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文档简介
1、 声学基础(南京大学出版社)习题 11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 f,质量为 m,求它的弹性系数。12 M mK m解:由公式 fo =得:K m = (2f ) m21-2设有一质量 M m用长为l的细绳铅直悬挂着,绳子一端固定构成一单摆,如图所示,假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问:(1)当这一质点被拉离平衡位置 时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示?(2)当外力去掉后,质点 M m在此力作用下在平衡位置附近产生振动,它的振动频率应如何表示?(答: f0 = 21g, g为重力加速度)l图习题12解:(1)如右图所示,对 M m作受力分析:它
2、受重力 M mg,方向竖直向下;受沿绳方向的拉力T,这两力的合力 F就是小球摆动时的恢复力,方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为,则sin =l 受力分析可得: F = M mg sin = M mg l(2)外力去掉后(上述拉力去掉后),小球在 F作用下在平衡位置附近产生摆动,加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知: F = M m d2dt2则 M m d = M mg l2即d2 + = 0,gdt2dt 2lgl即 f0 = 12g, 02=这就是小球产生的振动频率。l1-3有一长为 l的细绳,以张力T固定在两端,设在位置 x0处,挂着一质量M m,如图所示
3、,试问:(1)当质量被垂直拉离平衡位置 时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样图习题 1-3表示?(2)当外力去掉后,质量 M m在此恢复力作用下产生振动,它的振动频率应如何表示?(3)当质量置于哪一位置时,振动频率最低?解:首先对 M m进行受力分析,见右图,l x0x0Fx = TT= 02(l x0)2+2x2+0(Qx0, x02+ 2 x02,(l x0)2+ 2 (l x0)2。)Fy = T+ T(l x0)2+2x20+2l x0+ T x0 TTlx0(l x0)= 可见质量 M m受力可等效为一个质点振动系统,质量 M = M m,弹性系数Tlk = x0(l x0)
4、。Tl(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生,大小为 F = x0(l x0),方向为竖直向下。(2)振动频率为 = K =Tlx0(l x0)M m。M(3)对分析可得,当 x0 = l时,系统的振动频率最低。21-4设有一长为l的细绳,它以张力T固定在两端,如图所示。设在绳的 x0位置处悬有一质量为 M的重物。求该系统的固有频率。提示:当悬有 M时,绳子向下产生静位移0以保持力的平衡,并假定 M离平衡位置0的振动位移很小,满足 << 0条件。图习题 142T cos = Mg4 = Mgcos = 解:如右图所示,受力分析可得001ll22T 0 + = M d2又 <
5、;<0,T ' T,可得振动方程为ldt 22M d2+ 4T = 4T 0l l即dt2 f = 214T l =12 0M 2 0Mg1=gM1-5有一质点振动系统,已知其初位移为0,初速度为零,试求其振动位移、速度和能量。解:设振动位移 = a cos(0t ),速度表达式为v = 0 a sin(0t )。由于 t=0 = 0,v t=0 = 0,代入上面两式计算可得: = 0 cos0t;v = 0 0 sin0t。振动能量 E = 1 M mv= 1 M m02 2。a22a21-6有一质点振动系统,已知其初位移为0,初速度为v0,试求其振动位移、速度、和能量。解:如
6、右图所示为一质点振动系统,弹簧的弹性系数为 Km,质量为 M m,取正方向沿 x轴,位移为。d22 +0= K则质点自由振动方程为2 = 0,(其中02mm,)dtM解得 =a cos(0t 0),v = ddt=0a sin(0t 0 + ) =0a cos(0t 0 + )210 =00 + v02 2 20 =a cos0a当 t=0=0,v t=0= v0时, v= 0a cos(0 )v0000 = arctan02质点振动位移为 = 1 00+ v02cos(0t arctanv000)220 v0+ )质点振动速度为v = 02 20+ v02cos( t arctan 0002
7、质点振动的能量为 E = 1 M mv= 1 M m(00 + v0 )2 2 222a21-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加 = sint + 1 sin 2t,试问:2(1)在什么时候位移最大?(2)在什么时候速度最大?解: = sint + 1 sin 2t,Q2 d = cost + cos2tdtd2= sint 22 2sin 2t。dt2令 ddt= 0,得:t = 2k ± 或t = 2k ±,3经检验后得:t = 2k ± 3时,位移最大。令 d = 0,得: t = k或t = 2k ± arccos
8、( 1),2dt24经检验后得:t = 2k时,速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示 =1 cos(t +1)+2 cos(t +2) =a cos(t +)试证明+ 212 cos(2 1), = arctan11csoins1 +2 sin2其中a = 1+22 21 +2 cos2证明: =1 cos(t +1)+2 cos(t +2)=1 cost cos1 1 sint sin1 +2 cost cos2 2 sint sin2= cost(1 cos1 +2 cos2)sint(1 sin1 +2 sin2)设 A =1 cos1 +2 cos2, B = (1 si
9、n1 +2 sin2) 则 = Acost + Bsint = A2+ B2cos(t +)(其中 = arctan( B))A又 A2+ B2=1+1=1=1 +22cos21 +21 +2+ 212(cos1 cos2 + sin1 sin2)+ 212 cos(2 1)2cos22 + 212 cos1 cos22sin22sin22 + 212 sin1 sin22+2222又 = arctan( B) = arctan(1 cos1 +2 cos21 sin1 +2 sin2)A令 a = A+ B = 1 +2 + 212 cos(2 1)2 2 2 2则 =a cos(t +)1
10、-9假设一质点振动系统的位移由下式表示 = 1 cos w1t + 2 cos w2t( w2 > w1 )试证明 = a cos(w1t +), sin(wt)其中 a = 12+ 2 2 + 21 2 cos(wt), + arctan 1 + 22cos(wt) ,w = w1 w2.解:因为位移是矢量,故可以用矢量图来表示。由余弦定理知, a = 12+ 22 + 21 2 cos(w2t w1t)= 12 + 2 2 + 21 2 cos(wt)其中,w = w2 w1。由三角形面积知,11 2 sin wt = 1 1 a sin22sin = 2 sin wt得 a 2 s
11、in wt 2 sin 2 sin wt得tg = a222wt=(1 + 2 coswt)2 sin wt= 1 + 2 coswt2 sin wt = 1 + 2 coswt2故即可证。1-10有一质点振动系统,其固有频率 f0为已知,而质量 Mm与弹性系数Km待求,现设法在此质量Mm上附加一已知质量m,并测得由此而引起的弹簧伸长1,于是系统的质量和弹性系数都可求得,试证明之.证由胡克定理得mgKm1 Kmmg/1 12 M mK m由质点振动系统固有频率的表达式 f0 =得,K mmgM m = 4f0 2 = 4.122f02纵上所述,系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一
12、质点振动系统,其固有频率f0为已知,而质量Mm与弹性系数待求,现设法在此质量Mm上附加一质量m,并测得由此而引起的系统固有频率变为f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得,试证明之。12 M mK m解:由由f0 =得 K m = (2f0) M m21K mf0 =(2 f )2(M m + m ,)得 K m = 02 M m + m22, K m = 42mf0 2 f02f0 2 f02mf0联立两式,求得 M m =f0 2 f01-12设有如图 1-2-3和图 1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统,试分别写出它们的动力学方程,并求出它们的等效弹性系数。 图 1-2-3图 1-2-4
13、解:串接时,动力学方程为 M m + Kd2K1mK 2m1m + K 2m = 0,等效弹性系数为dt 2K KK = K1m + K 2m。1m2m并接时,动力学方程为 M m + (K1m + K 2m ) = 0,等效弹性系数为d2dt 2K = K1m + K 2m。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验,弹簧压缩 0100 mm可称 01kg。宇航员取得一块岩石,利用此秤从刻度上读得为 0.4 kg,然后,使它振动一下,测得其振动周期为 1 s,试问月球表面的重力加速度是多少?而该岩石的实际质量是多少?解:设该岩石的实际质量为 M,地球表
14、面的重力加速度为 g = 9.8m s2,月球表面的重力加速度为 g由虎克定律知 FM = Kx,又 FM = Mg则 K = Mg = 1× g =10gx0.1T = 2 = 2MK =1则 M = 104g2 = 10×9.8 2.5kg420xx =1则 x = 0.04m又0.4Mg = Kx则 g = Kx = 4 2 ×0.04 1.58m s2M故月球表面的重力加速度约为1.58m s,而该岩石的实际质量约为 2.5kg。2 1-14试求证acost + acos(t + )+ acos(t + 2 )+L+ acos(t + (n1) )sin
15、n(n1) 2= a sin2 cos t +2ae jt + ae j(t+ ) + ae j(t+2 ) +L+ ae j(t+(n1) )证= ae jt (1+ e j +)1 e jn1 e jjt 1 cosn jsin n= ae= ae jt1 cos jsin2 nsin n sin n jcos n2sin jsin n= ae jt2222= ae jtsinsin jcos2sin22 jsin222sin nsin nsin n j( n )j n1n1 e222 e= a2 e2j(t+ )= ae jt= ae jt22sin2 j(sinsin1 )e2222同
16、时取上式的实部,结论即可得证。1-15有一弹簧 K m在它上面加一重物 M m,构成一振动系统,其固有频率为f0,(1)假设要求固有频率比原来降低一半,试问应该添加几只相同的弹簧,并怎样联接?(2)假设重物要加重一倍,而要求固有频率 f0不变,试问应该添加几只相同的弹簧,并怎样联接?12 M mK m解:固有频率 fo =。f0K m4(1) f0 2K m ,故应该另外串接三根相同的弹簧; M m2M m(2)K m 2K m,故应该另外并接一根相同的弹簧。f0 f0 1-16有一直径为 d的纸盆扬声器,低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为 M m,弹性系数为 Km。试
17、求该扬声器的固有频率。解:该扬声器的固有频率为 f0 = 1Km2 M m。1-17原先有一个 0.5的质量悬挂在无质量的弹簧上,弹簧处于静态平衡中,后来又将一个0.2的质量附加在其上面,这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后,已知这0.5质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍,试计算:(1)这一系统的力学参数Km,Rm,f0;(2)当0.2的附加质量突然拿掉时,系统所具有的能量;(3)在经过1s后,系统具有的平均能量。解:(1)由胡克定理知,Kmmg/所以Km0.2×9.8/0.04=49N/me = 1/ e = 1Rm2M m故 = Rm = 1N s / m
18、1249 1 = 1.57Hz2w0' = w0 f0'=0.5(2)系统所具有的能量 E = 1 K m= 1 × 49× 0.04= 0.0392J2222(3)平均能量 E = 12 K m0 2e2t = 5.31×103J1-18试求当力学品质因素 Qm 0.5时,质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 = 0,v = v0,试讨论解的结果。解:系统的振动方程为:d2dt2 + Rm dtd + K = 0M mmRm2M m进一步可转化为,设 =, d2+ 2 d +2 = 0dt2dt设: = eit于是方程可化为:(0+ 2 j +2
19、2)e jt = 00解得: = j( ± 22) = e( ± 202 )t方程一般解可写成: = et (Ae 202t + Be 22t)0Q存在初始条件: t=0= 0,v t=0= v0代入方程计算得:v0v0A = , B =2 2022 202 202t 22t)0解的结果为:e t (Ae = +Bev0v0其中 A = , B =。2 2022 2021-19有一质点振动系统,其固有频率为 f1,如果已知外力的频率为 f2,试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解:质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 K,质量抗为M MM已知 f0 = 50Hz, f
20、 = 300Hz202 = 4 2 f022 = (50)2(300)2 = 1则 (K) (M M )12 KMM M=M42 f361-20有一质量为 0.4kg的重物悬挂在质量为 0.3kg,弹性系数为 150N/m的弹簧上,试问:(1)这系统的固有频率为多少? (2)如果系统中引入 5kg/s的力阻,则系统的固有频率变为多少?(3)当外力频率为多少时,该系统质点位移振幅为最大?(4)相应的速度与加速度共振频率为多少?12 M m + M s /3 2 0.4 + 0.3/3K m1150解:(1)考虑弹簧的质量,f0 = 2.76Hz .(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统
21、,但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.Rm52× 0.5 =' = 5, f '121150=022= 52= 2.64Hz .2 0.4 + 0.3/32M m0(3)品质因素Qm = 'M m=16.58× 0.5 = 1.66,0Rm512Qm 2位移共振频率: f r = f0'1= 2.39Hz .(4)速度共振频率: f r = f0'= 2.64Hz,12Qm 2加速度共振频率: f r = Qm f0'1= 2.92Hz .1-21有一质点振动系统被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时,系
22、统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于解:系统每个周期损耗的能量2。QmE = WFT = 1 RmvT2a21 Rmva= 212 M mva22T=EERmfM m,发生速度共振时, f = f0。Rmf0M m20M mRm=2。QE= Em1-22试证明:(1)质点作强迫振动时,产生最大的平均损耗功率的频率就 等于系统的无阻尼固有频率 f0;(2)假定 f1与 f2为在 f0两侧,其平均损耗功率f0 f1比 f0下降一半时所对应的两个频率,则有Qm = f2证明:(1)平均损耗功率为.1WRdt = 1 RmvTWR = T质点强迫振动时的速度振幅为2a( Rm为力阻,va为速度振幅
23、)20FaQmzva = 0M m,( Fa为外力振幅,0为固有频z2+ (z21)2Q2m率, M m为质量,Qm为力学品质因素,频率比 z = = f)f00当 z=1即 f = f0时,发生速度共振,va取最大值,产生最大的平均损耗功率。(2) WR = 1 Rmv2a2W R max = 1 Rmv 1 RmFa2Q2m2a max2202M m2WR = 1W R max则 1 Rmv 1 ×( 1 RmFa2Q2F2 2Q2(1)2am2 )即 2va2a m222202M m02M mFaQmz把va = 0M m,带入式(1),则 z2= (z21)2Q2m(2)z2
24、+ (z21)2Q2m由式(2)得 z = (z21)Q解得 z = 1± 1+ 4Q2m取 z1 = 1+ 1+ 4Q2mm2Qm2Qmz = (z则 z2 z1 = 1即 f21)Qm解得 z = 1± 1+ 4Q2Qm2m取 z2 = 1+ 1+ 4Q2m2Qm2f1=f2 f1f0=1Qf0 f0Qmmf0 f1 Qm = f21-23有一质量为 0.4的重物悬挂在质量可以忽略,弹性系数为160N/m的弹簧上,设系统的力阻为2N·s/m,作用在重物上的外力为 FF = 5cos8tN。 (1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率;(2)
25、假设系统发生速度共振,试问这时外力频率等于多少?如果外力振幅仍为 5N,那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少?解:(1)由强迫振动方程 M m d 2dt2 + Rm dtd + K m = FF,得0.4 d2+ 2 d +160 = 5cos8tdt2dtFa则位移振幅 a = 0.0369m(K m w2M m )2 + w2Rm 2速度振幅va = w a = 0.296m / s加速度振幅 aa = w a = 2.364m / s22平均损耗功率 P = 1 Rmva 2 = 0.0876(w)212 RmK m ( R) = 3.158Hzm22M(2)
26、速度共振时 f r = f0'=mFa则位移振幅 a = 0.126m(K m w2M m )2 + w2Rm 2速度振幅va = w a = 2.495m / s加速度振幅 aa = w a = 49.6m / s22平均损耗功率 P = 1 Rmva 2 = 6.225(w)21-24试求出图 1-4-1所示单振子系统,在t = 0, = v = 0初始条件下,强迫振动位移解的表示式,并分别讨论 = 0与 0两种情形下,当 0时解的结果。解:对于强迫振动,解的形式为: = 0et cos('0t 0) + a cos(t ) Fa, =0 + 其中 = Z2。am初始条件:
27、 = 0,v = 0,代入得: 0 cos0 + a cos = 0 0 cos0 +'0 0 sin0 + a sin = 0解得: a' 0 = (cos) +(sin)2 2 2 + 2 cos sin +0,2(cos)20'0cos0 = arccos2(cos)2+ (sin)2 2 + 2 cos sin +0'2(cos)2令G = 2(cos)2+(sin)2+ 2 cos sin +0,2(cos)2得: = a'2 Get cos(0't 0) + a cos(t )。0当 = 0时, Rm = 0,0 = arctan X
28、Rmm = , =0 + ,= ,'0220 = , 0 = a,2 = a cos(0t + ) + a cos(t )2= a (sin0t + cost)。当 0时, a ,达到位移共振。2 11-25有一单振子系统,设在其质量块上受到外力 Ff = sin 0t的作用,试2求其稳态振动的位移振幅。解:此单振子系统的强迫振动方程为M m d + Rm ddt + Km = FF (t) = sin22(10t) = cos0t1 12dt22 2 M m d + Rm ddt + Km = 122(1)则dt2M m d + Rm ddt + Km = 1 cos0t2(2)dt
29、221由式(1)得 =2Kmj 12令 =Fe jt代入式(2)得 F =Km0 R + j(0M m )0m12120Rm则F =12Km0 R2m+ (0M m )2012Km 20Rm1 A =1-26试求如图所示振动系统,质量块 M的稳态位移表示式.K1,R1K2,R2MFaejwt解:对质量块进行受力分析,可得质量块 M的运动方程为:M&&+ (R1 + R2)& + (K1 + K 2) = Fae jwt该方程式稳态解的一般形式为 = ae jwt,将其代入上式可得:j( +0 )Fa a =K1 + K 2 ) =| a |e2jw(R1 + R2) +
30、 j(M K + K 2M 1Fa其中| a |=,0 = arctan2.R1 + R2 (R1 + R2)2+ M K + K 21故质量块的稳态位移表示式可以写为: =| a | cos(wt 0) .21-27设有如图所示的耦合振动系统,有一外力 F1 = Fae jt作用于质量 M1上。M1的振动通过耦合弹簧 K12引起 M 2也随之振动,设 M1和 M 2的振动位移与振动图 1-4-1速度分别为1, v1与 2,v1。试分别写出 M1和 M 2的振动方程,并求解方程而证明当稳态振动时Z 2 + Z12+ (Z1 + Z 2)Z12Z12+ (Z1 + Z 2)Z12v1 =F1与v
31、2 =F1。1Z Z 2Z1Z 2其中K1Z1 = j(M1 ) + R1,Z 2 = j(M 2 K2 ) + R2,jK12Z12 = 。图习题 1-27解:对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程:M1 1 + R1 ddt1 + K11 + K12(1 2) = F1d2dt 2M 2 2 + R2d2d 2dt+ K 2 2 + K12( 2 1) = 0dt 2设:1 = Ae jt, 2 = Be jtv1 =V1e jt,v2 =V2e jt于是方程可化为: A(M 12+ jR1 + K1 + K12) BK12 = FaB(M 22+ jR2 + K 2 + K12) A
32、K12 = 0设:Z1 = j(M1 ) + R1, Z 2 = j(M 2 K2 ) + R2, Z12 = K1jK12。对上面的两个方程整理并求解可得Z 2 + Z12+ (Z1 + Z 2)Z12v1 =v2 =F1F1Z1Z 2Z12Z1Z 2+ (Z1 + Z 2)Z121-28有一所谓压差式传声器,已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为:Fa = Apa,其中 A为常数, pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数,如果传声器采用电动换能方式(动圈式),并要求在一较宽的频率范围内,传声器产生均匀的开路电压输出,试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么?解:
33、压差式传声器产生的作用力振幅为 Fa = Apa,其中 A, p a为常数,则Fa随变化。电动换能方式传声器,其开路电压输出为 E = Blv,要使 E均匀恒定,则要v恒定FaAPa系统处在质量控制区时 v M=,此时 va与频率无关,故amM m在一较宽的频率范围内,传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器,如果采用静电换能方式(电容式),其他要求与上题相同,试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么? 解:传声器开路输出电压 E与振膜位移有如下关系:E = E0DQ只有在力阻控制区,FaApa = Rm = Rm,即在此控制区,输出电压 E与频率无关。传声
34、器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器,如果在面积为 S0的振膜前面加一声号筒,如图所示,已知在此情况下,振膜的辐射阻变为 Rr = r0C0S0(参见§5.5)。试问对这种扬声器,欲在较宽的频率范围内,在对频率为恒定的外力作用下,产生均匀的声功率,其振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么?解:动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 W = 1 Rrva2212 r0C0S0va2其中 r0,C0,S0均为常数,要使W均匀,则va应不受的W影响。故振2动系统应工作在力阻控制区,此时va Fa(其中 Fa为频率恒定的外力,Rm也恒Rm定)。1-31有一如图所示
35、的供测试用动圈式振动台,台面 M m由弹簧 K m支撑着,现欲在较宽的频率范围内,在音圈上施加对频率恒定的电流时,能使台面 M m产生均匀的加速度,试问其振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么?图习题 1-31解:音圈通以 I电流时,在磁场下产生电动力 F = BIL,由 F = M ma可见, FaM m只有在质量控制区 a 时,产生的加速度与频率无关,是均匀的。1-32有一试验装置的隔振台,如图所示,已知台面的质量Mm=1.5×103,台面由四组相同的弹簧支撑,每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600时,产生的位移3,试求该隔振系统的固有频率,并问当外界
36、基础振动的位移振幅为 1、频率为20Hz时,隔振台Mm将产生多大的位移振幅?解:每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×105N/m每组弹簧的总劲度K1=K/2四组弹簧并联后的劲度K2=4 K1=2 K =3.92×105 N/m12K 2M则固有频率 f0 = 2.57Hz由振动方程 M m&&+ K m ( 0) = 0,将 = aejwt,0 = a 'e jwt代入得,K aK w'a = 0.0168M21-33设有如图所示的主动隔声系统,有一外力 F0=F10ejt作用于质量块Mm上,试求传递在基础上力
37、F与F0的振幅比.F0Mmm K , RmF解:对质量块进行受力分析,可得质量块Mm的振动方程为:M m&&+ Rm& + K m = F10e jwt其稳态解的一般形式为 = a cos(t ) . M m KmRmF 10 | Z m |F10其中 a =, = arctan.2K m Rm2+ M m 弹簧传递给基础的作用力为 F = K m = K ma cos(t ),则 Fa = aK m .由此传递给基础的力F与F0的振幅比 DF = Fa=K m.2F10K m Rm2+ M m 1-34有一振动物体产生频率为 f,加速度振幅为 a10的振动,现用一动圈
38、式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为 f0,力学品质因素为Qm,音圈导线总长为l,磁隙中的磁通量密度为 B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少?解:动圈式加速度计测量 M m0Qm M m由 Qm =0Rm得 Rm =由 f0 = 1Km2 M m得 Km = 4f02M m2Ea = Bl M ma10M m则 Bla10Zm12+ (M m KmR2m)2M m Bla10122m2R2m+2M2 2KmM m + KmBla10142f02+ 164f042+282f02Q22m1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上,此外力可表示成FF = Fa (1+
39、 hsin1t)sint,其中 h为一常数,称为调制深度,试求振动系统的位移。 解:外力表达式为 FF = Fa (1+ hsin1t)sint= Fa cos(t ) 1 Fahcos(1 +)t + cos(1 )t22j(t) 1用指数形式表示外力为 FF = FaeFahe j(+1)t + 1Fahe j(1)t222振子进行强迫振动,由式(1-5-14)得,振子系统的位移为1hFaFacos(t 1) + ( 1) Z3 cos( 1)t 0 3 2 = Z12212 hFacos( +1)t 0 2 ( +1) Z 22M m KmRm其中:1 = arctan 2 = arctan;K m( +1)M m +1;RmK m 1( 1)M m 3 = arctanRmZ1 = R2m+ (M m Km)2;K mZ 2 = R2m+( +1)M m +( 1)M m +1 2;。K mZ3 = R2m 1 21-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上,此力可表示为FF = Fa(1 2Tt)( kT t (1+ k)T,k = 0,1,2,L)试求振动系统的位移。 解:质点的振动方程为 M m d + Rm ddt + Km = FF (t) = Fa(122t)(1)dt2T2)(2)又 FF (t) = A0 +An cosnt +
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