高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1.2 椭圆的简单性质课件6 北师大版选修2-1

1、1.2 椭圆的简单性质 第1课时 椭圆的简单性质 10cm8cm长方形 实例：实例：如何将一个边长分别为如何将一个边长分别为1010厘米，厘米的厘米，厘米的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？思考：思考：观察右图你会观察右图你会得到这个椭圆有什么得到这个椭圆有什么样的性质样的性质? ?axby ax byya1b1a2f1f2oxb21.1.了解椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质了解椭圆的对称性、范围、顶点、离心率等简单性质. .（重点）（重点）2.2.掌握椭圆离心率对椭圆形状的影响掌握椭圆离心率对椭圆形状的影响. .（难点）（难点）3.3.能用椭圆的简单性

2、质求椭圆标准方程能用椭圆的简单性质求椭圆标准方程. .（难点）（难点）思考思考1 1 如何根据两点的坐标判断两点是否关于如何根据两点的坐标判断两点是否关于x x轴，轴，y y轴，原点对称？轴，原点对称？提示：提示：若两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则若两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，则两点关于两点关于x x轴对称；轴对称；若两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，则两点关若两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，则两点关于于y y轴对称；轴对称；若两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，则若两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，则两点关于原点对称两点关于原点对称. .探究一探究一 椭圆的

3、对称性椭圆的对称性yxop（x，y）p3（-x，-y）p1（-x，y）p2（x，-y）) 0( 12222babyax结论：椭圆关于结论：椭圆关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称. .从图形上分析从图形上分析: :对称性：对称性：椭圆椭圆 是以是以x x轴、轴、y y轴为对称轴的轴为对称轴的_图形，且是以原点为对称中心的图形，且是以原点为对称中心的_图形，这个对称中心称为椭圆的中心图形，这个对称中心称为椭圆的中心. .222210()xyabab轴对称轴对称中心对称中心对称思考思考2 2 点点p(x,y)是椭圆上的任意一点，那么是椭圆上的任意一点，那么x,y能取能取任意实数吗？为什

4、么？任意实数吗？为什么？提示：提示：不可以取任意实数不可以取任意实数. .如图，椭圆上的点都位于如图，椭圆上的点都位于图中的矩形框及其内部图中的矩形框及其内部椭圆上所有的点都位于直线椭圆上所有的点都位于直线x=a, y=b围成的矩形内，围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足所以椭圆上点的坐标满足xa，yb.22221,1|,|xyxaybab由得：yb1 ob2a1a2f1f2探究二探究二 椭圆的范围椭圆的范围思考思考3 3 椭圆与对称轴有几个交点，如何求出其交椭圆与对称轴有几个交点，如何求出其交点坐标？点坐标？提示：提示：有四个交点；有四个交点；通过设通过设x=0 x=0，可求得与，可求得与y

5、 y轴的交点；轴的交点； 设设y=0y=0，可求得与，可求得与x x轴的交点轴的交点. .探究三探究三 椭圆的顶点椭圆的顶点 oyb2b1a1a2f1f2cab(0,b)(0,-b)(a，0)(-a，0)0( 12222babyax令令 y=0y=0，得，得 x=x=？，说明椭圆与？，说明椭圆与x x轴的交点轴的交点. .令令 x=0 x=0，得，得 y=y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与y y轴的交点轴的交点. .顶点坐标顶点坐标_长轴长轴:_:_短轴：短轴：_短半轴长短半轴长长半轴长长半轴长222bac线段线段a a1 1a a2 2线段线段b b1 1b b2 2(-a ,0),(a ,0

6、),(0,-b),(0,b)(-a ,0),(a ,0),(0,-b),(0,b)x思考思考4 4：若要求你画一个椭圆的草图，需先确定若要求你画一个椭圆的草图，需先确定哪些量才能画出椭圆的草图？哪些量才能画出椭圆的草图？提示：提示：首先确定椭圆的范围，可利用椭圆的四个首先确定椭圆的范围，可利用椭圆的四个顶点，及焦点位置用弧线画出椭圆的草图顶点，及焦点位置用弧线画出椭圆的草图. .思考思考5 5 观察下图思考椭圆的观察下图思考椭圆的“扁的程度扁的程度”与哪些量与哪些量有关？能不能用一个量来表示其有关？能不能用一个量来表示其“扁的程度扁的程度”？提示：提示：由图形可知，椭圆由图形可知，椭圆中，中，

7、a,ca,c的大小可反映的大小可反映椭圆的椭圆的“扁的程度扁的程度”；可以用离心率来表示可以用离心率来表示. .oxy探究四探究四 椭圆的离心率椭圆的离心率)0( 12222babyax（1 1）e e 越接近越接近1 1，c c就越接近就越接近a a，从而，从而b b就越小，就越小， 椭圆就越扁椭圆就越扁. .（2 2）e e 越接近越接近0,c0,c就越接近就越接近0 0，从而，从而b b就越大，椭圆就越大，椭圆就越圆就越圆. .（3 3）e e与与a,ba,b的关系的关系: :离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比，用椭圆的焦距与长轴长度的比，用e e表示，即表示，即.ca22222c

8、abbe1.aaae=对离心率的两点说明：对离心率的两点说明：1.1.范围：范围：因为因为ac0 ac0 所以所以0e1.0e1.2.2.离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：【提升总结提升总结】椭圆的几何性质椭圆的几何性质焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上图形图形标准方程标准方程对称性对称性2222xy1(ab0)ab2222yx1(ab0)ab对称轴对称轴_，对称中心，对称中心_x轴和轴和y轴轴(0(0，0)0)焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上范围范围顶点顶点轴长轴长x_,y_x_,y_a1(-a,0)

9、，a2(a,0)，b1(0,-b)，b2(0,b)a1(0,-a)，a2(0,a)，b1(-b,0)，b2(b,0)短轴长短轴长=_=_，长轴长，长轴长=_=_-a,a-a,a-b,b-b,b-b,b-b,b-a,a-a,a2b2b2a2a焦点的位置焦点的位置焦点在焦点在x x轴上轴上焦点在焦点在y y轴上轴上焦点焦点焦距焦距离心率离心率f1(-c,0)，f2(c,0)f1(0，-c)，f2(0，c)f1f2=2cce(0e1)a22:925225.xy例 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标2222121212:1.5,3,4259,210,26;4;( 4,0),(4,0);5

10、( 5,0),(5,0),(0, 3),(0 3):,.xyabcababceffaaabb将已知方程化为椭圆的标准方程则因此 椭圆的长轴和短轴的长分别是离心率是两个焦点分别是椭圆的四个顶点分别是解【变式练习变式练习】求椭圆求椭圆 的长轴长、短轴长、焦点和顶点的长轴长、短轴长、焦点和顶点坐标，并画出草图坐标，并画出草图. .22xy1169解析：解析：由椭圆由椭圆 得得a2=16,b2=9从而得从而得a=4,b=3,c2=a2-b2=7,得得c= 所以长轴长为所以长轴长为2a=8,短轴长短轴长2b=6，焦，焦点坐标为点坐标为f1(- 0)，f2( 0),顶点坐标为顶点坐标为a1(-4,0)，a

11、2(4,0)，b1(0,-3)，b2(0,3).草图如图所示：草图如图所示：22xy11697,7,7,它的长轴长是：它的长轴长是： . .短轴长是：短轴长是： . .焦距是：焦距是： . .离心率等于：离心率等于： . .焦点坐标是：焦点坐标是： . .顶点坐标是：顶点坐标是： . . 外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于： . . 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 622yx1.61其标准方程是22a6,b1,cab5则1.1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为6x6x2 2+y+y2 2=6.=6.提示：提示：2.(20112.(2011新课标全国卷新课标全国卷) )

12、椭圆椭圆 的离心率的离心率为为( )( )a. b. c. d. a. b. c. d. 22xy116813123322提示：提示：通过方程确定通过方程确定a a，c c的值，从而得出离心率的值，从而得出离心率e.e.c1682e.a42d d22221.14 ,44444xacy 2 2所所求求椭椭圆圆的的标标解解析析: :c c= =1 10 0, ,2 2a a= =2 24 4, ,a a= =1 12 2准准方方程程, ,为为b b3.3.已知椭圆的焦点已知椭圆的焦点f f1 1，f f2 2分别为分别为(-10,0),(10,0),(-10,0),(10,0),且椭且椭圆上的动点

13、圆上的动点m m到两焦点到两焦点f f1 1，f f2 2的距离之和等于的距离之和等于24,24,则椭则椭圆的标准方程为圆的标准方程为_._.22114444xy4.4.求椭圆求椭圆16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400的长轴和短轴的长、离心率、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标焦点和顶点的坐标解析：解析：把已知方程化成标准方程把已知方程化成标准方程所以所以a=5,b=4,c= =3.a=5,b=4,c= =3.因此，椭圆的长轴长和短轴长分别为因此，椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=102a=10，2b=8,2b=8,离心率离心率 两个焦点分别为两个焦点分别为(-3,0)(-3,0)，(3,0),(3,0),椭圆的四个顶点是椭圆的四个顶点是(-5,0)(-5,0)，(5,0),(0,-4),(0,4).(5,0),(0,