Li原子超精细结构研究

1、锂原子的超精细结构的理论计算 作 者：杜文忠 指导老师：董晨钟(西北师范大学物理与电子工程学院2000级乙班)摘 要本文利用全相对论框架下的多组态Dirac-Fock(MCDF)方法，在系统地考虑了电子的关联效应和弛豫效应的基础上，应用GRASP92程序包和HFS92程序计算了锂原子的1s22s组态和1s22p组态的超精细结构常量及相互作用能量，并将磁偶极矩系数A与其他理论和实验结果进行了对比研究。关键词核的自旋、磁偶极矩、电四极矩、超精细结构、MCDF1.引言原子能级结构的研究是原子物理学的基础，并且在原子物理的研究中具有非常重要的地位。由于原子核有确定的自旋角动量，这就使得原子核有了磁偶极

2、矩和电四极矩，因此原子核的自旋是原子核的重要特征之一。原子核的自旋将对原子能级结构产生一定影响，因此有必要对原子核的自旋及它对原子能级结构的影响进行系统的研究。由于原子核由中子和质子所组成，中子和质子是具有自旋为1/2的粒子，它们除有自旋外，还在核内作复杂的相对运动，因而具有相应的轨道角动量，所有这些角动量的矢量和就形成了原子核的自旋角动量。它是核的内部运动所具有的，与整个核的外部运动无关。它将与电子总角动量发生耦合，从而对原子的能级结构产生影响，形成原子能级的超精细结构。原子的超精细结构由磁偶极系数A因数和电四极系数B因数共同来体现，A因数和B因数被称为原子超精细结构常量。本文所用的MCDF

3、方法是一种在相对论理论框架下发展起来的广泛用于计算原子结构和性质的理论方法。由于原子的超精细结构的能级分裂是由电子和原子核的电磁多极力矩的相互作用引起的，因此可以利用MCDF方法来计算。在此我们利用基于MCDF方法的HFS92计算程序计算了锂(Li)原子能级的超精细结构。本文在简单的介绍了精细结构的形成、原子核的自旋、磁矩及电四极矩的基础上,通过和精细结构的比较,详细介绍了原子能级结构的超精细结构的形成。最后介绍了利用MCDF方法计算原子能级的超精细结构的计算方法,并对锂原子的计算结果进行了分析。最后将磁偶极系数与其他文献中的结果进行了对比研究,同时分析了锂原子的精细和超精细能级分裂。2理论计

4、算方法2.1原子能级的精细结构和超精细结构2.1.1 原子能级的精细结构原子处于激发态时，可以通过处于高能级的电子跃迁到低能级来退激，此时可以放出光子，即原子发光。例如，早期发现的钠的D线(其波长D=5893Å)是钠原子的价电子从3P能级跃迁到3S时发出的谱线，如图1中(a)所示。进一步研究发现，D线是由波长相差6Å的=5896Å和2=5890Å两条谱线构成。这就叫钠D线的精细结构1。精细结构是由于电子的自旋与轨道运动相互作用而产生的。电子的轨道角动量Pl与自旋角动量Ps耦合成总角动量Pj： (1)其中, , ；和分别是电子的总角动量、轨道角动量与自旋角

5、动量量子数。根据角动量耦合理论，j可取下列一系列值：j不同的能级具有不同的值。因为电子的自旋s=1/2，所以j只能取两个值。这就使原来为定值的一个能级分裂成两个具有不同j值的子能级，从而产生了光谱的精细结构。例如钠的3P能级，因,s=1/2，则分裂成j=3/2和1/2的两个能级：3P3/2和3P1/2。原来的3S能级，因，j只能取1/2值，则此能级不发生分裂。于是电子从能级3P3/2和3P1/2跃迁到3S1/2能时，就产生了D线的精细结构，如图1中(b)所示。图1、钠双D线精细结构2.1.2 原子能级的超精细结构(1)原子核的自旋 原子核的角动量，通常称为核的自旋，是原子核的重要特征之一2。实

6、际上，由于原子核由中子和质子所组成，中子和质子是具有自旋为1/2的粒子，他们除有自旋外，还在核内作复杂的相对运动，因而具有相应的轨道角动量。所有这些角动量的矢量和就形成原子核的自旋。它是核的内部运动所具有的，与核的外部运动无关。原子核自旋角动量PI的大小是： (2)I为整数或半整数，是核的自旋量子数。核自旋角动量PI在空间给定z方向的投影PIz 为： (3)叫磁量子数，它可以取2I+1个值：实际上，自旋量子数I是自旋角动量PI在z方向的投影的最大值(以为单位)。常用这个投影的最大值，即自旋量子数I来表示核的自旋的大小，如核子的自旋量子数1/2表示核子的自旋一样。例如说的自旋为1，是指I=1；的

7、自旋为3/2，是指I=3/2。(2)原子核的磁矩 原子核是一个带电的系统而且具有自旋，因此它应该具有磁矩。实验证明如电子有磁矩一样，核子也有磁矩，与质子和中子自旋相应的磁矩分别为：, 其中与分别为质子和中子的回旋磁比率，为核子的质量。如果与电子自旋磁矩相比较，对于质子应有，对于中子，因它不带电，应该有。但实验研究证明，,。因此，通常称质子和中子具有反常磁矩。与原子核的自旋PI相对应，核的磁矩为: (4)称为核的g因子，或叫核的回旋磁比率；是质子的质量。由于PI在空间给定z方向的投影有2I+1个值：所以在给定的方向的投影也有2+1个值： (5)其最大投影为： (6)式中=5.0508ergGs-

8、1=5.0508×10-27焦耳/特斯拉(J/T),称之为核磁子。因为比大1836倍，所以核磁子只有玻尔磁子的1/1836。可见，核的磁矩比原子中的电子磁矩要小的多。需要指出：通常是用核磁矩在给定Z方向投影的最大值(一般直接以表示这个最大值)来衡量核磁矩的大小，并且常以核磁子作单位。例如根据(6)式，质子和中子的磁矩分别为+2.793和-1.913。(3)原子核的电四极矩 一般认为，大多数原子核的形状是偏离与球形不大的轴对称椭球。这一点可由原子核具电四极矩得到证明。原子核有电荷Ze，这些电荷在核内的不同分布就产生不同的电势。如果核的电荷均匀分布于轴对称椭球形的核内，则它所产生电势：

9、(7)式中(x,y,z)是核内p(x,y,z)点周围体元d中的电荷密度，并假设核内电荷均匀分布，则为常数，可将它提到积分号外，积分限是原子核体积V。由于 (8)这里pl(cos)是勒让德多项式：则(7)式可写为： (9)式中第一项是单电荷的电势，即核的总电荷集中于核中心所产生的电势；第二项是偶极子的电势；第三项是四极子的电势；以后各项可以忽略。通常，定义为电偶极矩，实验和理论分析表明，原子核无电偶极矩，即；定义： (10)为核的电四极矩，常用cm2或靶恩(b)作单位，1b=10-24cm2。以上可以看到，如果原子核的电核均匀分布于轴对称椭球形的核内，则它在对称轴方向所产生的电势可以看作一个单电

10、荷电势和四极子电势之和。而四极子电势与电荷分布的形状密切相关，即原子核的形状决定电四极矩的大小。所以电四极矩成为原子核的重要特征之一。(4)原子能级的超精细结构 原子核的自旋将对原子的光谱结构产生影响，具体通过原子光谱结构的超精细结构来表现。正如电子的自旋与轨道运动相互作用产生精细结构一样，超精细结构是由于核的自旋与电子的总角动量相互作用的结果。因为核自旋比电子自旋的影响小的多，所以这种能级分裂比精细结构情形小的多。核的自旋PI与电子的总角动量Pj藕合而成的原子的总角动量PF为： (11)的大小为，F可取下列数值： (12)如果jI，F有2I+1个值；如果Ij，F有2j+1个值。不同F的能级具

11、有不同的能量。于是原来j为定值的能级又分裂成2I+1或2j+1个具有不同F值的子能级。当然子能级之间的距离，比由不同j值的能级之间的距离小的多，从而造成了原子光谱的超精细结构。例如钠的3S1/2能级，它最靠近原子核，受核的自旋影响最大，其电子的j=1/2,则F可取两个值：F=I+1/2，F=I-1/2。因此3S1/2能级分裂成具有不同F值的两个能级。3P3/2和3P1/2能级也将分裂，但它们的分裂非常小，可暂不考虑。由于3S1/2能级一分为二，则由3P1/2跃迁到3S1/2的D1线变成了双线，由3P3/2跃迁到3S1/2的D2线变成了双线。这就是超精细结构的成因。由于li和si耦合成J,所以磁

12、通密度的时间平均值与J同向，大小为： (13)由于I与J的相互作用很小，J仍保持很好的量子性，所以核磁矩的能量Hamiltonian算符为： (14)在此定义A为磁矩系数。由于这种相互作用能量一般非常小，所以超精细能级分裂和光谱线间隔也比较小。对满次壳层来说B(0)=0,而对离原子核较近的电子影响很明显，因此对半满的次壳层结构来说，磁偶极系数A是非常重要的。由于(14)式能量较小，可以认为是一个对角矩阵元的微扰，写成如下形式： (15)因此，F-1和F间的能量间隔是与F成一定比例的： (16)考虑原子核除了有磁矩外，还存在电四极矩Q，则相互作用能量应该写成如下形式34： (17)这里B与Q/J

13、(2J-1)成比例，定义B为电四极矩系数，A因数和B因数分别与I和Q相对应，因此决定I和Q的常量A因数和B因数对超精细结构是非常重要的，原子的超精细结构由磁矩和电四极矩常量A因数和B因数磁矩和电四极矩的对角元(AJ，BJ)及非对角元(AJ，J-1，BJ，J-1，BJ，J-2)共同来体现，A因数和B因数被称为原子超精细结构常量。2.2 原子超精细结构的多组态Dirac-Fock计算方法5： 原子的超精细结构能级是由电子和原子核的电磁多极力矩之间的相互作用引起的。这种相互作用的Hamiltonian能量算符可以写为： (18)T(k)和M(k)指在电子和核空间球的K级张量运算符，k=1项是磁矩作用

14、，k=2项是电四极矩作用，k越大作用力越小，常被忽略不计。对一个N电子原子来说，电子的张量运算符(原子单位)为：T(1)=-i (19)和T= (20)在上式中，是虚数单位，是精细结构常量，它是一个Dirac矩阵，I是轨道角动量运算符，C(k)可表示为：Cq(k)= (21)核张量运算符与核的磁矩和电四极矩的关系为： (22) (23)这里MI=I。超精细作用把核的I角动量和电子的J角动量耦合为总角动量：F=I+J，对角线上和非对角线上的磁矩和电四极矩的作用能量可表示为： (24) (25)式中 (26)是整个系统的耦合波函数。在Brink和Satchler文献中这样约化矩阵元6： (27)因

15、此相互作用能量可写为: (28) (29)通常A和B因数被表示为： (30) (31) (32) (33) (34)这样相互作用能量就可表示为: (35) (36) (37) (38) (39)这里、在MCDF方法中，相对论的电子波函数在jj-双重结构态函数中被扩展为： (40)结构态函数是四分量自旋轨道的乘积的总和： (41)在此n是主量子数，k是相对论的角动量量子数，由于,则。Pnk(r)和Qnk(r)是径向波函数的较大和较小部分，表示为： (42)按这样近似，则超精细结构常量可表示为 (43) (44) (45) (46) (47)这样计算被简化为jj-结构态函数的矩阵元的计算了，在此我

16、们把矩阵元约化为单粒子轨道运算，可以写为7：= (48)单粒子矩阵元可以分为一个对角矩阵元和一个径向积分 (49) (50)在(49)、(50)式中，有： (51) (52) (53) (54)3结果与讨论在这里我们利用HFS92程序计算得到了锂(Li)的超精细相互作用的结果,通过研究我们做了以下三方面的分析。3.1锂(Li)的能级精细结构分析表1列出了锂(Li)的1s22s组态和1s22p组态的精细结构能级分裂情况，以Hartrees和ev两种单位表示了不同J的能量。表1 锂(Li)的1s22s组态和1s22p组态的精细结构能级分裂LevelJ ParityHartreeseV1s22s1/

17、2+-7.4547566393-202.8543364861s22p1/2-7.3809205469-200.8451533221s22p3/2-7.3809179796-200.845083461根据表1可以看出，1s22s组态能级没有发生精细分裂，1s22p组态能级分裂为两条,这与理论结果完全一致。为了能直观的了解和表示出锂(Li)的精细结构能级，在此作出了它的1s22p组态的能级的精细结构图，如图2(1)所示。图2、锂(Li)的1s22p组态的精细结构和超精细结构能级分裂图3.2.锂(Li)的超精细结构常量A因数和B因数分析 通过计算我们得到了锂(Li)的1s22s组态和1s22p组态的

18、A因数和B因数，表2和表3分别给出了锂(Li)的1s22s组态和1s22p组态的超精细结构常量A因数和B因数。表2 锂(Li)的1s22s组态的超精细结构常量A因数和B因数J ParityJ ParityA (MHz)B (MHz)1/2 +1/2 +2.8654349544D+020.0000000000D+00表3 锂(Li)的1s22p组态的超精细结构常量A因数和B因数J ParityJ ParityA (MHz)B (MHz)1/2 1/2 4.2351352873D+010.0000000000D+003/2 1/2 -1.1896921811D+01-4.4272071894D-0

19、23/2 -3/2 -3.3714627388D+00-2.0446646025D-01下面我们将计算得到的1s22s组态和1s22p组态的超精细结构的磁偶极系数A与实验结果和其他理论结果8进行比较，如表4,表5所示。其中表4列出了1s22s组态的计算结果及其它理论和实验结果。可以看到我们的结果与其它结果相差比较大，其主要原因可能是s电子的轨道贯穿效应和其他的效应的影响。但由于时间和作者的知识水平的限制，本部分工作还有待于进一步研究。表5列出了1s22p组态的情况。可以看到，本文的计算结果基本上和其他理论和实验结果是符合的,同时发现随着理论和实验水平的不断提高，结果就与我们的结果越接近。表4

20、锂(Li)的1s22s组态的磁偶极系数A因数对比authortheoryexperimentGuan et al.Tong et al.This workBeck mann et al.Winholz et al.A1/2 (MHz)401.352401.62286.5435401.7520433401.81表5 锂(Li)的1s22p组态的磁偶极系数A因数对比authorA1/2 (MHz)A3/2 (MHz)A1/2,3/2(MHz)theoryGuan et al. 45.79295-2.9918611.87853Tong et al. 45.94890-3.1523612.0367Th

21、is work42.3514-3.3714611.8969experimentLyons et al. 46.159-3.0711.7404Orta et al. 45.914-3.05511.8233.3锂(Li)的1s22p组态的超精细相互作用能量分析通过HFS92程序可以直接计算出锂(Li)的1s22s组态和1s22p组态的超精细相互作用能量矩阵元，表6和表7给出了锂(Li)的1s22p组态下F量子数为1和2时对应的超精细相互作用能量矩阵元。表6 1s22p组态F=1时的能量矩阵元J ParityJ ParityFMatrix element (a.u.)1/2 -1/2 -1-8.04

22、58562897D-093/2 -1/2 -14.0778472487D-093/2 -3/2 -11.4013448148D-09表7 1s22p组态F=2时的能量矩阵元J ParityJ ParityF Matrix element (a.u.)1/2 -1/2 -24.8275137738D-093/2 -1/2 -25.4088500305D-093/2 -3/2 -24.0761029557D-10为了能更确切的分析和表示出超精细能级分裂情况，我们先对不同的F量子数的超精细相互作用能量矩阵元进行对角化，对角化后我们就可以得到对于不同的F量子数所对应的超精细相互作用能量。对于1s22s

23、组态，当F=1和F=2时，由于只有一个矩阵元，它就表示了锂(Li)的1s22s组态超精细相互作用能。对于1s22p组态，当F=0和F=3时，同样由于只有一个矩阵元，它就表示了J=3/2时锂(Li)的1s22p组态超精细相互作用能。因此只要对1s22p组态的F=1和F=2时的矩阵元进行对角化，就可以得到锂(Li)的1s22p组态超精细相互作用能。表8到表10列出了1s22s组态和1s22p组态在不同F值的超精细相互作用能量。表8 锂(Li)的1s22s组态时超精细相互作用能量J ParityFW(a.u.)W(eV)1/2 +1-5.44372D-08-1.48069D-061/2 +23.26

24、623D-080.88841D-06表9 锂(Li)的1s22p组态J=3/2时超精细相互作用能量J ParityFW(a.u.)W(eV)3/2 -01.88268D-095.12088D-083/2 -1-9.56255D-09-26.01013D-083/2 -28.46047D-0923.01247D-083/2 -3-1.16068D-09-3.15705D-08表10 锂(Li)的1s22p组态J=1/2时超精细相互作用能量J ParityFW(a.u.)W(eV)1/2 -12.91804D-097.93706D-081/2 -2-3.22534D-09-8.77294D-08通

25、过表8到表10可以看出，对于锂(Li)的1s22s组态，能级分裂为两条。而对于锂(Li)的1s22p组态,当J=1/2时，能级分裂为两条，当J=3/2时，能级分裂为四条，这些结果都与理论结果完全吻合。为了能够更清楚直观地表示出锂(Li)的1s22p组态的超精细能级分裂情况，我们做出了锂(Li)的1s22p组态的超精细能级分裂图(图2(2)，图2给出了锂(Li)的1s22p组态的精细和超精细能级分裂能级图，通过图2我们能够很直观地看出超精细能级分裂的情况(图2不按比例)。通过以上几个表的比较，我们可以看出超精细能级分裂要比精细能级分裂小的多。4.结论我们认为随着科学技术和实验水平的不断提高，原子

26、的超精细结构将会被越来越多的人关注，对它的计算方法也将越来越多，结构将越来越精确。因此，了解原子核的自旋对能级的影响，超精细相互作用的计算是非常有必要的。本文在对原子的自旋及超精细结构进行系统地分析的基础上，并以锂原子为例，对它的1s22s组态和1s22p组态进行了超精细相互作用的计算，并将计算结果与实验结果和其它的理论结果进行了比较。由于作者的知识水平的限制和时间关系，本文中的结果可能误差较大，但本文基本系统地介绍了原子的自旋对原子能级结构的影响及超精细结构的MCDF计算方法。致谢本文的思路构建和理论方法完全由董晨钟教授提供。在写作过程中，受到了导师和研究生丁晓彬等人的耐心指导和无私的帮助。

27、作者谨在此致以真诚的感谢！同时对原子分子物理研究所所有对作者的工作给予关心和支持的老师和同学表示感谢！同时要感谢罗维昌同学的默切配合与协作，感谢杨宁选、万建杰和蒋军同学的帮助和协作！参考文献：1褚圣麟. 原子物理学. 高等教育出版社，1979 .103119 2卢希庭. 原子核物理. 原子能出版社，2000. 9143 N.F.Ramsey,Nuclear Moments ，John Wiley, New Tork, 19534 I.I.Sobleman,Introduction to the theory of atomic Spectra ，Programon, Oxford, 1972,English translation of t