高等数学：7(4) 空间曲线及其方程

1、1第四节第四节 空间曲线空间曲线及其方程及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影小结小结 思考题思考题 作业作业(space curve)第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线空间曲线C可看作可看作特点：特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能不在曲线上的点不能同时满足两个方程同时满足两个方程.空间两曲面的交线空间两曲面的交线

2、.空间曲线及其方程空间曲线及其方程xyzO1S2SC0),( zyxF0),( zyxG3例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 632122zxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx交线为交线为椭圆椭圆空间曲线及其方程空间曲线及其方程C1zxyO24例例 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面（如图）上半球面（如图）4)2(222ayax 圆柱面（如图）圆柱面（如图）交线为蓝色部分（如图）交线为蓝色部分（如图）空间曲线及其方程空间曲线及其方程zx

3、yOxyzO5 )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程随着参数的变化可得到曲线上的随着参数的变化可得到曲线上的,1时时当给定当给定tt 就得到曲线上的一个点就得到曲线上的一个点),(111zyx全部点全部点.空间曲线及其方程空间曲线及其方程6动点从动点从A点出发点出发,tax cos tay sin vtz 螺旋线的螺旋线的参数方程参数方程. .取时间取时间t为参数为参数,解解经过经过t时间时间,运动到运动到M点点.例例),(都是常数都是常数其中其中v 那末点那末点M 构构成的图形称为成的图形称为螺旋线螺旋线. 试建立其参

4、数方程试建立其参数方程.空间曲线及其方程空间曲线及其方程M在在xOy面的投影面的投影)0 ,(yxM zxyO MM A t a轴的正方向上升轴的正方向上升如果空间一点如果空间一点M 在圆柱面在圆柱面222ayx 上以上以角速度角速度绕绕z轴旋转轴旋转, 同时又以线速度同时又以线速度v沿平行于沿平行于z7螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质： 00: bbbz 00:上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比. 即即,2 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距空间曲线及其方程空间曲线及其方程

5、zxyO MM A t P8 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于xOy的的设空间曲线设空间曲线C的一般方程：的一般方程：投影柱面的投影柱面的特征：特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 此柱面必包含曲线此柱面必包含曲线C,以曲线以曲线C为准线、为准线、 C投影柱面投影柱面. .空间曲线及其方程空间曲线及其方程母线垂直于所投影的坐标面母线垂直于所投影的坐标面.9类似地类似地:可定义空间曲线在其它坐标可定义空间曲线在其它坐标面上的投影面上的投影. 00),(xzyR 00),(yzxT yOz面面上的上的投影曲线投

6、影曲线 xOz面上的面上的投影曲线投影曲线 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在xOy 面上的面上的投影曲线投影曲线(或称或称投影投影)(即为曲线关于即为曲线关于xOy面面的的投影柱面投影柱面)(即为即为xOy 面面) C空间曲线及其方程空间曲线及其方程(即为投影柱面与即为投影柱面与xOy 面的交线面的交线)10例例 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx解解(1) 消去变量消去变量z后得后得4322 yx在在 xOy面上的投影为面上的投影为 04322zyx(2) 因为曲线在平面因为曲线在平面 21 zxOy面的面的投影柱面投影柱面空间曲线及其方程空间曲线及

7、其方程上，上， 所以在所以在 xOz面上面上的投影为线段的投影为线段.23|021 xyz1123|021 yxz空间曲线及其方程空间曲线及其方程例例 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. 211222zzyx(3) 同理在同理在yOz面上的投影面上的投影 也为线段也为线段. 12交线方程为交线方程为 0222zyxxzy0 z 0222zyzy解解空间曲线及其方程空间曲线及其方程求椭圆抛物面求椭圆抛物面xzy 22与平面与平面02 zyx的交线在三个坐标面上的投影曲线方程的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.例例(1) 消去变量消去变量z(2) 消去变量消去变量y(3) 消去变量消

8、去变量x得投影得投影 04522xxyyx得投影得投影0 y 042522xxzzx得投影得投影0 x13由参数方程表示的空间曲线在坐标面上由参数方程表示的空间曲线在坐标面上在在yOz平面上的平面上的投影投影为为在在xOy平面上的平面上的投影投影为为:想一想想一想 在在xOz平面上的平面上的投影投影呢呢?注注 tztytxsincos例例 螺旋线螺旋线即即0 z 0122zyx tztysin即即 0sinxzy的投影亦易求出的投影亦易求出.空间曲线及其方程空间曲线及其方程 tytxsincos0 x14 选择题选择题1.曲线曲线 在在xOy面面上的上的投影柱面投影柱面方程是方程是( ).A

9、03215416222zxzyx01162420)(22 xyxA 001162420)(22zxyxC 0071244)(22xzzyD071244)(22 zzyB空间曲线及其方程空间曲线及其方程15 2. 球面球面 与与 交线交线在在xOy面面上上投影曲线投影曲线方程是方程是()D2222Rzyx azx 0)()(2222zRzyzaB2222)()(RxayxC 0)()(2222zRxayxD空间曲线及其方程空间曲线及其方程2222( ) ()AazyzR16表示表示( ).(A) 双曲柱面与平面双曲柱面与平面x = 2交线交线;(B) 双曲柱面双曲柱面;(C) 双叶双曲面双叶双曲

10、面; (D) 单叶双曲面单叶双曲面.A 214922xxy曲面及其方程曲面及其方程3.17 填空题填空题1.母线平行于母线平行于x轴且通过曲线轴且通过曲线的的柱面方程柱面方程是是 2.双曲抛物面双曲抛物面(马鞍面马鞍面) 与与xOy面的交线面的交线是是相交于原点的两条直线相交于原点的两条直线. 0162222222zyxzyx16322 zy)0, 0(222 qpzqypx空间曲线及其方程空间曲线及其方程18空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT空间曲线及其方程空间曲线及其方程四、小结四、小结空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程19曲线在曲线在xOz面上的面上的投影投影方程为方程为:曲线在曲线在yOz面上的面上的投影投影方程为方程为:曲线在曲线在xOy面上的面上的投影投影方程为方程为: 0022zaxyx 022yaaxz 00)(2224xzyaz解答解答思考题思考题1求曲线求曲线)0(0222222 aaxyxazyx在在各各坐标面坐标面上的上的投影投影方程方程.空间曲线及其方程空间