角平分线的性质定理及其逆定理

1、角平分线的性质定理及其逆定理一、 基础概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范 证明步骤。（1）角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明角平分线的性质定理推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）推导过程:已知：0C平分/ MON , P是0C上任意一点，PA丄OM , PB丄ON , 垂足分别为点A、点B.求证：PA = PB.证明： PA丄 OM , PB丄 ON/ PAO = Z PBO = 90°/ OC 平分/ MON/ 1 = Z 2在厶PAO和厶P

2、BO中，PAOPBO PA= PB 几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示， OP 平分/ MON (/ 1 = Z 2), PA丄 OM , PB丄 ON , PA= PB.(2) 角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程已知：点 P是/ MON内一点，PA丄OM于A , PB丄ON于B,且PA= PB . 求证：点P在/ MON的平分线上.B)如图所示， PA丄OM ,300证明：连结0P在 Rt PAO 和 Rt PBO 中， Rt PAOB Rt PBO (HL )/ 1 = Z 2 OP 平分/ MON即点P在/ MON的

3、平分线上.几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上./ 1 = 7 2 (OP 平分/ MON )(3) 角平分线性质及判定的应用 为推导线段相等、角相等提供依据和思路; 实际生活中的应用.例：一个工厂，在公路西侧，至U公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 米在下图中标出工厂的位置，并说明理由.(4) 角平分线的尺规作图活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。步骤一：以点0为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交 于A , B两点由作图可知： 0AOB步骤二：分别以点A , B为圆心，以固定长(大于

4、AB长的一半)为 半径画弧，两弧交于点 C。A由作图可知：AC = BC步骤三：作射线0C,贝U OC就是/ AOB的平分线。由作图可知：定理，可得毛同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说 出作图的正确性。二、【典型例题】例 1.已知：如图所示，/ C=Z C'= 90°，AC = AC求证：(1)z ABC = / ABC(2) BC = BC '(要求：不用三角形全等判定).例2.如图所示，已知 ABC中，PE/ AB交BC于E，PF/ AC交BC于F, P是AD上 点，且D点到PE的距离与到C例3.如图所示，已知 ABC的角

5、平分线BM，CN相交于点P,那么AP能否平分/ BAC ? 请说明理由.由此题你能得到一个什么结论？例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系.(1) 学校距铁路的距离是多少？(2) 请写出学校所在位置的坐标.例5.如图所示，在 ABC中，/ C = 90°, AC = BC, DA平分/ CAB交BC于D,问能否 在AB上确定一点丘，使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若 不能，请说明理由.练习一一、填空题：1如图1-31， ABC中，

6、AD是BC的垂直平分线，BE平分/ ABC交AD于E, EF丄AB ,则AB = ，BF = ;2已知：如图 1-32，在 Rt ABC 中，/ C = 90° , AC = BC, BD 平分/ ABC 交 AC 于 D, DE 丄AB于E，若BC = 5,则厶DEC的周长为 .C图 1-31二、选择题：1. 如图 1-33， ABC 中，/ B = 42 ED = EF,则/ AEC的度数为（A. 60 ° B. 62 ° C. 64°2. 给出下列命题：,AD丄BC于D，E是BD上一点，EF丄AB于F，若）；D. 66°垂直于同一条直线的

7、两直线平行； 角平分线上的点到角两边的距离相等; 三角形的三条角平分线相交于一点； 全等三角形的面积相等；C其中原命题和逆命题都是真命题的共有（A. 1个B. 2个C. 3个三、解答题：如图 1-34，已知： ABC 中，/ BAC = 90° , AD 丄BC 于 D，AE 平分/ DAC，EF 丄 BC 交 AC 于 F，连 接BF.求证：BF是/ ABC的平分线.D. 4个【综合练习】已知：如图1-35， ABC中，AB = 2AC, AD平分/ 求证：DC丄AC.图 1-34BD.例题答案例 1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90°, AC = AC求

8、证：（1）Z ABC = / ABC（2） BC = BC '（要求：不用三角形全等判定）.证明：（1）vZ C=Z C'= 90°（已知）， AC丄BC, AC '丄BC '（垂直的定义）.又 AC = AC （已知），点A在/ CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）./ ABC = / ABC .（2）vZ C=Z C，/ ABC = / ABC , 180° （/ C+Z ABC ）= 180° （/ C + Z ABC ）（三角形内角和定理）. 即/ BAC = Z BAC , AC 丄 BC, AC

9、 丄 BC , BC = BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）.例2.如图所示，已知 ABC中，PE/ AB交BC于E, PF/ AC交BC于F, P是AD上 点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC，并说明理由.解：AD平分Z BAC . D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在Z EPF的平分线上. Z 1 = Z 2.又 PE/ AB ,/ 1 = Z 3.同理，Z 2=Z 4. Z 3=Z 4,二 AD 平分Z BAC .例3.如图所示，已知 ABC的角平分线BM , CN相交于点P,那么AP能否平分Z BAC ? 请说明理由.由此题你能得到一个什

10、么结论？解: AP 平分Z BAC .结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 理由：过点P分别作BC, AC , AB的垂线，垂足分别是E、F、D . BM是Z ABC的角平分线且点 P在BM 上, PD = PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理 PF= PE,a PD= PF. AP平分Z BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上） 例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系.(1) 学校距铁路的距离是多少？(2)

11、请写出学校所在位置的坐标.解：(1)v点P在公路与铁路所夹角的平分线上，点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点P到公路的距离是400m,点P (学校)到铁路的距离是400m.(2)学校所在位置的坐标是(400， 400).评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等.例5.如图所示，在 ABC中，/ C = 90°，AC = BC，DA平分/ CAB交BC于D,问能否 在AB上确定一点丘，使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若 不能，请说明理由.解：能.过点D作DE丄AB于丘，则厶BDE的周长等于AB的长.理由如下: AD 平分/ CAB，

12、DC 丄 AC，DE 丄 AB， DC = DE.在 Rt ACD 和 RtAAED 中， Rt ACD 也 RtAAED (HL). AC = AE .又 AC = BC,： AE = BC . BDE 的周长=BD + DE+ BE= BD + DC + BE = BC + BE = AE + BE = AB .1.4角平分线练习一【基础练习】一、1. AC, BD; 2. 5 . 2 . 二、1. D ; 2. A. 三、提示：证 AF = EF.【综合练习】提示：作 DE丄AB,证厶ADC ADE.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in

13、 study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken v