第一节三角函数的图像与性质

1、专题三三角函数、三角变换、解三角形与平面向量§1三角函数的图象与性质真题热身1(2011·大纲全国)设函数f(x)cos x(>0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于()A B3 C6 D9解析由题意可知，nT(nN*)，n·(nN*)，6n(nN*)，当n1时，取得最小值6.2(2011·天津)已知函数f(x)2sin(x)，xR，其中>0，<.若f(x)的最小正周期为6，且当x时，f(x)取得最大值，则 ()Af(x)在区间2，0上是增函数 Bf(x)在区间3，上是增函数Cf(x)在区间

2、3，5上是减函数 Df(x)在区间4，6上是减函数解析T6，×2k(kZ)，2k(kZ)<，令k0得.f(x)2sin()令2k2k，kZ.则6kx6k，kZ.显然f(x)在2，0上是增函数，故A正确；而在3，上为减函数，在，上为增函数，故B错误；f(x)在3，上为减函数，在，上为增函数，故C错误；f(x)在4，6上为增函数，故D错误3(2011·江西)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_.解析因为sin ，所以y<0，且y264，所以y8.4.(2011·江苏)函数f(x)Asin(x)(A，为

3、常数，A>0，>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是_解析由题图知A，T，2.2×2k，kZ.2k，kZ.令k0，得.函数解析式为f(x)sin(2x)，f(0)sin .考点整合1任意角的三角函数(1)设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2正弦、余弦、正切的图象性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴：xk(kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)

4、对称中心：(kZ)周期22单调性单调增区间2k，2k(kZ)；单调减区间2k，2k (kZ)单调增区间2k，k(kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间(k，k)(kZ)奇偶性奇偶奇3yAsin(x)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设Xx，X取0，2来求相应的x值、y值，再描点图(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是，一般是从“五点法”中的第一点(，0)作为突破口(3)在用图象变换作图时，一般按照先平移后伸缩不出错，但考题中也有先伸缩后平移的，无论是哪种变形，切记每个变换总对字母x而言(4)把函数式化为yAsin(x)的形式，然后用基本三角函数的单调性求解时，要注意A、

5、的符号及复合函数的单调性规律：同增异减分类突破一、三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用例1如图，以Ox为始边作角与(0<<<)，它们终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为(，)(1)求的值；(2)若·0，求sin()解(1)由三角函数定义得cos ，sin ，原式2cos22×()2.(2)·0，sin sin()cos ，cos cos()sin .sin()sin cos cos sin ×()×.归纳拓展三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础有时，直接考查利用定义求值、判断三角函数

6、值的符号，利用诱导公式和同角的三角函数关系式进行化简、求值和证明有关问题；有时作为工具在大题中考查三角函数的概念与同角三角函数的基本关系和诱导公式，其中，诱导公式往往扮演统一角的角色，同角三角函数间的基本关系扮演统一函数名称的角色，因此要特别重视【变式训练1】 已知点P(sin ，cos )落在角的终边上，且0,2)，则的值为 ()A. B. C. D.解析tan 1，又sin >0，cos <0，为第四象限角且0,2)，故选D.二、三角函数yAsin(x)的图象及解析式例2函数yAsin(x)(A>0，>0，|<)的一段图象(如图所示)，求其解析式解设函数的周期

7、为T，则T，T，2.又由2×2k(kZ)，2k(kZ)，又|，.函数解析式为yAsin(2x)又图象过点(0，)，Asin ，A，A2.所求函数的解析式为y2sin(2x)归纳拓展已知函数图象求函数yAsin(x)(A>0，>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，再由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，否则的值不确定，解析式也就不唯一将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x002k(kZ)，其他依次类推即可【变式训练2】右图是函数y

8、Asin(x)(xR)在区间，上的图象为了得到这个函数的图象，只要将ysin x(xR)的图象上所有的点 ()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析由图象可知A1，T()，2.ysin(2x)(xR)图象过点(，0)，sin()0，2k，kZ，2k，kZ.ysin(2x2k)sin(2x)故将函数ysin x先向左平移个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短

9、到原来的倍，纵坐标不变，可得原函数的图象答案A三、三角函数的性质例3已知函数f(x)sin x·sin(x)cos2(3x)(xR)(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标解f(x)sin xcos xcos2xsin 2x×sin 2xcos 2xsin(2x)(1)f(x)的最小正周期：T.(2)由2k2x2k(kZ)，知kxk(kZ)，f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.(3)由2xk(kZ)得对称轴方程为x(kZ)由2xk(kZ)得x(kZ)，故对称中心坐标为(，0)(kZ)归纳拓展(1)求三角

10、函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为yAsin(x)的形式，然后再求解(2)对于形如yasin xbcos x型的三角函数，要通过引入辅助角化为ysin(x)(cos ，sin )的形式来求【变式训练3】已知函数f(x)a(2cos2sin x)b.(1)当a1时，求f(x)的单调递减区间；(2)当a<0，x0，时，f(x)的值域是5,8，求a，b的值解(1)a1，f(x)(2cos2sin x)b(sin xcos x1)bsin(x)1b.ysin x的单调递增区间是2k，2k，kZ，当2kx2k，即2kx2k，kZ时f(x)

11、是减函数，f(x)单调递减区间是2k，2k，kZ.(2)由(1)得f(x)asin(x)ab.x0，x，sin(x)1.a<0，aasin(x)a，aabf(x)b，f(x)的值域是5,8，即a33，b8.规范演练1(2010·全国)记cos(80°)k，那么tan 100°等于()A. B C. D解析cos(80°)k，cos 80°k，sin 80°.tan 80°.tan 100°tan 80°.2将函数ysin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ()Ay

12、cos 2x By2cos2x Cy1sin(2x) Dy2sin2x解析将函数ysin 2x的图象向左平移个单位，得到函数ysin2(x)，即ysin(2x)cos 2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y1cos 2x2cos2x.3(2011·辽宁)已知函数f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分图象如图所示，则f()_.解析由图形知，T2()，2.由2×k，kZ，得k，kZ.又|，.由Atan(2×0)1，知A1，f(x)tan(2x)，f()tan(2×)tan .4存在(0，)使sin cos ；存在

13、区间(a，b)使ycos x为减函数且sin x<0；ytan x在其定义域内为增函数；ycos 2xsin(x)既有最大、最小值，又是偶函数；y|sin(2x)|的最小正周期为，以上命题错误的为_(填序号)解析当(0，)时，sin cos >1，故错；若ycos x为减函数，则x2k，2k，kZ，此时sin x>0，故错；当x分别取，2时，y都是0，故错；ycos 2xsin(x)2cos2xcos x1，既有最大、最小值，又是偶函数，故对；y|sin(2x)|的最小正周期为，故错5在平面直角坐标系xOy中，点P(，cos2)在角的终边上，点Q(sin2，1)在角的终边上，且·.(1)求cos 2的值；(2)求sin()的值解(1)因为·，所以sin2cos2，即(1cos2)cos2，所以cos2，所以cos 22cos21.(2)因为cos2，所以sin2，所以点P(，)，点Q(，1)又点P(，)在角的终边上，所以sin ，cos .同理sin ，cos ，所以sin()sin cos cos sin ××().6函数yAsin(x) (A>0，>0，|<)的一段图象如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)将函数yf(x)的图