高等数学：6(3) 定积分在物理学上的应用

1、1变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功水压力水压力引引 力力小结小结 思考题思考题 作业作业 第三节第三节 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功 如果一如果一常力常力F作用于一物体使其沿直线移作用于一物体使其沿直线移动了距离动了距离s, 那么就说力对这一物体作了功那么就说力对这一物体作了功, 且且所作功所作功积分得到总功的表达式积分得到总功的表达式.sFW 如果计算功时如果计算功时力或距离是变化力或距离是变化的的, 则需要则需要在某一变量的小区间上求出功元素在某一变量的小区间上求出功元素,然后求定然后求

2、定定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用3设物体在变力设物体在变力F(x)作用下沿作用下沿x轴从轴从ax 移动到移动到, )(babx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, , 求变力所求变力所做的功做的功. .在在,ba上任取小区间上任取小区间, d,xxx 在其上所作的在其上所作的功元素功元素xxFWd)(d 因此变力因此变力F(x)在区间在区间 ,ba上所作的功为上所作的功为 W定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用xaxxFd)( badxxxb4例例ro q a b,bar rrd 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用取任一小区间取任一小区间,d,rrr

3、 取取r为积分变量为积分变量,单位正电荷沿直线从距离点电荷单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b处处 (a b) , ,求电场力所作的功求电场力所作的功. .解解 当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点时时, ,2rqkF 一个一个电场力为电场力为 1 r 功元素功元素,dd2rrkqW 所求功所求功barkq 1.11 bakq ba Wrrkqd2说明说明处的电位为处的电位为 rrqkd2a 电场在电场在1 库仑定律库仑定律在一个带在一个带+q电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下, ,rk qara5kgm20,28质质量量为为一一长长为为顶部顶部28m解解 建立

4、坐标系建立坐标系.oxy链条密度链条密度上上在在28, 0 ,d x xx此上对应的链条质量d(d )Wgxx 功功元素元素例例).(752820mkg ,dx xxgd75 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用 xgxWd75.是焦耳是焦耳J总功总功)(2744J028的均匀链条被悬挂的均匀链条被悬挂于一建筑物顶部于一建筑物顶部(如图如图), 问需要作多大的功才能问需要作多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物顶部把这一链条全部拉上建筑物顶部.取任一小区间取任一小区间xxd x ,d ,x xx6xxd 53xoy米米的的圆圆柱柱形形水水桶桶中中高高为为米米在在底底半半径径为为5,3解解

5、 建立坐标系建立坐标系.x.10003米米千克千克水的密度为水的密度为 设想水分层抽出设想水分层抽出,上上在在区区间间5 , 0,d,xxx 把它提到桶口所作功把它提到桶口所作功近似地等于近似地等于 Wd 功功元素元素例例 )d3(2xgxxgd32 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用存满水存满水,要把桶内的水全部吸出要把桶内的水全部吸出,求所作的功求所作的功.与之对应与之对应x总功总功 W)(112500焦焦耳耳 g 任取小区间任取小区间的水层质量的水层质量xxgd32 5023 d , x7如水如水离桶边离桶边1米处米处?xxd 51xoyx法一法一xxgWd32 到桶口距离到桶

6、口距离法二法二xxd xoyxxxgWd)1(32 1 42d3 dWgx152d3 dWgx04定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用x )1( x8二、水压力二、水压力 在很多实际问题要求计算液体作用于一在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力物体表面上的侧压力.如如,水坝或闸门的压力水坝或闸门的压力.当压强为常数时当压强为常数时,压力压力=压强压强面积面积,当物当物体表面位于液体中时体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是不同深度所受的压强是故往往需要用定积分计算液体对表面故往往需要用定积分计算液体对表面因而采用因而采用“元素法元素法”思想思想.的侧压力的侧压力.定积分

7、在物理学上的应用定积分在物理学上的应用不同的不同的,9解解 在端面在端面建立坐标系建立坐标系., 0Rx xxxd xxRd222 ,xp xoyR取取x为积分变量为积分变量,取任一小区间取任一小区间d,xxx 小矩形片上各处的压强小矩形片上各处的压强近似相等近似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用一个横放着的圆柱形水桶一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水桶内盛有半桶水,例例设桶的底半径为设桶的底半径为R,水的比重为水的比重为, 计算桶的一端面计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力.如图如图 xP d小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为xxRd

8、222 端面上所受的端面上所受的压力压力 P.323R xxRxd222 R0桶内盛满水桶内盛满水?10解解 建立坐标系建立坐标系.oxyC(0,3)D(10,1)CD的方程的方程351 xyxxxPd3512d 压力元素压力元素 xxxPd3512 例例)(1633 千牛千牛 010定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用设某水渠的闸门与水面垂直设某水渠的闸门与水面垂直,水渠的横截面水渠的横截面是等腰梯形是等腰梯形.当水灌满时当水灌满时,求闸门所受的水压力求闸门所受的水压力.如闸门在水下两米如闸门在水下两米?xxxd 2,6,10,下底为 米 上底为 米 高为米11质量分别为质量分别为m

9、M ,的质点的质点, , r M mr二者间的引力二者间的引力: :大小大小2rmMkF 方向方向沿两质点的连线沿两质点的连线三、引力三、引力定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用相距相距则要用定积分计算则要用定积分计算.采用采用“元素法元素法”思思想想.如果要计算如果要计算一根细棒对一个质点的引力一根细棒对一个质点的引力,那么那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能故不能用上述公式计算用上述公式计算.12质质点点与与该该端端距距离离.计计算算细细杆杆对对质质点点的的引引力力在在杆

10、杆一一端端长长为为线线密密度度为为有有一一均均匀匀细细杆杆,l ,的的质质点点的的延延长长线线上上有有质质量量为为m.a为为解解建立坐标系建立坐标系.xom.x x+dx,d, 0 xxxl 上上任任取取小小区区间间在在,可可近近似似地地看看成成质质点点引引力力近近似似地地等等于于 Fd 引力元素引力元素 2)(dxlaxkmF 是否可建立其它坐标系是否可建立其它坐标系?例例的的细细杆杆长长为为 xd,dx 其其质质量量为为它它与与质质点点的的2rMmkF 2)(xla k m)(laamlk 0lxd lal xla 法一法一定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用13质质点点与与该该端

11、端距距离离.计计算算细细杆杆对对质质点点的的引引力力在在杆杆一一端端长长为为线线密密度度为为有有一一均均匀匀细细杆杆,l ,的的质质点点的的延延长长线线上上有有质质量量为为m.a为为例例xoxl.ma引力元素引力元素法二法二 Fd2)(ax k mxd 2)(daxxkmF )(laamlk 0l法三法三xoxxd xxd x.mala ax x引力元素引力元素 Fdkxd m2x 2dxxkmF la a)(laamlk 2rMmkF 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用14质质点点与与该该端端距距离离.计计算算细细杆杆对对质质点点的的引引力力在在杆杆一一端端长长为为线线密密度度为为

12、有有一一均均匀匀细细杆杆,l ,的的质质点点的的延延长长线线上上有有质质量量为为m.a为为例例法四法四.mxol xxd xaxa 引力元素引力元素 Fd2)(xa k mxd 2)(dxaxkmF l 0)(laamlk 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用15 xyoMa)(m2l2l 解解 建立坐标系建立坐标系. 2,2lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 取取 y为积分变量为积分变量,取任一小区间取任一小区间d,yyy 有一长度为有一长度为, l线密度为线密度为 的均匀细棒的均匀细棒, 在其在其中垂线上距棒中垂线上距棒a

13、单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M,计算该棒对质点计算该棒对质点M的引力的引力.例例小段与质点的距离为小段与质点的距离为22yar 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用16 细杆对质点细杆对质点引力元素引力元素 22ddyaymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(d2322yayamk 23)(d22yayamkFx ,)4(22122laalkm 引力在铅直方向分力为引力在铅直方向分力为. 0 yF xyoMa2l2l rydyy xFd cosd FFdFyaad22 taytan 设设)cos( 22cosyaa 对称性对称性2l2l 2rMmkF )(

14、m定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用17和引力等物理问题和引力等物理问题(注意熟悉相关的物理知识注意熟悉相关的物理知识)四、小结四、小结利用利用“元素法元素法”的的思想思想求变力沿直线作功、求变力沿直线作功、水压力水压力定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用18泥后泥后提出井口提出井口, ,已知井深已知井深30m, ,抓斗自重抓斗自重400 N, ,缆绳缆绳 为为清除井底污泥清除井底污泥, ,用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底, ,抓起抓起污污每每米重米重50N,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为提升速度为3ms, ,在提升在提升过程中过程中, ,污

15、泥以污泥以20Ns的速度从抓的速度从抓斗缝隙中漏掉斗缝隙中漏掉, ,现将抓起污泥的抓现将抓起污泥的抓斗提升至井口斗提升至井口, ,问克服重力需作多问克服重力需作多少焦耳少焦耳( J )功功? ? 提示提示 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用思考题思考题11999年考研数学年考研数学(一一) 6分分 作作 x 轴如图轴如图ox30 xxd x19定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用井深井深30 m, , 抓斗自重抓斗自重400 N, 缆绳每米重缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为提升速度为3ms , 污污泥以泥以20Ns 的速度从抓斗缝隙

16、中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉解解ox30 xxd x将抓起污泥的抓斗提升将抓起污泥的抓斗提升至井口至井口, ,需作功需作功 w1w是克服抓斗自重所作的功是克服抓斗自重所作的功;2w是克服缆绳重力所作的功是克服缆绳重力所作的功;3w为提出污泥所作的功为提出污泥所作的功, 1w1200030400 x提升到提升到xxd 将抓斗由将抓斗由克服缆绳克服缆绳重力所作功元素重力所作功元素 2dw1w3w 2w xd50 )30(x 20定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用 2dwxd50 )30(x ox30 xxd x 2w井深井深30 m, , 抓斗自重抓斗自重400 N, 缆绳每米重缆绳每米

17、重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为提升速度为3ms , 污污泥以泥以20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉在时间间隔在时间间隔d,ttt 内提升污泥需内提升污泥需作功为作功为 3dw将污泥从井底提升将污泥从井底提升至至井井口共需时间口共需时间,10330 3wtt d)202000(3 01057000 共需作功共需作功120001 w wtd3 )202000(t 300d)30(50 xx22500)(91500570002250012000J 21思考题思考题2定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用2002年考研数学年考研数学(二二

18、)7分分 某闸门的形状与大小如图所示某闸门的形状与大小如图所示,其中直线其中直线l为对称轴为对称轴, 闸门的上部为矩形闸门的上部为矩形ABCD, 下部为由二次抛物线与线下部为由二次抛物线与线 段段AB所围成所围成. 当水面与闸门的上端相平时当水面与闸门的上端相平时, 欲使闸门欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为比为5:4,闸门矩形部分的高闸门矩形部分的高h应为多少应为多少m(米米)?BACD1h Oxy解解 建立坐标系建立坐标系.令抛物线方程为令抛物线方程为aa矩形矩形 hxgxaP01d2 2gha )1(22 hxpyha22ap 则抛物线方程为则抛物线方程为)1(22 hxay1