最新定积分的基本概念

1、教学内容方法与手段定积分的概念大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分 为三个内容：定积分概念引入定积分的定义定积分的几何性质首先我们来看第一部分一、定积分概念引入说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至 古代，最具有代表人物就是阿基米德(公元前287年一公 元前212年)，我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实 阿基米德还和髙斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非 常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时 他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样 子的呢？我们先看一个例子。1曲边梯形的面积问题：我们知道矩形面积：S = ah 梯形的面积：S = -h2曲边梯形的面

2、积：设y = /(x)在区间a,b上非负连 续，由直线x=a,x=b,y=O及曲线y = f(x)所围成的面积。那么这样的问题怎么求呢？首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其髙。我们可以 得到一个近似的面积值。好，现在我们将a,b区间分为两个，同样我们用这 两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高， 然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积， 可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我 们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似？我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近 真实面积。下面就是根据这个思想用计算机

3、对其划分过程氐导入邑幻灯邑幻灯貳幻灯畐幻灯详讲详讲详讲暑幻灯进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特 别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。详讲事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份 数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积 值。好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法 描述一下。解决步骤：大化小：在区间a,b中任意插入n-l个分点 a = xo<xi<x2< - <xn1<xn_1 = b,用直线x = Xj将 一个曲边梯形分成n个小的曲边梯形；常带变：在第k个窄边梯形上任取?kexk-bxj作以 Xk-l，Xk为底，f

4、(£k)为高的小矩形，并以此小矩形面积近 似代替相应窄曲边梯形面积ASk ,得 ASk a f(?k)Axk (Axk = xk - xk_hk = 1,2/-n)近似和:S =： = QSkuE： = F(gk)Axk 取极限：令久=max 兀1,4比nnS = hm y 虫=lim V fgg这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个 定积分问题例子。(2)变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知y =叩)在区间冷込上t的连续函数，且v(r) > 0,求在这段时间内物体所经过的路程$ o 考虑：当 y = /(x) = C>0 , v = v(r) = CnO

5、 时(其中 C 为 常数)，上面问题的求解。在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上 个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本 身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质 上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个 变量替换就可以了，具体的解决步骤是。解决步骤：大化小：在区间口中任意插入n - 1个分点 T1 = t0<t1<t2<-<tn.1<tn.1 = T2,将其分成n个小 段tk-iA (k = 1,2,“)，在每个小段物体经过的路程为Ask (k= 1,2,“)；常带变：任取以V(&)代替第k个时间段 的速度，则：瓯

6、 a v(&)m (血=以一如,k = 1,2/近似和：S皿取极限：令 = rnax AthAt2-4tnnns = lim y 皿=lim V v(C)M免5已免TO问题麻共性：解决问题的方法步骤相同：“大化小，常代变，近似和，取极限”所求量的极限结构式相同：特殊乘积和式的极限，下 面我们从数学的角度对其做个总结就可以得到其定积分 定义。二、定积分的定义1定义：设函数f(x)在k，b上有定义，在a,b中任意插入n - 1 个分点a = X0<X1< X2v Xn _ 1 < Xn = b,把区间&b分 成n个小区间xo,Xi,xo,x J,Xn- bxn,各

7、个小区间的长度 依次为：AX = X1 - X04x2 =X2 - Xb-Axn = Xn - Xn_ 1在每个小区间Xk - l，Xk上任取一点Ek,作函数值f(Ek) 与小区间长度AXk的乘积分F(Ek)AXk(k= l,2,n),并做和 数。n人=f(h)耳K=1在每个记入=mex AxbAx2-,Axn,如果不论a,b怎么 分法，也不论x-Mid上和怎么取法，只要当入to时，和 数In总趋于确定的极限I,则称这个极限值I为函数f(x)在 a,b上的定积分，记作ff(x)dx。其中称b为积分区间，a为积分下限，b为积分上限,X为积分变量；称f(x)为被积函数，f(x)dx称为被积表达式。

8、 积分符号呢？就像一个拉长的S。我们要求一个定积分廿(x)dx,对曲边梯形来说就是 求他的面积，对匀变速直线运动来说就是他的路程，也就 是要求后面这个和式的极限，那么什么情况下这个极限存 在呢？有两个定理，具体的证明，可以参考数学分析。定理1设/*(;<)在区间&b上连续，则代尢)在a,b上可 积。定理2设n>)在区间n,b上有界，且只有有限个间断 点，则几兀)在叭上可积。也就是我们的J：f(x)dx被积函数，要么连续，要么有 界且有有限个间断点，那么密工;"KGZc这样的极限 就一定存在。下面我们看一个例子，做个练习。例利用定义计算定积分/；x2dxo首先，根据

9、定理1,这个定积分是可以求出来的。 分析：定积分的定义说的什么呢？给一个被积函数， 给一个积分区间，也就是积分上下限，我们可以转化的求 一个和式的极限。对于这个问题，我们的被积函数是？积分区间是？ 根据定积分的定义我们也就是要求又由于定积分定义说不论我们怎么个分法，我们不妨将其 n等分，那么AXk等于多少呢？由于在0,1我们很容易算出 Axk = 我们把0,1区间n等分，那么第k个区间在是什 么，是不是耳询，定积分定义还告诉我们&是在第k个 区间x_i,x订的任意一个取法，那么我们不妨取区间的右 端点，即和=£,好，那么我们看看现在要求的问题变成 了什么问：“(¥，

10、我们观察这个极限，入to是个障碍， 入->()我们能不能把入TO替换掉？其实把0,1区间n等分，入=抽0,其实就是nT + 8, lim要求这个 nr>T + oo极限我需要先求昇“(煮，化简一下可以得到范;=1以，那邛2=?,见忙冷(n + l)(2n+l),.E X21!. n(n + l)(2n+l)1吧 =l(n)n=吧=3on-> + con-> + co这样我们就求岀了定积分的值。思考如果我们不知道 这个定积分到底存不存在？对于这个问题我们如何求？ 这个留给大家下去去做，如果会求，也许你能总结出定积 分存在的充分必要条件。下面我们开始学习定积分的几何意义，也

11、有同学可能 会说，教员这个我知道，前面不是说了啊，就是被积函数, 与积分区间，还有y二0围成的面积啊。注意我们前面求的曲边梯形的面积是假设这个函数 是大于等于0的。好下面我们就讨论一下一般情况。三、定积分的几何性质我们已经知道对于当/(X)> 0时，就是 /'(兀)、X=8、X二b和y=0所围成的面积。那么当nx)vo时呢？可以根据定义，做个简单的推 导，就可以知道；J(x)dx的几何意义就是围成面积的负 值。A2下面我们看这样一个定积分：r1r /4AlA1,A2,A3, A4对应其各个区域块围成的面积，那个 这个积分值是？Y二0上面的面积和-Y二0下面的面积和，也就是：(A2

12、+ A4) - (A1+A3)思考：奇函数对称积分区间的几何特征和积分值，还 有偶函数在对称积分区间的几何特征和积分值。好，这就是我们这一节课的内容，下一节课我们介绍 定积分的性质。II丨初一政治下册法不可违教学案例古竹初中朱海生【课 题】法不可违【教学依据】木课内容主要是引导学生明确为什么要遵守法律，在内 容设计上共两目，第一目“谁都不能违法”意在帮助学生了解什么是违法, 课文通过“小勤的事例”说明不违法是人们行为的底线，尤其不能违反法 律。之后通过三个情景引出违法的含义，填表区别三种违法含义及区别。 第二目“犯罪必受惩罚”引导学生了解什以是犯罪行为和刑事处罚。通 过教学让学生明白不论什么原因，只要触犯了法律，就是违法行为，都要 受到法律的制裁，以提高学生的守法意识。【教学设计】一、教学目标（1）态度情感价值观目标：通过教学，让学生明白不论是什么原因, 只要是违反了法律，就是违法行为，都要受到法律的制裁，以提高学