声学基础答案

1、 声学基础（南京大学出版社）习题 11-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为 f，质量为 m，求它的弹性系数。12 M mK m解：由公式 fo =得：K m = (2f ) m21-2设有一质量 M m用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：（1）当这一质点被拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？（2）当外力去掉后，质点 M m在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？（答： f0 = 21g， g为重力加速度）l图习题12解：（1）如右图所示，对 M m作受力分析：它

2、受重力 M mg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力 F就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。设绳子摆动后与竖直方向夹角为，则sin =l 受力分析可得： F = M mg sin = M mg l（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在 F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。由牛顿定律可知： F = M m d2dt2则 M m d = M mg l2即d2 + = 0,gdt2dt 2lgl即 f0 = 12g, 02=这就是小球产生的振动频率。l1-3有一长为 l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置 x0处，挂着一质量M m，如图所示

3、，试问：(1)当质量被垂直拉离平衡位置 时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样图习题 1-3表示？(2)当外力去掉后，质量 M m在此恢复力作用下产生振动，它的振动频率应如何表示？(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？解：首先对 M m进行受力分析，见右图，l x0x0Fx = TT= 02(l x0)2+2x2+0（Qx0， x02+ 2 x02,(l x0)2+ 2 (l x0)2。）Fy = T+ T(l x0)2+2x20+2l x0+ T x0 TTlx0(l x0)= 可见质量 M m受力可等效为一个质点振动系统，质量 M = M m，弹性系数Tlk = x0(l x0)

4、。Tl（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为 F = x0(l x0)，方向为竖直向下。（2）振动频率为 = K =Tlx0(l x0)M m。M（3）对分析可得，当 x0 = l时，系统的振动频率最低。21-4设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的 x0位置处悬有一质量为 M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有 M时，绳子向下产生静位移0以保持力的平衡，并假定 M离平衡位置0的振动位移很小，满足 << 0条件。图习题 142T cos = Mg4 = Mgcos = 解：如右图所示，受力分析可得001ll22T 0 + = M d2又 <

5、;<0，T ' T，可得振动方程为ldt 22M d2+ 4T = 4T 0l l即dt2 f = 214T l =12 0M 2 0Mg1=gM1-5有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。解：设振动位移 = a cos(0t )，速度表达式为v = 0 a sin(0t )。由于 t=0 = 0，v t=0 = 0，代入上面两式计算可得： = 0 cos0t；v = 0 0 sin0t。振动能量 E = 1 M mv= 1 M m02 2。a22a21-6有一质点振动系统，已知其初位移为0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。解：如

6、右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为 Km，质量为 M m，取正方向沿 x轴，位移为。d22 +0= K则质点自由振动方程为2 = 0,（其中02mm,）dtM解得 =a cos(0t 0),v = ddt=0a sin(0t 0 + ) =0a cos(0t 0 + )210 =00 + v02 2 20 =a cos0a当 t=0=0，v t=0= v0时， v= 0a cos(0 )v0000 = arctan02质点振动位移为 = 1 00+ v02cos(0t arctanv000)220 v0+ )质点振动速度为v = 02 20+ v02cos( t arctan 0002

7、质点振动的能量为 E = 1 M mv= 1 M m(00 + v0 )2 2 222a21-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加 = sint + 1 sin 2t，试问：2(1)在什么时候位移最大？(2)在什么时候速度最大？解： = sint + 1 sin 2t，Q2 d = cost + cos2tdtd2= sint 22 2sin 2t。dt2令 ddt= 0，得：t = 2k ± 或t = 2k ±，3经检验后得：t = 2k ± 3时，位移最大。令 d = 0，得： t = k或t = 2k ± arccos

8、( 1)，2dt24经检验后得：t = 2k时，速度最大。1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示 =1 cos(t +1)+2 cos(t +2) =a cos(t +)试证明+ 212 cos(2 1)， = arctan11csoins1 +2 sin2其中a = 1+22 21 +2 cos2证明： =1 cos(t +1)+2 cos(t +2)=1 cost cos1 1 sint sin1 +2 cost cos2 2 sint sin2= cost(1 cos1 +2 cos2)sint(1 sin1 +2 sin2)设 A =1 cos1 +2 cos2， B = (1 si

9、n1 +2 sin2) 则 = Acost + Bsint = A2+ B2cos(t +)（其中 = arctan( B)）A又 A2+ B2=1+1=1=1 +22cos21 +21 +2+ 212(cos1 cos2 + sin1 sin2)+ 212 cos(2 1)2cos22 + 212 cos1 cos22sin22sin22 + 212 sin1 sin22+2222又 = arctan( B) = arctan(1 cos1 +2 cos21 sin1 +2 sin2)A令 a = A+ B = 1 +2 + 212 cos(2 1)2 2 2 2则 =a cos(t +)1

10、-9假设一质点振动系统的位移由下式表示 = 1 cos w1t + 2 cos w2t( w2 > w1 )试证明 = a cos(w1t +)， sin(wt)其中 a = 12+ 2 2 + 21 2 cos(wt), + arctan 1 + 22cos(wt) ,w = w1 w2.解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。由余弦定理知， a = 12+ 22 + 21 2 cos(w2t w1t)= 12 + 2 2 + 21 2 cos(wt)其中，w = w2 w1。由三角形面积知，11 2 sin wt = 1 1 a sin22sin = 2 sin wt得 a 2 s

11、in wt 2 sin 2 sin wt得tg = a222wt=(1 + 2 coswt)2 sin wt= 1 + 2 coswt2 sin wt = 1 + 2 coswt2故即可证。1-10有一质点振动系统，其固有频率 f0为已知，而质量 Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.证由胡克定理得mgKm1 Kmmg/1 12 M mK m由质点振动系统固有频率的表达式 f0 =得，K mmgM m = 4f0 2 = 4.122f02纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.1-11有一

12、质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。12 M mK m解：由由f0 =得 K m = (2f0) M m21K mf0 =(2 f )2(M m + m ,)得 K m = 02 M m + m22， K m = 42mf0 2 f02f0 2 f02mf0联立两式，求得 M m =f0 2 f01-12设有如图 1-2-3和图 1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。 图 1-2-3图 1-2-4

13、解：串接时，动力学方程为 M m + Kd2K1mK 2m1m + K 2m = 0，等效弹性系数为dt 2K KK = K1m + K 2m。1m2m并接时，动力学方程为 M m + (K1m + K 2m ) = 0，等效弹性系数为d2dt 2K = K1m + K 2m。1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩 0100 mm可称 01kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为 0.4 kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为 1 s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？解：设该岩石的实际质量为 M，地球表

14、面的重力加速度为 g = 9.8m s2，月球表面的重力加速度为 g由虎克定律知 FM = Kx,又 FM = Mg则 K = Mg = 1× g =10gx0.1T = 2 = 2MK =1则 M = 104g2 = 10×9.8 2.5kg420xx =1则 x = 0.04m又0.4Mg = Kx则 g = Kx = 4 2 ×0.04 1.58m s2M故月球表面的重力加速度约为1.58m s，而该岩石的实际质量约为 2.5kg。2 1-14试求证acost + acos(t + )+ acos(t + 2 )+L+ acos(t + (n1) )sin

15、n(n1) 2= a sin2 cos t +2ae jt + ae j(t+ ) + ae j(t+2 ) +L+ ae j(t+(n1) )证= ae jt (1+ e j +)1 e jn1 e jjt 1 cosn jsin n= ae= ae jt1 cos jsin2 nsin n sin n jcos n2sin jsin n= ae jt2222= ae jtsinsin jcos2sin22 jsin222sin nsin nsin n j( n )j n1n1 e222 e= a2 e2j(t+ )= ae jt= ae jt22sin2 j(sinsin1 )e2222同

16、时取上式的实部，结论即可得证。1-15有一弹簧 K m在它上面加一重物 M m，构成一振动系统，其固有频率为f0，(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率 f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？12 M mK m解：固有频率 fo =。f0K m4（1） f0 2K m ，故应该另外串接三根相同的弹簧； M m2M m（2）K m 2K m，故应该另外并接一根相同的弹簧。f0 f0 1-16有一直径为 d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为 M m，弹性系数为 Km。试

17、求该扬声器的固有频率。解：该扬声器的固有频率为 f0 = 1Km2 M m。1-17原先有一个 0.5的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0；（2）当0.2的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；（3）在经过1s后，系统具有的平均能量。解：（1）由胡克定理知，Kmmg/所以Km0.2×9.8/0.04=49N/me = 1/ e = 1Rm2M m故 = Rm = 1N s / m

18、1249 1 = 1.57Hz2w0' = w0 f0'=0.5（2）系统所具有的能量 E = 1 K m= 1 × 49× 0.04= 0.0392J2222（3）平均能量 E = 12 K m0 2e2t = 5.31×103J1-18试求当力学品质因素 Qm 0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻 = 0，v = v0，试讨论解的结果。解：系统的振动方程为：d2dt2 + Rm dtd + K = 0M mmRm2M m进一步可转化为，设 =， d2+ 2 d +2 = 0dt2dt设： = eit于是方程可化为：(0+ 2 j +2

19、2)e jt = 00解得： = j( ± 22) = e( ± 202 )t方程一般解可写成： = et (Ae 202t + Be 22t)0Q存在初始条件： t=0= 0，v t=0= v0代入方程计算得：v0v0A = ， B =2 2022 202 202t 22t)0解的结果为：e t (Ae = +Bev0v0其中 A = ， B =。2 2022 2021-19有一质点振动系统，其固有频率为 f1，如果已知外力的频率为 f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为 K，质量抗为M MM已知 f0 = 50Hz， f

20、 = 300Hz202 = 4 2 f022 = (50)2(300)2 = 1则 (K) (M M )12 KMM M=M42 f361-20有一质量为 0.4kg的重物悬挂在质量为 0.3kg，弹性系数为 150N/m的弹簧上，试问：(1)这系统的固有频率为多少？ (2)如果系统中引入 5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？12 M m + M s /3 2 0.4 + 0.3/3K m1150解：(1)考虑弹簧的质量，f0 = 2.76Hz .(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统

21、，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.Rm52× 0.5 =' = 5， f '121150=022= 52= 2.64Hz .2 0.4 + 0.3/32M m0(3)品质因素Qm = 'M m=16.58× 0.5 = 1.66，0Rm512Qm 2位移共振频率： f r = f0'1= 2.39Hz .(4)速度共振频率： f r = f0'= 2.64Hz，12Qm 2加速度共振频率： f r = Qm f0'1= 2.92Hz .1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系

22、统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于解：系统每个周期损耗的能量2。QmE = WFT = 1 RmvT2a21 Rmva= 212 M mva22T=EERmfM m，发生速度共振时， f = f0。Rmf0M m20M mRm=2。QE= Em1-22试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就 等于系统的无阻尼固有频率 f0；（2）假定 f1与 f2为在 f0两侧，其平均损耗功率f0 f1比 f0下降一半时所对应的两个频率，则有Qm = f2证明：（1）平均损耗功率为.1WRdt = 1 RmvTWR = T质点强迫振动时的速度振幅为2a（ Rm为力阻，va为速度振幅

23、）20FaQmzva = 0M m,( Fa为外力振幅，0为固有频z2+ (z21)2Q2m率， M m为质量，Qm为力学品质因素，频率比 z = = f）f00当 z=1即 f = f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。（2） WR = 1 Rmv2a2W R max = 1 Rmv 1 RmFa2Q2m2a max2202M m2WR = 1W R max则 1 Rmv 1 ×( 1 RmFa2Q2F2 2Q2（1）2am2 )即 2va2a m222202M m02M mFaQmz把va = 0M m,带入式（1），则 z2= (z21)2Q2m（2）z2

24、+ (z21)2Q2m由式（2）得 z = (z21)Q解得 z = 1± 1+ 4Q2m取 z1 = 1+ 1+ 4Q2mm2Qm2Qmz = (z则 z2 z1 = 1即 f21)Qm解得 z = 1± 1+ 4Q2Qm2m取 z2 = 1+ 1+ 4Q2m2Qm2f1=f2 f1f0=1Qf0 f0Qmmf0 f1 Qm = f21-23有一质量为 0.4的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为 FF = 5cos8tN。 （1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；（2）

25、假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为 5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？解：（1）由强迫振动方程 M m d 2dt2 + Rm dtd + K m = FF，得0.4 d2+ 2 d +160 = 5cos8tdt2dtFa则位移振幅 a = 0.0369m(K m w2M m )2 + w2Rm 2速度振幅va = w a = 0.296m / s加速度振幅 aa = w a = 2.364m / s22平均损耗功率 P = 1 Rmva 2 = 0.0876(w)212 RmK m ( R) = 3.158Hzm22M（2）

26、速度共振时 f r = f0'=mFa则位移振幅 a = 0.126m(K m w2M m )2 + w2Rm 2速度振幅va = w a = 2.495m / s加速度振幅 aa = w a = 49.6m / s22平均损耗功率 P = 1 Rmva 2 = 6.225(w)21-24试求出图 1-4-1所示单振子系统，在t = 0， = v = 0初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论 = 0与 0两种情形下，当 0时解的结果。解：对于强迫振动，解的形式为： = 0et cos('0t 0) + a cos(t ) Fa， =0 + 其中 = Z2。am初始条件：

27、 = 0，v = 0，代入得： 0 cos0 + a cos = 0 0 cos0 +'0 0 sin0 + a sin = 0解得： a' 0 = (cos) +(sin)2 2 2 + 2 cos sin +0,2(cos)20'0cos0 = arccos2(cos)2+ (sin)2 2 + 2 cos sin +0'2(cos)2令G = 2(cos)2+(sin)2+ 2 cos sin +0,2(cos)2得： = a'2 Get cos(0't 0) + a cos(t )。0当 = 0时， Rm = 0，0 = arctan X

28、Rmm = ， =0 + ，= ，'0220 = ， 0 = a，2 = a cos(0t + ) + a cos(t )2= a (sin0t + cost)。当 0时， a ，达到位移共振。2 11-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力 Ff = sin 0t的作用，试2求其稳态振动的位移振幅。解：此单振子系统的强迫振动方程为M m d + Rm ddt + Km = FF (t) = sin22(10t) = cos0t1 12dt22 2 M m d + Rm ddt + Km = 122（1）则dt2M m d + Rm ddt + Km = 1 cos0t2（2）dt

29、221由式（1）得 =2Kmj 12令 =Fe jt代入式（2）得 F =Km0 R + j(0M m )0m12120Rm则F =12Km0 R2m+ (0M m )2012Km 20Rm1 A =1-26试求如图所示振动系统，质量块 M的稳态位移表示式.K1,R1K2,R2MFaejwt解：对质量块进行受力分析，可得质量块 M的运动方程为：M&&+ (R1 + R2)& + (K1 + K 2) = Fae jwt该方程式稳态解的一般形式为 = ae jwt，将其代入上式可得：j( +0 )Fa a =K1 + K 2 ) =| a |e2jw(R1 + R2) +

30、 j(M K + K 2M 1Fa其中| a |=，0 = arctan2.R1 + R2 (R1 + R2)2+ M K + K 21故质量块的稳态位移表示式可以写为： =| a | cos(wt 0) .21-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力 F1 = Fae jt作用于质量 M1上。M1的振动通过耦合弹簧 K12引起 M 2也随之振动，设 M1和 M 2的振动位移与振动图 1-4-1速度分别为1， v1与 2，v1。试分别写出 M1和 M 2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时Z 2 + Z12+ (Z1 + Z 2)Z12Z12+ (Z1 + Z 2)Z12v1 =F1与v

31、2 =F1。1Z Z 2Z1Z 2其中K1Z1 = j(M1 ) + R1，Z 2 = j(M 2 K2 ) + R2，jK12Z12 = 。图习题 1-27解：对图中两个振子进行受力分析可得下列运动方程：M1 1 + R1 ddt1 + K11 + K12(1 2) = F1d2dt 2M 2 2 + R2d2d 2dt+ K 2 2 + K12( 2 1) = 0dt 2设：1 = Ae jt， 2 = Be jtv1 =V1e jt，v2 =V2e jt于是方程可化为： A(M 12+ jR1 + K1 + K12) BK12 = FaB(M 22+ jR2 + K 2 + K12) A

32、K12 = 0设：Z1 = j(M1 ) + R1， Z 2 = j(M 2 K2 ) + R2， Z12 = K1jK12。对上面的两个方程整理并求解可得Z 2 + Z12+ (Z1 + Z 2)Z12v1 =v2 =F1F1Z1Z 2Z12Z1Z 2+ (Z1 + Z 2)Z121-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为：Fa = Apa，其中 A为常数， pa为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式)，并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：

33、压差式传声器产生的作用力振幅为 Fa = Apa，其中 A， p a为常数，则Fa随变化。电动换能方式传声器，其开路电压输出为 E = Blv，要使 E均匀恒定，则要v恒定FaAPa系统处在质量控制区时 v M=，此时 va与频率无关，故amM m在一较宽的频率范围内，传声器将产生均匀的开路电压输出。1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式(电容式)，其他要求与上题相同，试问这一传声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？ 解：传声器开路输出电压 E与振膜位移有如下关系：E = E0DQ只有在力阻控制区，FaApa = Rm = Rm，即在此控制区，输出电压 E与频率无关。传声

34、器的振动系统应工作在力阻控制区。1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为 S0的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下，振膜的辐射阻变为 Rr = r0C0S0（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为 W = 1 Rrva2212 r0C0S0va2其中 r0，C0，S0均为常数，要使W均匀，则va应不受的W影响。故振2动系统应工作在力阻控制区，此时va Fa（其中 Fa为频率恒定的外力，Rm也恒Rm定）。1-31有一如图所示

35、的供测试用动圈式振动台，台面 M m由弹簧 K m支撑着，现欲在较宽的频率范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使台面 M m产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？图习题 1-31解：音圈通以 I电流时，在磁场下产生电动力 F = BIL，由 F = M ma可见， FaM m只有在质量控制区 a 时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。1-32有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量Mm=1.5×103，台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600时，产生的位移3，试求该隔振系统的固有频率，并问当外界

36、基础振动的位移振幅为 1、频率为20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？解：每只弹簧的劲度系数K=600×9.8/0.03=1.96×105N/m每组弹簧的总劲度K1=K/2四组弹簧并联后的劲度K2=4 K1=2 K =3.92×105 N/m12K 2M则固有频率 f0 = 2.57Hz由振动方程 M m&&+ K m ( 0) = 0，将 = aejwt，0 = a 'e jwt代入得，K aK w'a = 0.0168M21-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外力 F0=F10ejt作用于质量块Mm上，试求传递在基础上力

37、F与F0的振幅比.F0Mmm K , RmF解：对质量块进行受力分析，可得质量块Mm的振动方程为：M m&&+ Rm& + K m = F10e jwt其稳态解的一般形式为 = a cos(t ) . M m KmRmF 10 | Z m |F10其中 a =， = arctan.2K m Rm2+ M m 弹簧传递给基础的作用力为 F = K m = K ma cos(t )，则 Fa = aK m .由此传递给基础的力F与F0的振幅比 DF = Fa=K m.2F10K m Rm2+ M m 1-34有一振动物体产生频率为 f，加速度振幅为 a10的振动，现用一动圈

38、式加速度计去测量。假定已知加速度计振动系统的固有频率为 f0，力学品质因素为Qm，音圈导线总长为l，磁隙中的磁通量密度为 B。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？解：动圈式加速度计测量 M m0Qm M m由 Qm =0Rm得 Rm =由 f0 = 1Km2 M m得 Km = 4f02M m2Ea = Bl M ma10M m则 Bla10Zm12+ (M m KmR2m)2M m Bla10122m2R2m+2M2 2KmM m + KmBla10142f02+ 164f042+282f02Q22m1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成FF = Fa (1+

39、 hsin1t)sint，其中 h为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。 解：外力表达式为 FF = Fa (1+ hsin1t)sint= Fa cos(t ) 1 Fahcos(1 +)t + cos(1 )t22j(t) 1用指数形式表示外力为 FF = FaeFahe j(+1)t + 1Fahe j(1)t222振子进行强迫振动，由式（1-5-14）得，振子系统的位移为1hFaFacos(t 1) + ( 1) Z3 cos( 1)t 0 3 2 = Z12212 hFacos( +1)t 0 2 ( +1) Z 22M m KmRm其中：1 = arctan 2 = arctan；K m( +1)M m +1；RmK m 1( 1)M m 3 = arctanRmZ1 = R2m+ (M m Km)2；K mZ 2 = R2m+( +1)M m +( 1)M m +1 2；。K mZ3 = R2m 1 21-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为FF = Fa(1 2Tt)（ kT t (1+ k)T,k = 0,1,2,L）试求振动系统的位移。 解：质点的振动方程为 M m d + Rm ddt + Km = FF (t) = Fa(122t)（1）dt2T2）（2）又 FF (t) = A0 +An cosnt +