第4章电路的暂态分析

1、 前面各章讨论的线性电路中，当电源电压前面各章讨论的线性电路中，当电源电压（激（激励）励）为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电为恒定值或作周期性变化时，电路中各部分电压或电流压或电流（响应）（响应）也是恒定或按周期性规律变化，也是恒定或按周期性规律变化，即电路中响应与激励的变化规律完全相同，称即电路中响应与激励的变化规律完全相同，称电路电路所处的这种工作状态为稳定状态，简称稳态所处的这种工作状态为稳定状态，简称稳态。 但是，在实际电路中，经常遇到电路由一个但是，在实际电路中，经常遇到电路由一个稳定状态向另一个稳定状态变化的过程，尤其当电稳定状态向另一个稳定状态变化的过程，尤其当电路中含有电

2、感、电容等储能元件时，这种状态变化路中含有电感、电容等储能元件时，这种状态变化要经历一个时间过程，称为要经历一个时间过程，称为暂态过程暂态过程。 电路的暂态过程一般比较短暂，但它的作用和影响却十分电路的暂态过程一般比较短暂，但它的作用和影响却十分重要。重要。 一方面，我们要充分一方面，我们要充分利用电路的暂态过程利用电路的暂态过程来实现振荡信号来实现振荡信号的产生、信号波形的改善和变换、电子继电器的延时动作等；的产生、信号波形的改善和变换、电子继电器的延时动作等； 另一方面，又要另一方面，又要防止电路在暂态过程防止电路在暂态过程中可能产生的比稳态中可能产生的比稳态时大得多的电压或电流时大得多的

3、电压或电流(即所谓的即所谓的过电压或过电流过电压或过电流)现象。现象。 过电压过电压可能会击穿电气设备的绝缘，从而影响到设备的安可能会击穿电气设备的绝缘，从而影响到设备的安全运行；全运行；过电流过电流可能会产生过大的机械力或引起电气设备和器可能会产生过大的机械力或引起电气设备和器件的局部过热，从而使其遭受机械损坏或热损坏，甚至产生人件的局部过热，从而使其遭受机械损坏或热损坏，甚至产生人身安全事故。身安全事故。 一般来说，一般来说，电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经历的中间过程称为电路的暂态过程经历的中间过程称为电路的暂态过程。 通常将第一个稳态称

4、为通常将第一个稳态称为旧稳态旧稳态，第二个稳态称为，第二个稳态称为新稳态新稳态。电路处于暂态过程，实际上是电路中各支路的电压、电流从旧电路处于暂态过程，实际上是电路中各支路的电压、电流从旧稳态值向新稳态值的转换。稳态值向新稳态值的转换。 暂态过程的产生必须同时具备暂态过程的产生必须同时具备内因和外因两个条件内因和外因两个条件，缺一，缺一不可。不可。 内因内因是：电路中必须包含储能元件，实际上，暂态过程的是：电路中必须包含储能元件，实际上，暂态过程的实质就是储能元件的充放电过程。实质就是储能元件的充放电过程。 外因外因是：电路必须要进行换路。是：电路必须要进行换路。 所谓换路，是指电路工作状态的

5、改变，所谓换路，是指电路工作状态的改变，例如电路的接通或例如电路的接通或断开、电路参数或电源的变化以及电路的改接等等。断开、电路参数或电源的变化以及电路的改接等等。换路换路: : L储能：储能：221LLLiW 不能突变不能突变Cu不能突变Li C 储能：储能：221CCCuW 由于物体所具有的能量不能跃变而造成由于物体所具有的能量不能跃变而造成若若cu发生突变，发生突变， dtduiCC不可能！不可能！一般电路一般电路则则 在电路分析中，通常认为在电路分析中，通常认为换路换路是在是在瞬间瞬间完成，完成，记为记为 t=0，并且用，并且用t=0- 表示换路前的终了时刻，用表示换路前的终了时刻，用

6、t=0+表示换路后的初始时刻，换路经历的时间为表示换路后的初始时刻，换路经历的时间为0- 到到0+ 。 需要注意的是，需要注意的是，t=0- 时刻电路仍处于旧稳态，时刻电路仍处于旧稳态，对于直流电源激励下的电路，此时对于直流电源激励下的电路，此时电容相当于开路电容相当于开路，电感相当于短路电感相当于短路；而；而t=0+ 时刻电路已经进入暂态过时刻电路已经进入暂态过程，是暂态过程的开始时刻。程，是暂态过程的开始时刻。)0()0(CCuu注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。初始值。 设：设：t=0 表示换路瞬间表示换路瞬间 (定

7、为计时起点定为计时起点) t=0- 表示换路前的终了瞬间表示换路前的终了瞬间 t=0+表示换路后的初始瞬间（初始值）表示换路后的初始瞬间（初始值）)0()0(LL 暂态过程期间，电路中电压、电流的变化开暂态过程期间，电路中电压、电流的变化开始于换路后瞬间的始于换路后瞬间的初始值初始值，即，即t=0+时刻的值，终时刻的值，终止于达到新稳态时的止于达到新稳态时的稳定值稳定值。因此分析电压、电。因此分析电压、电流的初始值是必要的。确定电路中电压、电流的流的初始值是必要的。确定电路中电压、电流的初始值，换路定则是重要依据。电路中各处的电初始值，换路定则是重要依据。电路中各处的电压和电流的初始值记压和电

8、流的初始值记为为 f (0+)。作出作出时的等效时的等效作作t =0+时的等效电路，要对储能元件做如下的处理：时的等效电路，要对储能元件做如下的处理： 若若 0，则用恒流源，则用恒流源= 等效代替电感等效代替电感元件，若元件，若 0 ，则用恒压源，则用恒压源U = 等等效代替电容元件；效代替电容元件； 若若 0 ，则将电感元件开路掉，若，则将电感元件开路掉，若 =0 ，则将电容元件短路掉。据此等效电路可求出各处电流则将电容元件短路掉。据此等效电路可求出各处电流和电压的初始值和电压的初始值 。确定电路初始值确定电路初始值 f(0+)的步骤如下。的步骤如下。(b) t= 0-时的等效电路电路如图(

9、a)所示，换路前电路已处于稳态。在t=0时开关S断开，试求换路后电路中各电量的初始值 。解：因为t=0-时电路已处于稳态，则电感元件已储满能量，即uL(0-)= 0 V，电容元件被开关S短接而未储能，即uC(0-)= 0 V。作出t= 0-时的等效电路如图 (b)所示。(a)(b) t= 0-时的等效电路电路如图(a)所示，换路前电路已处于稳态。在t=0时开关S断开，试求换路后电路中各电量的初始值 。(a)1LS1260(0 )10.6 A6040 RiIRRC(0 )0 Vu可知：作出t =0+ 时的等效电路如图 (c)所示，(c)t =0+ 时的等效电路电路如图(a)所示，换路前电路已处于

10、稳态。在t=0时开关S断开，试求换路后电路中各电量的初始值 。(a)(c)t =0+ 时的等效电路uC(0+)=uC(0- -)=0 V，iL(0+)=iL(0- -)=0.6 A1LCL1112L23L3L123(0 )(0 ) 1 0.6 0.4 A,(0 )(0 ) 0.6 A(0 )(0 )0.4 60 24 V,(0 )(0 )0.6 40 24 V(0 )(0 )0.6 20 12 V,(0 )(0 )(0 )(0 )12 V SiIiiiuiRuiRuiRuuuu可得：注意：iC(0-)=0 A，而iC (0+)=0.6 A，流过电容中的电流发生了突变，它会对线路或某些器件产生较

11、大的冲击，使用时应予以注意；uL(0-)= 0 V，而uL(0+)= -12 V，加在电感元件两端的电压发生了突变，它会将线路或某些器件的绝缘击穿，使用时也应予以注意。3稳态值的确定稳态值的确定 电路在稳态工作时各处的电流和电压之值称为稳态电路在稳态工作时各处的电流和电压之值称为稳态值，记为值，记为f ( )。 换路前电路的工作状态通常为稳态，则求换路前电路的工作状态通常为稳态，则求t=0- 时的时的 和和 之值，也就是求换路前的稳态值；而当暂态之值，也就是求换路前的稳态值；而当暂态过程结束后，电路进入一种新的稳定状态，此时的稳态过程结束后，电路进入一种新的稳定状态，此时的稳态值是值是t 时的

12、值，它与时的值，它与 t=0-时的稳态值不同。稳态值是时的稳态值不同。稳态值是分析一阶电路暂态过程的重要因素。事实上，前面几章分析一阶电路暂态过程的重要因素。事实上，前面几章所讨论的电路及分析方法，均是在稳态下进行的，所求所讨论的电路及分析方法，均是在稳态下进行的，所求解均为稳态值。解均为稳态值。确定电路稳态值确定电路稳态值 f ( )的步骤如下。的步骤如下。 根据储能元件的储能状态来决定对它们的处理方法，根据储能元件的储能状态来决定对它们的处理方法，即若各储能元件已经即若各储能元件已经储满能量储满能量即：即：iC( )=0 A，则将电容元件，则将电容元件视为开路，视为开路，uL( )=0 V

13、，电感元件视为短路；，电感元件视为短路；若储能元件未若储能元件未储存能量储存能量，即，即uC( )=0 V，则将电容元件视为，则将电容元件视为短路。短路。iL( )=0 A，电感元件视为开路。，电感元件视为开路。3稳态值的确定稳态值的确定 作出储能元件处理后的等效电路，并求出此等效电路作出储能元件处理后的等效电路，并求出此等效电路中各处的电流和电压的值，即为中各处的电流和电压的值，即为 f ( )值。值。 对电路暂态过程进行分析可采用经典法。对电路暂态过程进行分析可采用经典法。所谓经典法就是根据所谓经典法就是根据激励激励、通过求解电路的微、通过求解电路的微分方程来得出电路分方程来得出电路响应响

14、应的方法。的方法。 经典法的实质是根据电路的基本定律及电经典法的实质是根据电路的基本定律及电路元件的伏安约束关系，列出表征换路后电路路元件的伏安约束关系，列出表征换路后电路运行状态的微分方程，再根据已知的初始条件运行状态的微分方程，再根据已知的初始条件进行求解，分析电路从换路时刻开始直到建立进行求解，分析电路从换路时刻开始直到建立新的稳态终止时所经历的全过程。新的稳态终止时所经历的全过程。 通常将描述电路暂态过程的通常将描述电路暂态过程的微分方程的阶数微分方程的阶数称为称为电路的阶数电路的阶数。当电路中仅含有一种储能元。当电路中仅含有一种储能元件时，所列微分方程均为一阶方程，故称此时件时，所列

15、微分方程均为一阶方程，故称此时的电路为一阶电路。的电路为一阶电路。 零输入响应零输入响应: 无电源激励无电源激励, 输输入信号为零入信号为零, 仅由电容元件的仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。初始储能所产生的电路的响应。UuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+c 换路前电路已处稳态换路前电路已处稳态uc(0-) =0充电完毕，电路达到稳态时，电容充电完毕，电路达到稳态时，电容相当于开路。相当于开路。 在在t =0时刻发生了换路，开关时刻发生了换路，开关S从从2端切换到端切换到1端，将电源端，将电源从电路上断开。之后电容器将通过电阻释放电荷，把原来储存从电路上断开。之后电容器

16、将通过电阻释放电荷，把原来储存在电容器中的电场能量释放给电阻，并转变成热能消耗掉。在电容器中的电场能量释放给电阻，并转变成热能消耗掉。根据换路定则可知：根据换路定则可知：uC(0+)= uC(0-)=U，由于无外来激励，所以，由于无外来激励，所以电容器端电压电容器端电压uC将逐渐减小，放电电流将逐渐减小，放电电流iC也逐渐减小，直到电也逐渐减小，直到电容极板上储存的电荷全部释放完毕，使容极板上储存的电荷全部释放完毕，使uC衰减到零，衰减到零，iC也衰减也衰减到零。至此，放电过程结束，电路达到一个新的稳态。到零。至此，放电过程结束，电路达到一个新的稳态。 零输入响应零输入响应: 无电源激励无电源

17、激励, 输输入信号为零入信号为零, 仅由电容元件的仅由电容元件的初始储能所产生的电路的响应。初始储能所产生的电路的响应。UuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+c代入上式得代入上式得tuCCCdd RuR 换路前电路已处稳态换路前电路已处稳态 UuC )0(t =0时开关时开关, 电容电容C 经电阻经电阻R 放电放电1S 一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程列列 KVL方程方程0 CRuu电容电压电容电压 uC 的变化规律的变化规律(t 0)0dd CCutuRCUuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+c0dd CCutuRCptAtuCe)(:通解形

18、式RCP1 特征方程特征方程 RCP+1=0RCtAtuCe)(可得时，根据换路定则 , )0()0()0(UuutCCUA RCtUuCe齐次微分方程的通解：齐次微分方程的通解：UuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+cRCtUuCeRC 令令:sVAs UUuC008 .36e1 t当当 时时008 .36 时间常数时间常数等于电压等于电压Cu衰减到初始值衰减到初始值U0 的的所需的时间。所需的时间。tRCtUUuCeeUuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+cRC 令令:sVAs UUuC008 .36e1 t当当 时时008 .36 时间常数时间常数等于电压等于

19、电压Cu衰减到初始值衰减到初始值U0 的的所需的时间。所需的时间。tRCtUUuCee0Cu t0Cu )53( tUuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+cRC 令令:sVAs tRCtUUuCeet2 3 4 5 6 uc0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0.002 、 RCui 、CuUuC )0(+-SRU21+ CiCu0 tRu+ctRCtUUuCee电阻电压：电阻电压：RCtURiuCR eRCtRUtuCiCC edd放电电流放电电流 CuCiRutO 【例】 在图(a)所示的电路中，换路前电路已处于稳态。求t 0后的i1(t), i2(t)

20、, i3(t)。解：因为t=0-时电路已处于稳态，其等效电路如图 (b)所示。12CSS1260 301800(0 )120 V603090 RRuIRIRR30CC(0 )(0 )20 Vuu作出t =0+的等效电路如图(c)所示 【例】 在图(a)所示的电路中，换路前电路已处于稳态。求t 0后的i1(t), i2(t), ic(t)。CC(0 )(0 )20 Vuu当t, uc()=0V。即电容要经R1及R2 放电至零。CC( )(0 ) eVtutu64121220 25 105 10sRRR CCRR3210C( )20 etut 【例】 在图(a)所示的电路中，换路前电路已处于稳态。

21、求t 0后的i1(t), i2(t), ic(t)。CC(0 )(0 )20 Vuu当t, uc()=0V。即电容要经R1及R2 放电至零。CC( )(0 ) eVtutu64121220 25 105 10sRRR CCRR3210C( )20 etut32 10CC( )(0 )eeA tti ti1 【例】 在图(a)所示的电路中，换路前电路已处于稳态。求t 0后的i1(t), i2(t), ic(t)。3210C( )20 etut32 10C11( )1( )eA3 tuti tR32 10222( )(0 ) eeA3 tti tiic(t)=-i1(t)+ i2(t)342 10

22、CC5 10Cd( )(0 )20( )eeeAd20 tttutuitCtR342 10CC5 10Cd( )(0 )20( )eeeAd20 tttutuitCtRCC( )(0 ) eVtutuUutuRCCC dd一阶线性常系数一阶线性常系数非齐次微分方程非齐次微分方程UuuCR 列列 KVL方程方程uC (0 -) = 0sRU+_C+_i0tucUuC即： , 代入方程设：KuCRCtCCCAeUuuu Cu特解特解 - UutuRCCCddUKtKRCdd解得：解得：K = U UutuCC)()(uC (0 -) = 0sRU+_C+_i0tucCu tAUuuuCCC e0d

23、d CCutuRC即：即： 的解的解）（令令RC RCtptAAuC ee其其解解：0)0( Cu根据换路定则在根据换路定则在 t=0+时，时，tUUuuuCCC e0e0AU即：则则 A = -UuC (0 -) = 0sRU+_C+_i0tuc暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量电路达到电路达到稳定状态稳定状态时的电压时的电压-UCu Cu+UCu仅存在仅存在于暂态于暂态过程中过程中 63.2%U-36.8%UtCuo)0()() e1e1( ttRCtUUuC tUUuuuCCC euC (0 -) = 0sRU+_C+_i0tucCiCutCuCi当当 t = 时时UeUuC%2 .63)

24、1()(1 0 edd tRUtuCitCC URU)0()( e1ttUuC)e1 (e 0RCtRCtUUuCuC (0 -) = U0sRU+_C+_i0tuC )e( 0RCtUUU稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量 )e( 0RCtUUUu c稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量初始值初始值利用求三要素的方法求解暂态过程，称为利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法三要素法RCtCCCCuuuu e)()0()( tffftf e)()0()()( tffftf e)()0()()(f (0+)：是针对换路后的瞬间；：是针对换路后的瞬间； f ()：是针对换路后的稳态；：是针对换路后的

25、稳态； ：是针对换路后的无源网络。：是针对换路后的无源网络。 的求解方法：去源等效法。的求解方法：去源等效法。 首先将换路后的有源网络转换成无源网络首先将换路后的有源网络转换成无源网络(即：凡是恒即：凡是恒压源均短路，凡是恒流源均开路；电路结构保持不变压源均短路，凡是恒流源均开路；电路结构保持不变)。 从任一从任一储能元件的两端储能元件的两端往里看，求出等效的往里看，求出等效的R值即可。值即可。f (0+)：对储能元件对储能元件)0()0(CCuu)0()0(LLiif ()：储能元件稳定后的状态。：储能元件稳定后的状态。例 在图中，换路前已处于稳态。t = 0时将开关S从a挡打到b挡。 求t

26、 0后的i(t) uC(t) ，并画出化曲线。解：3C11350(0 )150125 V1050RuURR因 t = 0- 时有CC(0 )(0 )125 Vuu2C2(0 )50 125(0 )1.25 A60 UuiR22350( )0.45 A6050 UiRRC3( )( )0.45 5022.7 V uiR6232313 6 10sRRRCC.RRV125)0(cu例在图中，换路前已处于稳态。t = 0时将开关S从a挡打到b挡。 求t 0后的i(t) uC(t) ，并画出化曲线。解：3C11350(0 )150125 V1050RuURR因 t = 0- 时有CC(0 )(0 )125 Vuu2C2(0 )50 125(0 )1.25 A60 UuiR22350( )0.45 A6050 UiRRC3( )( )0.45 5022.7 V uiR6232313 6 10sRRRCC.RRAiC25. 1)0(V125)0 (CuV7 .22)(CuAiC45.0)(s6106 .13例 在图中，换路前已处于稳态。t = 0时将开关S从a挡打到b挡