希望杯竞赛数学试题详解(41-50题)

1、PyxlFoECA图1题41 E、F是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的准线，点，则的最大值是 （ ） A、15° B、30° C、45° D、60°（第十三届高二培训题第21题）xy DPFEOl解法1 不妨设l是右准线，点P在x轴上方（如图所示），则l的方程为，故可设点P为，记，由PE到PF的角为，得.又知，代入上式并化简，得.由假设知，所以.由基本不等式得，所以的最大值为30°，当时取得最大值.故选B.解法2 如上图，设，则,因为所以的最大值为30°.故选B.解法3 由面积的两种表示方法，即，得，因为为锐角，所以的最大值为30

2、6;.故选B.解法4 依题意，经过E、F且与椭圆的准线相切于点P的圆，使最大.如图1，不妨设是右准线，点P在x轴上方，则准线方程为，易得圆心C的坐标为，因此点P使最大.又PE、PF的斜率分别为、，设准线轴于点A，则，此时.故选B.评析 一般说来，要求某个角的最值，常常先求出此角的某一三角函数的最值.然后根据角所在范围内此三角函数的单调性确定角的最值.解法1运用到角公式与基本不等式求出了正切的最大值，又利用为锐角时单调增，求出了的最大值.解法2将表示成两角差，并利用基本不等式求出了的最大值，进而求出的最大值.而解法3利用同一三角形面积的两种不同表示方法,求出了的最大值,再由在上单调增,求出了的最

3、大值.此法颇有新意.解法4则利用平几中“同弧所对的圆周角总大于圆外角”巧妙地解决问题.我们知道，平面解析几何研究的就是平面几何问题，只不过所用研究方法是代数方法，即解析法而已.解法4告诉我们，若能直接运用平几中的结论解决解析几何问题，常可收到化繁为简的效果.图2ylPoQAEF拓展 经研究，我们还可得到下面的定理 若点P在过椭圆的长轴的一个端点的切线l上移动，则当点P到长轴的距离等于半短轴长时，点P与两焦点连线的夹角取得最大值.x证明 如图2，不妨设的方程为，则以椭圆的上顶点Q为圆心，且过焦点E、F的圆必与相切（设切点为P）（因为）根据同圆Q的弦EF所对的圆周角总大于圆外角，可知就是最大的，此

4、时，又.原命题得证.练习1 在直线上求一点P，使它与点连线的夹角最大.2 足球比赛场地宽为米，球门宽为米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿边线直进，试问该边锋在距乙方底线多远处起脚射门，能使命中角最大？最大角是多少？ 答案 米题42 椭圆的两焦点是、，M为椭圆上与、不共线的任意一点，I为的内心，延长MI交线段于点N，则的值等于 ( ) A、 B、 C、 D、 （第十三届高二培训题第19题）图1xMyIF1O NF2解法1 如图1，设点M的坐标为，的内切圆半径为r，,又xMyIF1O NF2图2.，.故选B.解法2 如图2，不妨令M为椭圆与轴的正半轴的交点.由已知，I必在线段MO上，且N与O重合

5、.为的内心，.故选B. 评析 按常规，可设,然后求出与（或）的平分线的方程，解方程组求出点I的坐标，令平分线的方程中的，得点N的坐标，再求出与.求比值时如何消去，还不得而知，其复杂程度也是完全可以想象的.作为一个选择题，轻易地这样去解显然是不可取的. 解法1灵活运用平面几何等知识巧妙地解决了问题.解法2更是抓住了选择题的本质特征，运用特殊化思想，轻而易举地解决了问题.由题意，不论点M在椭圆上的何种位置（只要与、不共线即可），的值总是定值，即结论对一般情形成立，故对其中的特殊情形M为椭圆与正半轴的交点时也应当成立，从而排除特殊情形下不成立的选择支，进而得出正确答案.充分显示了运用特殊化思想解某些

6、选择题的优越性.拓展 对此题作研究，可得下面的定理 1 设 、是椭圆的左，右焦点，点在此椭圆上，且点、不共线，椭圆的离心率为，则（1）的内心内分的平分线PM所成的比是定值.（2）的与边相切的旁切圆的圆心横坐标为定值；的与边相切的旁切圆的圆心外分的平分线的比为定值.（3）由焦点向的的外角平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，为半径的圆上.图3xPyIF1O MF2证明 （1）如图3，设I为的内心，连接、，则在及中由角平分线定理得，所以 .图4xPyI.R F1O F2NM（2）如图4，设旁切圆圆心为，M、N、R为切点，则，图5 xPyR F1O F2Q为定值. 同样的方法可以证明与的边相切的旁

7、切圆的圆心横坐标为定值.如图5，设交与.由外角平分线定理得,由合比定理得图6xByOAPF1F2，.（3）如图6，过作的外角平分线的垂线，为垂足，延长交的延长线于，则，.由椭圆定义可知，故.又，且，所以.垂足A在以O点为圆心，为半径的圆上.若将定理1中的椭圆该为双曲线，又得定理2 设、是双曲线的两个焦点，点P在此双曲线上，且点、不共线，双曲线的离心率为，则（1） 的内心横坐标是定值，且当点在左支上时，定值为；当点在右支上时，定值为.（2） 的与边（或与边）相切的旁切圆的圆心分的外角平分线的比为定值；的与边相切的旁切圆的圆心横坐标为常数（当点在右支上时常数为；当点在左支上时，常数为）.（3） 由

8、焦点向的的平分线作垂线，垂足必在以坐标原点为圆心，为半径的圆上. 读者可仿照定理1的证明，证明定理2.题43 过椭圆左焦点作直线交椭圆于两点，若，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为 （ ） xy图1OFAMBABy图2xOFABA、 B、 C、 D、 （第十一届高二第一试第8题）解法1由及得如图1，过A作于M,则 得.故选B. 解法2 设椭圆，又，由、得 又与长轴夹角为，所以 .由、得 , .故选B.xy图3OFBCAAB 评析 解法1是运用椭圆第二定义求离心率e的,及与的关系沟通了与的关系,也是用此法解题的关键所在解法2则先设出椭圆方程及A、B的坐标，运用焦半径公式带出e ，由及解出与,

9、由AB与长轴夹角为得,又由弦长公式求出，同为，得，从而，是典型的运用方程思想解题的实例 拓展 以此题为背景，对于椭圆、双曲线、抛物线有以下一般结论命题1 如图3，过椭圆的焦点作直线交椭圆于两点，若，直线与长轴的夹角为，椭圆的离心率为e,则有 证明 设直线过椭圆的左焦点，过作相应准线的垂线，为垂足过作的垂线与的延长线交于点，则由椭圆定义，可知=于是在中， 当直线过右焦点时，证法与上相同又由于为直线与长轴的夹角，xy图4OFBA命题2 如图4，过双曲线的焦点作直线与双曲线中的一支交于两点，若，且直线与实轴的夹角为，双曲线的离心率为e,则有xy图5OFBA命题3 如图5，过双曲线的焦点作直线与双曲线

10、的两支分别交于两点，若，且直线与实轴的夹角为，双曲线的离心率为e, 则有xy图6OFBA命题4 如图6，过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，若=，且直线与抛物线的对称轴的夹角为，则有命题2、3、4的证明与命题1的证明类似，留给读者完成对于焦点在轴上的圆锥曲线与过焦点的直线交于两点，弦被焦点分成的两段与圆锥曲线的离心率e及直线和轴的夹角之间仍有上述关系成立运用上述命题可得本题如下解答：令，请读者完成下面两题：1过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点：=3：1求该直线的方程（答案：） 2过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（答案：）题44 如果点A的坐标为(1,1)，是椭圆的

11、左焦点，点P是椭圆上的动点，则的最小值为_. （第十一届高二培训题第66题）解 己知椭圆方程可化为，其半长轴长，由椭圆定义，可得，右焦点的坐标为，（此时共线，且A在之间）.评析 此题运用了椭圆定义及，体现了二次曲线的定义在解题中的作用.如果将此题改为求的最大值，又如何解答呢？设，则（此时、A共线且在P、A之间）.拓展 此题可作如下推广：推广1 如果A是椭圆内的定点，则.证明 由椭圆定义，得，则，又，故当P在的延长线上时，；当P在的延长线上时，（如图1）.F1AF2PP图1xyO说明：如果点A在椭圆上，推广1仍成立.推广2 如果A是椭圆外的定点，是两个焦点，P是椭圆上的动点，则.F1AF2PP图

12、2xyO证明 由椭圆定义，得，于是，故当P在的延长线上时，;当P在线段上时，（如图2）. F1AF2P图3xyOPPP推广3 如果A是椭圆内的定点，是两个焦点，P是椭圆上的动点，则.证明 当三点共线时，;当P在线段的中垂线上，即时，（如图3）.说明：如果点A在椭圆上，推广3仍成立. F1AF2图4xyOPPP推广4 如果A是椭圆外的定点，是两个焦点，P是椭圆上的动点，则（当线段的中点在椭圆内或椭圆上时）.证明 当P在的延长线上时，当P在线段的中垂线上（当线段的中点在椭圆内或椭圆上），即时，（如图4）.F1F2P图5xyOMQ以此题为背景，通过猜想与探索，还能得到下面关于圆锥曲线的一些一般结论：

13、命题1 如图5，若为椭圆内一定点，直线与椭圆交于两点，则分别为椭圆上到及的距离之和的最小和最大的点.证明 设为椭圆上任意一点，F1F2P图6xyOMQ，以上两不等式左端取等号的条件为点在线段上，右端取等号的条件为点在线段上，即分别为椭圆上到及距离之和的最小和最大点.命题2 如图6，若为椭圆外一定点，直线与椭圆交于两点，则有（1）点为椭圆上到及距离之差（和）最大（小）点.（2）点为椭圆上到及距离之和（差）最小（大）点. 证明 （1）设为椭圆上任意一点，不等式取等号的条件为点在线段上，不等式取等号的条件为点在线段上，故点为椭圆上到及距离之差（和）最大点.对于（2），同理可证.命题3 如图7，若为双

14、曲线右支内一定点，直线与双曲线分别交于两点，则有（1）点为双曲线右（左）支上到及距离之和最小的点；（2）点为双曲线左（右）支上到及距离之和最小的点.证明 （1）设为双曲线右支上任意一点， 图7当在线段上时取等号，故为双曲线右支上到及距离之和最小的点，对于点，命题显然成立.(2)设为双曲线左支上任意一点，由（1）易得，当且仅当在线段上时取等号，故为双曲线左支上到及距离之和最小点，对于点，命题显然成立.命题4 如图8，若为双曲线外一定点，直线与双曲线左、右支分别交于两点，则（1）点为双曲线右（左）支上到及距离之差（和）最大（小）的点；（2）点为双曲线左（右）支上到及距离之和（差）最小（大）的点.证

15、明 （1）设为双曲线右支上任意一点，当且仅当点在线段上时取等号，即为双曲线右支上到及距离之差最大的点，对于点，命题显然成立.（2）设为双曲线左支上任意一点，yFP图9xOM当且仅当在线段上时取等号，即为双曲线左支上到及距离之和最小的点，对于点，命题显然成立. 命题5 如图9，若为抛物线内一定点，过作抛物线准线的垂线交抛物线于点，则点为抛物线上与及距离之和最小的点. 命题6 如图10，若为抛物线外一定点，过作抛物线准线的垂线交抛物线于点，则点为抛物线上与及距离之差最大的点.命题5、6留给读者自己证明.运用这些命题，可以很容易地解决下列问题：yFP图10xOM1、如果点的坐标为（2，2），是椭圆的

16、右焦点，点是椭圆上的动点，则的最大值为_，的最大值为_.2、如果点的坐标为(3,1)，分别是双曲线的左、右焦点，点分别为双曲线左、右支上的动点，则的最小值为_，的最小值为_.3、如果点的坐标为(1,1)，分别是双曲线的左、右焦点，点分别为双曲线左、右支上的动点，则的最大值为_，的最小值为_.4、如果点的坐标为(1,3)，是抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，则的最大值为_.答案：1、 2、3、 4、2题45 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的范围是_.（第十二届高二第一试第20题）PxBoy图1解法1 如图1，当点与短轴端点重合时，最大.故由题设可知.， 即.则.又椭圆离心

17、率，.解法2 设，.则由椭圆定义及余弦定理，得，即，亦即.从而，即，.又知，故为所求.解法3 不妨设点在轴上方，又知，则.由椭圆方程有，代入上式，得.解得或（舍去）.又知，故有，.，即.又，为所求.解法4 设，则.由正弦定理得，故.又，故为所求.解法5 由焦半径公式及余弦定理得，解得.由椭圆的范围知，故有.，为所求.解法6 由已知及椭圆焦点三角形的面积公式得.由椭圆的范围知，有，以下同解法3.评析 椭圆的离心率反应了椭圆的扁平程度，而扁平程度与椭圆的范围相关.解法1中的“最大”，解法3中的“”，解法5中的“”，解法 6中的“”，都是运用椭圆的范围求离心率的范围.解法2运用椭圆定义、余弦定理及基

18、本不等式，解法4运用三角函数的有界性，巧妙地求出了离心率的范围.拓展 解法1的依据是下面的定理 椭圆上的任意一点与其长轴上关于中心对称的两点连线所成张角中以短轴端点所成的张角为最大.PxyAO.图2证明 如图2，经过对称的两点、及短轴端点作圆，则点A显然在圆上，椭圆在轴上方部分（含左、右顶点）的任意一点（除外）都在圆外 ，根据平几中“同弦上的圆周角大于圆外角”，可知.由椭圆的对称性，可知当点是椭圆上任意一点时，也都有，故定理成立.该定理是椭圆的一个重要性质，它对与椭圆有关的离心率、范围、字母讨论、位置等问题能起到优化解题思路的作用.本赛题可作如下推广推广1 设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上恒存在

19、一点，使得，则.证明 由已知及焦点三角形面积公式，得，即，从而，.PBxyo图3推广2 如图3，设、是椭圆的长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点使得，则为钝角且有.证明 不妨设点在轴上方，又知，则有.由椭圆方程有，代入上式，得.由假设，而.从而知.又，故为钝角.由上式可得.由椭圆的性质，知，故，即，为钝角, 若将焦点换为长轴所在直线与准线的交点，又得推广3 设、是椭圆的两条准线与轴的交点，若椭圆上恒存在一点(P与长轴端点不重合)，使得，则为钝角且.yPxo图4证明 如图4，不妨设点在x轴上方，因为，所以由到的角为，得.由椭圆方程得，代入上式，得,为钝角,且，即.题46 、是椭圆的两个焦点， 是椭

20、圆上任意一点，则的最小值是.（第七届高二第一试第19题）解法1 如图,设，则，易知，即.在上递增，在上递减，在或时的值达到最小.PxyB 1oA1A2-2-12.解法2 设，由焦半径公式，得，.，当或时，取得最小值.解法3 ， .显然，当点位于长轴端点时，取得最大值.解法4 .设坐标原点为O，则为的中线，由中线公式，得，将，代入，得.，当时，取最小值1.解法5 设，.则、是方程的两个实根，其中、.设，则在上有解的充要条件是，即，即.即的最小值为1.解法6 由椭圆焦点三角形的面积公式得.又,得，代入上式得.故当时，取最小值1.评析 本题要求的是的最小值，若能把它表示为某变量的函数，则问题变为求此

21、函数的最小值.除解法5运用方程思想外的所有方法都是运用这种函数思想解决问题的，不过选取的自变量有所不同罢了.当表示为某变量的函数后，确定该函数的定义域也是很关键的一点.解法2与解法5还分别用到了焦半径公式及椭圆的焦点三角形面积公式等重要结论.会推导这些公式，并能灵活运用这些公式对解题也是十分重要的.解法4运用平面几何中的中线公式为我们进一步拓宽了解题思路.拓展 将此题条件一般化，便得下面的定理1 若是以、为焦点的椭圆上的任意一点，则.证明 为的边上的中线，由中线公式，得，即，整理得.把，代入上式并整理，得.，.当点位于长轴端点处时左边取等号；当点位于短轴端点处时右边取等号.若将椭圆改为双曲线，

22、又得定理2 若点是以、为焦点的双曲线上的任意一点，则.证明 为的边上的中线，由中线公式，得，即.把，代入上式并整理得.，.当位于实轴端点处时取等号.题47 是椭圆的焦点，是椭圆上的一点，且，则的面积是 . （第四届高二第一试第30题）解法1 设则,. 解法2 设即,两边平方,得 解法3 设点在线段为直径的圆上，.又点在已知椭圆上，.,并注意到得评析 因为要求的是直角的面积,且的坐标确定,按常规思路,只要知道点的坐标,问题便解决了.于是解法3设,便得 必须消去,因为(这也可由得到),且,于是得到,从而使问题获解.这里运用了方程的思想,整体思想的运用也使得解题过程相对简化.解法1则综合运用了椭圆的

23、定义,勾股定理,直角三角形的面积公式,且巧妙运用代数式的恒等变形,使得整个过程极其简捷,充分显示了二次曲线定义及平几知识在解题中的作用(解法2也运用了椭圆的定义).三种解法都引进了参数,参数思想也是重要的解题思想.消参的方法很多,涉及许多知识与技巧,灵活运用各种知识是消参的捷径.1994年的一道全国高考题与此题十分类似：设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足.则的面积是 （ ）、 、 、 、拓展 如果将一般化,我们便得定理1 是椭圆的焦点,是椭圆上的点,且,则的面积为证明 设,则,两边平方并整理,得.又由余弦定理得,即.由,得由定理1,此赛题的答案应是.随着取值的不同,即椭圆的扁平程度不同

24、,椭圆上是否一定存在一点,使得呢?经研究,有下面的定理.定理2 已知是椭圆的焦点.椭圆上存在点使的充要条件是.在的条件下,的最大值是.证明 设 .又故椭圆上存在点使的充要条件是.由对称性,不妨设点的坐标为且.在中,由余弦定理得当时,取得最小值,即.又且的最大值是.若将焦点改为顶点,我们又得定理3 已知与分别是椭圆的长轴与短轴的两个端点,是椭圆上的动点,则的最大值为的最小值为.证明 不妨设,则是直线到直线的角，,又又的最大值为.同样的思路,可证的最小值是.有了这些定理,不难解决下面的问题:1. 是椭圆的焦点,点在椭圆上,且，则的面积= .2是椭圆的两个焦点,是椭圆上的一点,，则椭圆的离心率的取值

25、范围是( ) (第十届高二培训题第23题)3. 已知圆与轴交于两点、,求以、为焦点且与圆C有公共点的长轴最长的椭圆方程.答案:1. 2.B 3. 题48 椭圆的内接三角形的最大面积是.（第九届高二第二试第20题）BAyB'A'oC'Cx解 不妨设，为以原点为中心的椭圆的内接三角形（如图）.显然，的面积可以写成（划分为）若干个（至多4个）底边平行于（或在）轴的三角形面积之和.若轴方向上不变，在轴方向上的长度都增大倍，则椭圆就变成以为圆心，为半径的圆.设、三点经伸长后的对应点为、，它们就在此圆上.因此，.易知圆的内接三角形面积的最大值是，所以椭圆的内接三角形面积的最大值是.

26、评析 直接将椭圆内接三角形的面积用其三个顶点的动坐标表示，再求其最大值，难度是可想而知的.考虑到圆是特殊的椭圆（椭圆的长、短轴相等时即为圆），当时，将椭圆上的每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，椭圆就变成了半径为的圆.由于圆内接三角形面积的最大值可求，故问题解决.这里，运用特殊化思想，把求椭圆内接三角形面积最大值转化为求圆内接三角形面积的最大值；通过伸缩变换，把椭圆变为圆，运用了简单化原则；半径为的圆的内接三角形面积的最大值为，运用了熟悉化原则；由于在伸缩变换中椭圆上各点的横坐标不变，则内接三角形的底在变换过程中不变（不妨设圆的面积最大的内接三角形的底边与轴垂直），伸缩前的高为伸缩后的倍

27、，则运用了直观化原则.灵活运用上述原则解题，常常可收到意想不到的效果.拓展 椭圆的投影可以是圆，看下面的定理 椭圆所在的平面与平面所成二面角为（，其中、分别为椭圆的长半轴和短半轴的长），且椭圆的短轴与平面平行，则椭圆在平面上的投影为圆，且半径为.证明 不妨设椭圆所在位置如图所示.xxyOpQRp'R'O'Q'y在平面内分别以长轴和短轴所在直线为轴和轴建立直角坐标系；在平面内分别以长轴与短轴的射影所在直线为轴和轴建立直角坐标系.在椭圆上任取一点，过作轴和轴的垂线、，垂足为、；过的射影分别作轴和轴的垂线、，垂足为、，由轴与平行，可知且=，在坐标系中的坐标是，由的任意

28、性，知的轨迹是半径为的圆.用此定理解决本赛题：设椭圆的内接三角形面积为，则它在上的射影为圆的内接三角形,其面积为.因为圆内接三角形面积最大时为正三角形，其面积，所以椭圆的内接三角形面积的最大值.运用此定理，不难求得椭圆的面积为.题49 RtABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A，B两点.求这个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）解法1 如图，设，则（F在AB内，F是椭圆的另一个焦点）.设椭圆的方程为.则，.在BCF中，由正弦定理和合分比定理，. 在RtABC中，由此得到，.,.解法2 设F、C为二焦点，.由椭圆定义知，又.由、，解

29、得，.在中，.椭圆的离心率为.评析 按照离心率的定义，只要求或.解法1设（F为另一个焦点）后便得，故，问题的关键便是如何求出与的值.解法1利用的两个不同表达式求出了，从而使问题获解.解法2则从几何角度运用椭圆的定义求出了焦距与长轴长的比即离心率，比解法1简单多了.拓展 将本题中的一般化，可得推广1 ABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A、B两点，则这个椭圆的离心率是.证明 不妨设F、C为左、右焦点，.由余弦定理，.由椭圆定义，可知，即，又，+得.=，椭圆的离心率=.当时，正是本赛题的结果.将本赛题中的椭圆改为双曲线，又得推广2 RtABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一双曲线，使这双曲线的另一个焦点在边AB上，且双曲线的一支过A，B两点.则这个双曲线的离心率是.证明 如图，不妨设F、C为双曲线的左、右焦点，.由双曲线定义，可知，即，又.-得.在RtAFC中，.双曲线的离心率.将推广2中的一般化，又得推广3 ABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一双