2022年4函数的单调性---拔高难度---讲义

1、精品资料欢迎下载函数的单调性知识讲解一、函数单调性的定义1.定义如果函数fx对区间d内的任意12,xx，当12xx时都有12fxfx，则称fx在d内是增函数；当12xx时都有12fxfx，则fx在d内时减函数2.等价形式设12,x xa b，那么12120fxfxfxxx在,a b是增函数；12120fxfxfxxx在,a b是减函数；12120 xxfxfx( )f x在,a b是减函数3.应用即若( )f x在区间d上递增（递减）且1212()()f xf xxx（1x2,xd） ；若( )f x在区间d上递递减且1212()()f xf xxx （1x2,xd） 1.比较函数值的大小2.

2、可用来解不等式3.求函数的值域或最值等精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载二、单调性判别1.判断前注意讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2.用于判断的方法定义法：用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx

3、作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号：确定差12()()f xf x（或21()()f xf x）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间子区间法： 如果( )f x在区间d上是增（减）函数，那么( )f x在d的任一非空子区间上也是增（减）函数；图象法：复合性质法： 复合函数的单调性结论：“ 同增异减 ” ；运算性质法： 在公共定义域内增函数( )f x增函数( )g x 是增函数；减函数( )f x减函数( )g x是减函数；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

4、 - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载增函数( )f x减函数( )g x是增函数；减函数( )f x增函数( )g x是减函数特殊函数： 函数(0,0)byaxabx在,bbaa或上单调递增；在,00bbaa或，上是单调递减精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

5、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载经典例题一解答题（共16 小题）1 （2013 秋?临淄区校级月考）画出函数y=x2| x| 的图象并指出其单调区间【解答】 解：由已知可得 y=| x|2| x| ，该图象可由 y=x2x 的图象保留 y 轴右边的部分，并作关于y 轴的对称可得由图象可得函数在（ ，）单调递减，（，0）单调递增，（0， ）单调递减，（ ，+）单调递增2 （2015 秋?长宁区校级期末）已知函数，求：（1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象；（2）写出函数的单调区间精品学

6、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载【解答】 解： （1）由| 2x| 10，可得 x ，函数的定义域为 x| x ；f（x）=，函数是偶函数；图象如图所示；（2）函数的单调递增区间为（， ） ， （ ，0） ；单调递减区间为（ 0， ） ， （ ，+） 3 （2013?利通区校级一模）已知函数f（x）=x| x2| 精品学习资

7、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载（）写出 f（x）的单调区间；（）解不等式 f（x）3；（）设 0a2，求 f（x）在 0，a 上的最大值【解答】 解： （1）函数 f（x）=x| x2| =f（x）的单调增区间是（ ，1 和 2，+） ；单调减区间是 1，2 （2） 不等式 f （x） 3， 即 x| x2| 3， ，或，2x

8、3 或 x2，不等式 f（x）3 的解集为 x| x3 （3）当 0a1 时，f（x）是 0，a 上的增函数，此时f（x）在 0，a 上的最大值是 f（a）=a（2a） 当 1a2 时，f（x）在 0，1 上是增函数，在 1，a 上是减函数，此时， f（x）在 0，a 上的上的最大值是f（1）=1综上，当 0a1 时，此时 f（x）在 0，a 上的 上的最大值是f （a） =a （2a） 当 1a2 时，f（x）在 0，a 上的 上的最大值是 14 （2016 秋?延川县校级月考）已知函数f（x）=| x24x+3| （1）求函数 f（x）的单调区间，并指出其增减性；精品学习资料 可选择p d

9、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载（2）求集合 m=m| m 使方程 f（x）=mx有四个不相等的实根 【解答】 解： （1）f（x）=| （x2）21| ，函数图象如图，f（x）的单调递增区间是 （1，2） ， （3，+） ，单调递减区间是 （，1） ， （2，3） ；（2）由图象，考虑 y=mx与抛物线相切时， m=42，y=mx与图象有四个

10、交点，0m42， 即使方程 f （x） =mx有四个不相等的实根时， 0m42，m= m| 0m42 5 （2017?禹王台区校级学业考试）证明函数在 1，+）上是增函数【解答】 证明：任取 x1，x2 1，+）且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=（）=（x1x2） （5 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载x1x

11、20，x1x210，x1x20f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） f（x）在 1，+）上单调递增； （10 分）6 （2017 秋?浦东新区期末）判断并证明函数f（x）=在区间（ 1，0）上的单调性【解答】 解：根据题意，函数f（x）=在区间（ 1，0）上单调递增，证明如下：设 1x1x20，则 f（x1）f（x2）=，又由 1x1x20，则 x2x10，x2+x10，x1210，x2210，则有 f（x1）f（x2）0，则函数 f（x）=在区间（ 1，0）上单调递增7 （2017 秋?河东区期中）判断并证明f（x）=在（0，+）的单调性【解答】 解：函数 f（x）在（ 0，+）

12、递增，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载证明如下：由 f（x）=1，令 x1x20，则 f（x1）f（x2）=11+=，x1x20，x1x20，x1+x20，+10，+10，故 f（x1）f（x2）0，故 f（x）在（ 0，+）递增8 （2017 秋?铜梁区校级月考）已知函数，x 5，2 （1）利用定义法判断函数的单调性

13、；（2）求函数值域【解答】 解： （1）任取 x1，x2 5，2 ，且 x1x2，则=，由 x1x20，x1+10，x2+10，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ，所以 y=f（x）在 5，2 上单调递增（2）由（ 1）知，f（x）max=f（2）=6，所以函数 y

14、=f（x）的值域为 ，6 9 （2017 秋?鄱阳县校级期中）证明函数在 r上为增函数【解答】 解：法 1：f（x）=1，y=2x+1 是 r上的增函数，y=是 r上的减函数，y=是 r上的增函数，则 f（x）是 r上的增函数法 2：任取 x1，x2r，且 x1x2，则 f（x1）f（x2）=，x1x2，则 f（x1）f（x2）0，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页

15、- - - - - - - - -精品资料欢迎下载即 f（x1）f（x2） ，函数 f（x）在 r上为增函数10 （2016 秋?南岗区校级期末）已知函数f（x）=，x 1，+） ，且a1（1）判断 f（x）的单调性并证明；（2）若 m 满足 f（3m）f（52m） ，试确定 m 的取值范围【解答】 解： （1）函数 f（x）=x+a+ ，x 1，+） ，且 a1，当 x1 时，f （x）=10，故函数 f（x）在 1，+）上单调递增（2）若 m 满足 f（3m）f（52m） ，结合函数 f（x）在 1，+）上单调递增，可得 3m52m1，求得 1m2，故实数 m 的取值范围为（ 1，2 11

16、 （2017 春?红岗区校级期末） 已知函数 f（x）=ax22ax+2+a （a0） ，若 f（x）在区间 2，3 上有最大值 1（1）求 a 的值；（2）若 g（x）=f（x）mx在 2，4 上单调，求数 m 的取值范围【解答】 解： （1）因为函数的图象是抛物线，a0，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载所以开口

17、向下，对称轴是直线x=1，所以函数 f（x）在 2，3 单调递减，所以当 x=2时，ymax=f（2）=2+a=1，a=1（5 分）（2）因为 a=1，f（x）=x2+2x+1，所以 g（x）=f（x）mx=x2+（2m）x+1，的图象开口向下，对称轴为直线，g（x）在 2，4 上单调，或，从而 m6，或 m2所以， m 的取值范围是（ ，6 2，+）（ 10分） ，12 （2017 秋?碑林区期中）设函数f（x）=，其中 ar（1）若 a=1，f（x）的定义域为区间 0，3 ，求 f（x）的最大值和最小值；（2）若 f（x）的定义域为区间（ 0，+） ，求 a的取值范围，使 f（x）在定义域

18、内是单调减函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载【解答】 解：f（x）=a，设 x1，x2r ，则 f（x1）f（x2）=（1）当 a=1 时，f（x）=1，设 0 x1x23，则 f（x1）f（x2）=，又 x1x20，x1+10，x2+10，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） f（x）在 0，3 上是增

19、函数，f（x）max=f（3）=1 = ，f（x）min=f（0）=1 =1（2）设 x1x20，则 x1x20，x1+10，x2+10若使 f（x）在（ 0，+）上是减函数，只要f（x1）f（x2）0，而 f（x1）f（x2）=，当 a+10，即 a1 时，有 f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） 当 a1时，f（x）在定义域（ 0，+）内是单调减函数13 （2018 春?杜集区校级月考）对于区间 a，b 和函数 y=f（x） ，若同时满足：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - -

20、- -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载f（x）在 a，b 上是单调函数； 函数 y=f（x） ，x a，b 的值域还是 a，b ，则称区间 a，b 为函数 f（x）的“ 不变” 区间（1）求函数 y=x2（x0）的所有 “ 不变” 区间（2）函数 y=x2+m（x0）是否存在 “ 不变” 区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由【解答】 解： （1）易知函数 y=x2（x0）单调递增，故有，解得 a=0或 1，b=0或 1，又 ab，所以函数 y

21、=x2（x0）的“ 不变” 区间为 0，1 （2）易知函数 y=x2+m（x0）单调递增，若函数y=x2+m（x0）存在 “ 不变” 区间，则有 ba0，且，消去 m 得 a2b2=ab，整理得（ ab） （a+b1）=0因为 ab，所以 a+b1=0，即 b=1a又由 ba0，得 1aa0， 所以，综上，当时，函数 y=x2+m（x0）存在 “ 不变” 区间14 （2017 秋?覃塘区校级月考）已知定义在（1，1）上的函数 f（x）是减函精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -精品资料欢迎下载数，且 f（a1）f（2a） ，求 a 的取值范围【解答】 解：依题意得解得 15 （2017 秋?汉源县校级月考）已知y=f（x）在定义域（ 1，1）上是减函数，且 f（1a）f（2a1） ，求 a 的取值范围【解答】 解：y=f（x）在