nsn = 2n 1n22说明求形如 a n·bn 的数列的前n 项和， 如其中 a n 成等差数列， b n 成等比数列，就可采纳推导等比数列求和公式的方法，即错位相减法，此方法表达了化学习必备欢迎下载归思想【例7】设等差数列a n 的前 n项和为a n1 2s n ，且 sn = 2，n n* ，如 bn= 1n·sn，求数列 b n 的前 n 项和 tn分析求b n 的前 n 项和，应从通项bn 入手，关键在于求 a n 的前 n 项和 sn，而由已知只需求a n 的通项 an 即可解法一an 是等差数列，a n1 2sn =

10、2a1当n = 1时， a1 = 21 2解 得 a1 = 1a 2当n = 2时， a 1 a2 = 21 2解得 a 2= 3或a2= 1当n = 3时， a 1 a2 a 3a 3= 21 2，由 a 2= 3，解得 a 3= 5或a 3 =3，由 a2=1，解得a3=1又s=a n12 0，a= 1， a= 3， a= 1 舍 n2233即 a1=1， a2=3， a3=5，d=2 an=1 2n 1=2n 1sn=1 3 5 2n1=n 2 bn= 1n· sn= 1n·n2tn= 1222 3242 1 n· n2当 n 为偶数时，即n=2k， k n*tn= 12 22 32 42 2k 12 2k 2=3 7 4k 13 + 4k1· k=2= 2k 1kn n1=2当 n 为奇数时，即n=2k 1， k n*学习必备欢迎下载tn= 1222 3242 2k 12=12 2232 42 2k 122k 2 2k 2=2k 1k 2k 2=k2k 1nn1= 2ntn = 1·n n12n n *a1+ a n · n也可利用等差数列的前n项和公式sn =，求 a n 2解法二取 n = 1， 就 a= a11 212a1 = 1na1