第六章刚体动力学

1、转动动能转动动能212kEJJ 为刚体对一定轴的为刚体对一定轴的转动惯量转动惯量University physics AP Fang转动惯量的计算转动惯量的计算质量不连续分布质量不连续分布2iizrmJ质量连续分布质量连续分布VmrJd2(2) 当刚体质量一定，当刚体质量一定，J 与质量分布有关与质量分布有关转动惯量的三个要素转动惯量的三个要素(1) J 与刚体的总质量有关与刚体的总质量有关(3) J 与转轴的位置有关与转轴的位置有关结论：结论：刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、大小、密度刚体的转动惯量与刚体的质量、形状、大小、密度和转轴的位置均有关。和转轴的位置均有关。 国际单位制：国际单位

2、制：2mkg 平行轴定理平行轴定理zLCMz2MLJJz zUniversity physics AP Fang对薄平板刚体的垂直轴定理对薄平板刚体的垂直轴定理zyxJJJ y rix z yi xi mi o力矩力矩定义：定义： 力力 F 的大小与的大小与 O 点到点到 F 的的作用线间垂直距离作用线间垂直距离 h 的乘积的乘积FhFMz)(矢量式矢量式FrMzz OPrFhzMsinFrUniversity physics AP Fang力对点的力矩力对点的力矩FrMO力对定轴的力矩力对定轴的力矩F rMZO .FroMA(1) 力对任意点的力矩，在通过该点的任一轴上的投影，力对任意点的力

3、矩，在通过该点的任一轴上的投影，等于该力对该轴的力矩。等于该力对该轴的力矩。(2) 力矩随参考点而变力矩随参考点而变University physics AP Fang在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算 zzJM 刚体的转动定律刚体的转动定律作用在刚体上所有的外力对作用在刚体上所有的外力对定轴定轴 z 轴的力矩的代数和轴的力矩的代数和刚体对刚体对 z 轴轴的转动惯量的转动惯量刚体绕刚体绕 z 轴转动轴转动的角加速度的角加速度例例3：一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动。初始时它在

4、水平位置，面内转动。初始时它在水平位置，求：求：它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 ， 以及棒受轴的力。以及棒受轴的力。 Olm Cx解：解：2lmgM 下摆过程中，下摆过程中，？xdmggxdmM取质元取质元Cmxxdm CmgxM 重力对整棒的合力矩等于重力重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。全部集中于质心所产生的力矩。dmcosmglM21lcosgmlcosmglJM233212 由转动定律：由转动定律：dtddd1F2FmgUniversity physics AP Fang0023dlcosgdlsing32 法向加速度法向加速度 切向加速度切向加速度2322s

5、inglan432cosgla231sinmgmasinmgFncosmgmaFcosmg4321994122221sinmgFFF)FF(arctg12Olm Cxdm1F2FmgUniversity physics AP Fang6-3 力矩的功力矩的功 动能定理动能定理 机械能机械能一、力矩的功一、力矩的功OrF rrdd 功的定义功的定义ddcosdAFsFrcosdFrdrF力矩作功的力矩作功的微分形式微分形式对一有限过程对一有限过程21dMA若若 M = C)(12 MA(积分形式积分形式)dM力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应.PUniversity p

6、hysics AP Fang 力矩功的矢量式力矩功的矢量式21AM d k 功率功率 dAd kPMMdtdtPF v 讨论：讨论： 合力矩的功合力矩的功 iiiiiiAMMA2121dd 力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。 内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。二、转动动能定理二、转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果)21d(2JddMA d)ddd(JtJUniversity physics AP Fang对于一有限过程对于一有限过程2121)21d(d2JAA21222121JJkE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过

7、程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的轴转动刚体的动能定理动能定理讨论：讨论：当当1212力矩作正功力矩作正功 A 0 当当力矩作负功力矩作负功 A 0 University physics AP Fang例：例：一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解：解：cos21mglM 00dcos2dmglMA由动能定理由动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ 21)sin3(/lg求

8、：求：它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCxmgUniversity physics AP Fang三、刚体的机械能三、刚体的机械能 转动动能转动动能221JEK2222121mlJC222121CCKmvJE2mlJJCz 质心携带总质量绕定轴作圆运动的动能质心携带总质量绕定轴作圆运动的动能 刚体绕质心转动的动能刚体绕质心转动的动能 刚体重力势能刚体重力势能CycyimiEp=0 各质元重力势能之和各质元重力势能之和iiPigymE取任意质元取任意质元iiPgymECiimgymymmg质心质心University ph

9、ysics AP Fang 刚体的机械能刚体的机械能CPKmgyJEEE221 定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理KPEd)MM(MdA重力矩的功重力矩的功PPEdM)Jmgy()Jmgy(dMCC2112222121除重力以外的其除重力以外的其它外力的合力矩它外力的合力矩 机械能守恒定律机械能守恒定律CJmgyMC2210 重力场中刚体转动的动能定理重力场中刚体转动的动能定理University physics AP Fang图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转装在转动架上，转轴动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的

10、一端缠绕的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。的重物。重物下落时，由绳带动被测物体重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕绕 Z 轴转动。今测得轴转动。今测得重物由静止下落一段距离重物由静止下落一段距离 h，所用时间为，所用时间为t，例：例：解：解： 01PE01kE22222/J/mEZkv)2()(222r/JmrZv分析分析(机械能机械能) mghEP2求：求：物体物体A对对Z 轴的转动惯量轴的转动惯量Jz。设绳子。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。处的摩擦力矩忽略

11、不计。University physics AP Fang)(2222ZJmrrmghv)(21dd2dd22ZJmrrtthmgvvatthddddvv，) 12(22hgtmrJZ22222121tJmrmgrathZ常量ZJmrmgra22若滑轮质量不可忽略，怎样？若滑轮质量不可忽略，怎样？0)2()(222r/JmrmghZv机械能守恒机械能守恒University physics AP Fang6-4 动量矩动量矩 动量矩定理动量矩定理 动量矩守恒定律动量矩守恒定律一、质点动量矩定理和动量矩守恒定律一、质点动量矩定理和动量矩守恒定律质点的动量矩质点的动量矩PO LrPrmv质点相对定

12、质点相对定点点O的位矢的位矢大小：大小：sinmrvsinrpLLr方向：右手法则方向：右手法则mvOOLrvm当质点在平面内运动时当质点在平面内运动时只有两个取向只有两个取向LOL特例：特例：质点作圆周运动质点作圆周运动vmrL 视为代数量视为代数量University physics AP Fang(1) 质点的动量矩取决于质点的动量矩取决于质点的动量质点的动量位矢位矢 取决于固定点的选择取决于固定点的选择说明说明(2)只要质点的位矢相对于参考点旋转，质点都有动量矩只要质点的位矢相对于参考点旋转，质点都有动量矩 动量矩随参考点而变动量矩随参考点而变(3)当质点作平面运动时，质点对运动平面内

13、某参考点当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的的 动量矩也称为质点对过动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩垂直于运动平面的轴的动量矩OLOOLO rPS(4)与力矩类似与力矩类似质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过该点在通过该点的任意轴上的投影就等于质点对的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩该轴的动量矩(5)区分动量和动量矩区分动量和动量矩University physics AP FangmzaOa x解：解：amv L RsinrmvsinrpL定义定义amRsinma2 LLsinma L2质点系对质点系对 O 点的点的 L大小为大小为sinma L LL22例例1：两个质量均为两个质量均为 m 的质点，用一根长为的质点，用一根长为 2 a 的质量可忽略的质量可忽略不计的轻杆连接，构成质点系。不计的轻杆连接，构成质点系。求：求：质点系对固定点质点系对固定点 O 的动量矩？的动量矩？当两质点绕一固定轴当两质点绕一固定轴 z 转动时，转动时，角速度为角速度为 。LRUniversity physics AP FangUniversity physics AP Fan