(培优)经典讲义菱形、矩形、正方形)

1、菱形的性质及判定【知识梳理】1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且四边相等 角的性质：邻角互补，对角相等 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半3菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定：四边相等的四边形是菱形【例题精讲】板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角

2、线将菱形分成全等三角形的对数为在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图所示，在菱形ABCD中，ABC=60°，DEAC交BC的延长线于点E求证：DE=BE【例3】如图，在菱形ABCD中，A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E（1）求ABD的度数；（2）求线段BE的长【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BEAD、BFCD，垂足分别为E、F（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不及A、B重合），连接D

3、P交对角线AC于E连接BE（1）证明：APD=CBE；（2）若DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？【例5】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积【例6】如图，菱形花坛的周长为，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求两条小路的长和花坛的面积【例7】已知，菱形中，、分别是、上的点，若，求的度数【作业】1.在

4、菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm2.如图，在菱形ABCD中，BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是_3.已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（）A、20B、14C、28D、244.如图，菱形ABCD的周长是16，A=60°，则对角线BD的长度为（ ）A2 BC4D5.已知菱形ABCD中，对角线AC及BD交于点O，BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、16B、16 C、8D、86. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P

5、的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A、M（5，0），N（8，4）B、M（4，0），N（8，4）C、M（5，0），N（7，4）D、M（4，0），N（7，4）二、填空题7. 如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2第9题第8题第7题8. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC8，BD6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于cm210. （2011河北，14，3分

6、）如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为4和1，则BC第11题第10题11. 如图，在菱形ABCD中，BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是三、解答题12. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。求证：ACEACF。ADFEBC13.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（3，0）（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式14.如图所示，在菱形ABCD中，ABC 60°，DEAC交BC的延长线于点E求证：DEBE15. （2011湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，A

7、CB=30°，AB=2（1）求AC的长（2）求AOB的度数（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积板块二、菱形的判定【例1】如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是【例2】 如图，在中，平分，的中垂线交于点，交于点，求证：四边形是菱形【例3】已知：如图，平行四边形的对角线的垂直平分线及边、分别相交于、.求证：四边形是菱形.【例4】如图，在梯形纸片中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点，连结.求证：四边形是菱形【例5】如图，在中，是的中点分别作于，于，于，于相交于点求证：四边形是菱形【作业】1有一组邻边相等的是菱形

8、，对角线的四边形是菱形。 2菱形的面积为24cm2，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线长为cm，边长为cm，高为cm。 3菱形周长为20，相邻两角的比为1:2，则菱形的两对角线的长为。ABCDEF图3 4如图1所示，菱形ABCD中，AEBC，BE=EC，AE=2，BD=。ABDEFC图2ABCDE图1 5如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA，C=。6菱形对角线的平方和等于一边平方的（ ） A2倍 B3倍 C4倍 D8倍 7菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B邻角互补 C对角相等 D每条对角线平分一组对角 8如图3所示，菱形ABCD中，DEAB，D

9、FBC，E、F为垂足，AE=EB，则EDF等于（ ） A75° B60° C50° D45° 9下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（ ） A已知菱形的两条对角线 B已知菱形的一边和一个内角 C已知菱形的四条边 D已知菱形的周长和面积 10下列命题正确的是（ ） A有两组邻角相等的四边形是菱形 B有一组邻边相等的四边形是菱形 C对角线互相垂直的四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是菱形11菱形的周长为a，高为h，一条对角线长为h，则另一对角线的长可示为：。12如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：AFD=CBE。ABC

10、CDCEF13如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF/BE交AD于F，连结BF、CE，求证：四边形BECF是菱形。14如图，ABC中，ACB=90°，B的平分线交高CD于E，交AC于F，FGAB，G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。15如图，已知BD是ABC的角平分线，AEBD交BC于E，交BD于F，FAG=FAD。连结EG、ED，求证：四边形AGED为菱形。ABCDEFG16如图5所示，已知ABC中，AB=AC，D为BC中点，DEAC，DFAB，E，F为垂足，FGAC，EHAB，且交于Q，G、H为垂足，求证：四边形DEQF为菱形。ABCDEFGHQ

11、图517如图，在菱形ABCD中，B=EAF=60°，BAE=20°，求CEF的度数。ABCDEF1. 用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图若要使平行四边形ABCD成为菱形则需要添加的条件是（ ）A.ABCD B.ADBC C.ABBC D. ACBD3.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFAD，垂足分别为E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 4.

12、在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形（写出你添加的条件，不要求证明）5、如图，在平行四边形ABCD中，DAB60°，AB2AD，点 E、F分别是CD的中点，过点A作AGBD，交CB的延长线于点G求证：四边形DEBF是菱形；6. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DECA，AEBD求证：四边形AODE是菱形；矩 形知识梳理：1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性

13、质，还具有自己独特的性质： 边的性质：对边平行且相等 角的性质：四个角都是直角 对角线性质：对角线互相平分且相等 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半3矩形的判定判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形判定：有三个角是直角的四边形是矩形【例题精讲】(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行(2)矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AOB60°，AC10cm，则AB_cm，BC_cm(3)在ABC

14、中，C90°，AC5，BC3，则AB边上的中线CD_(4)矩形的对角线长为两条邻边之比是23，则矩形的周长是_(5)如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处若AFD的周长为9，ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_(6).矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线是13cm，那么矩形的周长是_【矩形的判定】【例1】如图，在四边形中，求证：四边形是矩形【例2】如图，在平行四边形中，是的中点，且，求证：四边形是矩形【例3】如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，及交于，及交于，证明：四边形是

15、矩形【例5】如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连结、求证：、如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论【例6】已知，如图，在中，是边上的高，是的外角平分线，交于，试说明四边形是矩形 【矩形的性质及应用】【例7】如图，在矩形中，点是上一点，垂足为.线段及图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。即.(写出一条线段即可)【例8】如图，在矩形中，分别是上的点，且. 求证：.【例9】如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A B C D【例10】矩形的对角线、交于，如果的周长比的周长大，则边的长是【例11】如图，矩形

16、中，对角线、交于，于，则_【例12】 如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则【例13】如图所示，在长方形中，点是边的中点，点是边的中点，及交于点若，求的度数【例14】如图，把矩形的对角线分成四段，以每一段为对角线作矩形，对应边及原矩形的边平行，设这四个小矩形的周长和为，矩形的周长为，则及的关系式【例15】如图，在矩形中，点分别在边上，若且，则阴影部分的面积为【例16】如图，矩形中，对角线相交于点，于，于，已知，且，求的长【例17】已知，矩形ABCD和点P，当点P如图位置时，求证：【例18】如图在矩形中，已知，是边上任意一点，、分别是垂足，求的值【例19】已知，如图，矩形中，于，平分交于

17、，求证：课后作业1. 若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长为 （ ）A22B26C22或26D282由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线及另一条对角线的夹角为（ ）A、22.5° B、45° C、30° D、60°3.FBEDCA如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）A、 B、 C、 D、4矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对图15如图1，宽为50 cm的矩

18、形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 （ ）（A）400 cm2（B）500cm2（C）600cm2（D）4000cm26如图，ABC中，ACB=900，点D、E分别为AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且CDF=A，求证：四边形DECF是平行四边形；7、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AFBC，求证：四边形AFCE是矩形。正方形1正方形的定义：一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形。正方形是特殊的矩形，又是特殊的菱形。2正方形的性质：正方形具有矩形和菱形的一切性质（1）边：对边平行四边相等（2）角：四个角都是直角（3）对角线：互相垂

19、直平分且相等，每一条对角线平分一组内角3正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形（2）有一个角是直角的菱形是正方形（3）对角线相互相垂直平分且相等的四边形是正方形（4）有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。【经典例题】ABCDP例1已知，如图，P是正方形ABCD内任一点将绕点B顺时针方向施转至，若PB=3cm，求的长。例2如图：已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，求证：DG=BEABCDGFE例3如图，在正方形ABCD中，E为内部一点且是正三角形，求的度数ABCDE例4如图：正方形ABCD，AE+CF=EF，求证：AEBFCD【练习】1若正方形的面积为4，则它的边长为

20、，对角线长为。2把边长为1的正方形对折n次，所得图形面积是。3边长为5的正方形的各边长比为。4已知正方形ABCD中，E是BC上的一点，DE=2，CE=1，那么正方形ABCD的面积为（） A、 B、3 C、4 D、55正方形ACEF的边AC是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF及正方形ABCD的面积之比等于（） A、1： B、：1 C、1：2 D、2：16正方形的四条边_，四个角_，两条对角线_7下列说法是否正确，并说明理由对角线相等的菱形是正方形；（ ）对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）四条边都相等的四边形是正方形；（ ）四个角相等的四边形是正方形

21、（ ）8如图：在正方形ABCD中，CF=CE，求证：AACFDGE9如图，已知锐角中，以AB、AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG连接CE、BG，交点为O，求证：（1）EC=BG；（2）ABCDEGFO8在正方形中，O对角线AB、BD的交点，过O作，交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，求EF的长。ABCDEFO9已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF求证：EAAF27题图10.正方形ABCD中，AE=CF，则四边形BEDF是菱形吗？ 请说明理由。（5） 11（5）已知：如图，AD是ABC的角平分线，DEAC及E，DFAB交AC于，请判

22、断四边形AEDF的形状，并说明理由。 28题图E 12（12）.在正方形ABCD的边上各取一点E、F、G、H，并顺次连结得到四边形EFGH。问点E、F、G、H怎样取，可使EFGH为正方形？ 设AE=a,AH=b,EH=c，求证：a2+b2=c21、如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,（1）求ACE、CAE的度数；（2）若AB=4cm，你能求出ACE的面积吗？2、 正方形中，则（）3.在ABC中，AB=CD，D是BC的中点，DEAB,DFAC,垂足分别为EF.(1).试说明：DE=DF; (2).只添加一个条件使四边形EDFA是正方形，请你写出至少两种不同的的添加方法（不

23、另外添加辅助线，无须说明理由）4. 如图所示，在正方形中，为上一点，延长至，使，连结及相交于，则下面结论错误的是（）21C5、 如图，正方形中，对角线交点为为上的一点，于，交于求证：6.为美化环境，某单位须在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划将这块空地按如下要求分成四块：（1）四块图形的形状相同，（2）四块图形的面积相同.按照上述要求，分别给出四种不同的分割方法。7. 如图，正方形的对角线相交于点，点在和上，且，连结请说明：且四边形基础知识达标训练一、精心选一选（每小题3分，共30分）1、在ABCD中，A：B：C：D的值可以是（）A1：2：3：4B1：2：2：1C2：2：1：1D2：

24、1：2：12、菱形和矩形一定都具有的性质是（）A对角线相等B对角线互相垂直C对角线互相平分D对角线互相平分且相等3、下列命题中的假命题是（）A等腰梯形在同一底边上的两个底角相等B对角线相等的四边形是等腰梯形C等腰梯形是轴对称图形D等腰梯形的对角线相等4、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（）AAOOC，OBOD BAOBOCODO，ACBDCAOOC，OBOD，ACBDDAOOCOBOD5、给出下列四个命题一组对边平行的四边形是平行四边形一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形两条对角线互相垂直的矩形是正方形顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。其中正确命题

25、的个数为（）A1个B2个C3个D4个6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（）中点中点中点ABCD7. 顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是 A等腰梯形B直角梯形 C矩形 D平行四边形8、如图：等腰梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有A 1对 B 2对 C 3对D 4对9、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是A菱形B矩形C正方形 D平行四边形10. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则该等腰梯形的面积为A 16 B 32 C 64 D 512二、耐心填一填（每小题分，共30分）11、对角线平行四

26、边形是矩形。ABDCOADBCFEABDCEABDCO12、如图已知O是ABCD的对角线交点，AC24，BD38，AD14，那么OBC的周长等于。13、在平行四边形ABCD中，CB+D,则A，D。14、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为cm。15、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为_cm。16、菱形ABCD中，A60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长cm。17、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积。18、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,AOB60o,AB8,则矩形对角线的长。19、如图3,等腰梯

27、形ABCD中，ADBC，ABDE，BC8，AB6，AD5则CDE周长。20、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出张。三、用心想一想（共40分）DACBE21、（8分）如图：在ABCD中，BAD的平分线AE交DC于E，若DAE25o，求C、B的度数。ADBC23、（8分）已知在梯形ABCD中，ADBC，ABDC，D120o,对角线CA平分BCD，且梯形的周长20，求AC。21、（8分）如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CECF，ABDCFE60oBCE及DCF全等吗？说明理由；若BEC60o，求E

28、FD。24、证明题：（8分）ABDCFE如图，ABC中ACB90o，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且CDFA，求证：四边形DECF是平行四边形。25、（8分）已知：如图所示，ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DEAC，DFAB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是试证明：这个多边形是菱形。ABDCFE参考答案1D；2C3B4B5B6B 7 D 8 C 9D 10C11相等124513A120o，D60o1422.5，12.515516281711816191520 321解：BAD2DAE2×25o50o又AB

29、CDCBAD50oADBCB180oBAD180o50o130o22解：ADBC12ADBC123又2313ADDC又ABDC得ABADDC在ADC中D120o13又BCD2360oB=BCD=60oBAD180oB290o230o则BC2AB2x AB4BC8在RtABC中AC23BCEDCF理由：因为四边形ABCD是正方形BCCD，BCD90oBCEDCF又CECFBCEDCFCECFCEFCFEFCE90oCFE又BCEDCFCFDBEC60oEFDCFDCFE60o45o15o24证明：D、E分别是AC、AB的中点DEBCACB90oCE=ABAEAECACDFACDFECA DFCE

30、 四边形DECF是平行四边形25答条件AEAF（或AD平分角BAC，等）证明：DEACDFAB四边形AEDF是平行四边形又AEAF四边形AEDF是菱形。四边形的基础训练一、选择题1平行四边形相邻的两个角的平分线所成的角是（）A锐角 B直角 C钝角 D不确定2中，则和的度数分别为（）A， B，C， D，3中的对角线，相交于点，则长度的取值范围是（）A BC D4如图1，的对角线和交于，则的周长是（）A56 B45 C51 D59已知平行四边形的周长为，相邻两边的比为1：2，则较短的边长为（）图1A B C D下列说法正确的是（）（A）有两组对边分别平行的图形是平行四边形（B）平行四边形的对角线相