简单的优化模型清华大学ppt课件

1、第三章第三章 简单的优化模型简单的优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪的出卖时机生猪的出卖时机3.3 森林救火森林救火3.4 最优价钱最优价钱3.5 血管分支血管分支3.6 消费者平衡消费者平衡3.7 冰山运输冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目确实定恰当的目的函数据建模目确实定恰当的目的函数 求解静态优化模型普通用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线消费假设干种产品

2、，轮换产品时因改换设配件厂为装配线消费假设干种产品，轮换产品时因改换设备要付消费预备费，产量大于需求时要付储存费。该厂备要付消费预备费，产量大于需求时要付储存费。该厂消费才干非常大，即所需数量可在很短时间内产出。消费才干非常大，即所需数量可在很短时间内产出。知某产品日需求量知某产品日需求量100件，消费预备费件，消费预备费5000元，储存费元，储存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的消费方案，即多少天消费元。试安排该产品的消费方案，即多少天消费一次消费周期，每次产量多少，使总费用最小。一次消费周期，每次产量多少，使总费用最小。要要 求求不只是回答以下问题，而且要建立消费周期、产量与不只是回答

3、以下问题，而且要建立消费周期、产量与需求量、预备费、储存费之间的关系。需求量、预备费、储存费之间的关系。问题分析与思索问题分析与思索 每天消费一次，每次每天消费一次，每次100件，无储存费，预备费件，无储存费，预备费5000元。元。日需求日需求100件，预备费件，预备费5000元，储存费每日每件元，储存费每日每件1元。元。 10天消费一次，每次天消费一次，每次1000件，储存费件，储存费900+800+100 =4500元，预备费元，预备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天消费一次，每次天消费一次，每次5000件，储存费件，储存费4900+4800+100 =122500元，预备

4、费元，预备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天消费一次平均每天费用最小吗天消费一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目的函数。这是一个优化问题，关键在建立目的函数。显然不能用一个周期的总费用作为目的函数显然不能用一个周期的总费用作为目的函数目的函数目的函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思索问题分析与思索储存费少，预备费多储存费少，预备费多预备费少，储存费多预备费少，储存费多存在最正确

5、的周期和产量，使总费用二者之和最小存在最正确的周期和产量，使总费用二者之和最小模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2. 每次消费预备费为每次消费预备费为 c1, 每天每件产品储存费为每天每件产品储存费为 c2；3. T天消费一次周期天消费一次周期, 每次消费每次消费Q件，当储存量件，当储存量 为零时，为零时，Q件产品立刻到来消费时间不计；件产品立刻到来消费时间不计；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 r, c1, c2 知，求知，求T, Q T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为延续

6、量处置。为方便起见，时间和产量都作为延续量处置。模模 型型 建建 立立0tq储存量表示为时间的函数储存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0消费消费Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值目的函数值目的函数2)(21rTcTcTCTC离散问题延续化离散问题延续化AcdttqcT202)(一周期储存费为一周期储存费为A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1Q

7、Tc,2QTr,模型运用模型运用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答以下回答以下问题问题 经济批量订货公式经济批量订货公式EOQEOQ公式公式212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件储存费每天每件储存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不思索消费费用？在什么条件下才不思索？问：为什么不思索消费费用？在什么条件下才不思索？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当储存量降到

8、件，当储存量降到零时，零时，Q件立刻到货。件立刻到货。允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当储存量降到零时仍有需求当储存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，呵斥损失出现缺货，呵斥损失原模型假设：储存量降到零时原模型假设：储存量降到零时Q件件立刻消费出来立刻消费出来(或立刻到货或立刻到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期储存费储存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1储存量降到零储存量降到零2)(2213121TTrcQ

9、TccC一周期总费用一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值目的函数目的函数213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型为与不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q212rccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQTT,332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允

10、许许缺缺货货3c332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQrT1tT留意：缺货需补足留意：缺货需补足Q每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的消费量每周期的消费量R 或订货量或订货量332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量) QQR3.2 生猪的出卖时机生猪的出卖时机豢养场每天投入豢养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使备，估计可使80千克重的生猪体重添加千克重的生猪体重添加2公斤。公斤。问问题题市场价钱目前为每千克市场价钱目前为每千克8元，但是预测每天会降元，但是预

11、测每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出卖。元，问生猪应何时出卖。假设估计和预测有误差，对结果有何影响。假设估计和预测有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间添加，出卖单价随投入资金使生猪体重随时间添加，出卖单价随时间减少，故存在最正确出卖时机，使利润最时间减少，故存在最正确出卖时机，使利润最大大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出卖，可多得利润天后出卖，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出卖价钱出卖价钱 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-

12、C=pw -C估计估计r=2，假设当前出卖，利润为假设当前出卖，利润为808=640元元t 天天出卖出卖=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研讨研讨 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1rggrt2404 设设g=0.1不变不变 5 . 1,6040rrrtt 对对r 的相对敏感度的相对敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生猪每天体重添加量生猪每天体重添加量r 添加添加1%，出卖时间推迟，出卖时间推迟3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.

13、1rggrt2404研讨研讨 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 15. 00,203gggtt 对对g的相对敏感度的相对敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生猪价钱每天的降低量生猪价钱每天的降低量g添加添加1%，出卖时间提早，出卖时间提早3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt强壮性分析强壮性分析保管生猪直到利润的增值等于每天的费用时出卖保管生猪直到利润的增值等于每天的费用时出卖由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。wwpp,研讨研讨

14、 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 假设假设 (10%), 那么那么 30% 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 ttwtptQ4)()()(3.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合思索损失费和救援费，确定队员数量

15、。综合思索损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时辰失火时辰t=0, 开场救火时辰开场救火时辰t1, 灭火时辰灭火时辰t2, 时辰时辰t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决议决议. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间决议由队员人数和救火时间决议.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小NoImage 关键是对关键是对B(t)作出合理的简化假设作出合理的简化假设.问题问题分析分析失火时辰失火时辰t=0, 开场

16、救火时辰开场救火时辰t1, 灭火时辰灭火时辰t2, 画出时辰画出时辰 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费 10tt1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速火势蔓延速度度 2t1tt2, 降为降为- x ( 为队员的平均灭火速度为队员的平均灭火速度 4每个队员的单位时间灭火费用每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c

17、3假设假设1 1的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向周围呈圆形蔓延，均匀向周围呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目的函数目的函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设34xttt112假设假设2)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目的函数目

18、的函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员是火势不继续蔓延的最少队员数数dtdBb0t1t2 tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为知参数为知参数模型模型运用运用c1,c2,c3知知, t1可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用每个队员一次性费用, t1开场救火时辰开场救火时辰, 火势蔓延速度火势蔓延速

19、度, 每个队员平均灭火速度每个队员平均灭火速度.为什么为什么? ? , 可设置一系列数可设置一系列数值值由模型决议队员数量由模型决议队员数量x3.4 最优价钱最优价钱问题问题根据产品本钱和市场需求，在产销平根据产品本钱和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价钱，使利润最大衡条件下确定商品价钱，使利润最大假设假设1产量等于销量，记作产量等于销量，记作 x2收入与销量收入与销量 x 成正比，系数成正比，系数 p 即价钱即价钱3支出与产量支出与产量 x 成正比，系数成正比，系数 q 即本钱即本钱4销量销量 x 依赖于价钱依赖于价钱 p, x(p)是减函数是减函数 建模建模与求解与求解pxpI)(收入收

20、入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0* ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价钱最大的最优价钱 p*满满足足*ppppdpdCdpdI最大利润在边沿收入等于边沿支出时到达最大利润在边沿收入等于边沿支出时到达pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模与求解与求解边沿收入边沿收入边沿支出边沿支出结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapx q / 2 本钱的一半本钱的一半 b 价钱上升价钱上升1单位时销量的下降单位时销量的下降 幅度需求对价钱

21、的敏感度幅度需求对价钱的敏感度 a 绝对需求绝对需求( p很小时的需求很小时的需求)b p* a p* 思索：如何得到参数思索：如何得到参数a, b?3.5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养给血管壁以营养抑制血液流动的阻力抑制血液流动的阻力耗费能量取决于血管的几何外形耗费能量取决于血管的几何外形在长期进化中动物血管的几何外形在长期进化中动物血管的几何外形曾经到达能量最小原那么曾经到达能量最小原那么研讨在能量最小原那么下，血管分支研讨在能量最小原那么下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度处粗细血管半径比例和分岔角度

22、问问题题模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随血液给血管壁的能量随管壁的内外表积和体积管壁的内外表积和体积的添加而添加，管壁厚的添加而添加，管壁厚度近似与血管半径成正度近似与血管半径成正比比qq1q1ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?调查血管调查血管AC与与CB, CB粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动lprq84 pA,C压力差，压力差， 粘性系数粘性系数抑制阻力耗费能量抑制阻力耗费能量42

23、18dlqpqE提供营养耗费能量提供营养耗费能量21,2lbrE管壁内外表积管壁内外表积 2rl管壁体积管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比模型假设模型假设qq1q1ABBCHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 4218dlqpqE抑制阻力耗费能量抑制阻力耗费能量21,2lbrE提供营养耗费能量提供营养耗费能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HLltgHLlsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE机体为血流提供能量机体为血流提供能量模型求解模

24、型求解qq1q1ABBCHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32. 1/26. 1rrsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE模型模型解释解释生物学家：结果与察看大致吻合生物学家：结果与察看大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax, 毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732. 1/26. 1rr察看：狗的血管察看：

25、狗的血管)4(5n3025n血管总条数血管总条数97302510103222n推论推论n=？q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消费者平衡消费者平衡问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以到达最大的称心度。购买这两种商品，以到达最大的称心度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2, 消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相单调减、下凸、不相交，记作交，记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 成效函数成效函数知甲乙价钱知甲

26、乙价钱 p1,p2, 有钱有钱s，试分配，试分配s,购购买甲乙数量买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解知价钱知价钱 p1,p2,钱钱 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl几几何何解解释释sqpqp2211直线直线MN: 最优解最优解Q: MN与与 l2切点切点21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU0

27、, 0, 0, 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU结果结果解释解释21,qUqU边沿成效边沿成效消费者平衡形状在两种商品消费者平衡形状在两种商品的边沿成效之比恰等于它们的边沿成效之比恰等于它们价钱之比时到达。价钱之比时到达。成效函数成效函数U(q1,q2) U(q1,q2) 应满足的条应满足的条件件A. U(q1,q2) =c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减、下凸单调减、下凸 解释解释 B的实践意义的实践意义AB 0,)(. 1121qqU成效函数成效函数U(q1,q2) U(q1,q2) 几种常用的方几种常用的方式式2121ppq

28、UqU212211ppqpqp 消费者平衡形状下购买两种商品费用之比消费者平衡形状下购买两种商品费用之比与二者价钱之比的平方根成正比。与二者价钱之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示消费者对分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。甲乙两种商品的偏爱程度。1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 购买两种商品费用之比与二者价钱无关。购买两种商品费用之比与二者价钱无关。 U(q1,q2)中参数中参数 , 分别表示对甲乙的偏爱程分别表示对甲乙的偏爱程度。度。思索：如何推行到思索：如何推行到 m ( 2) 种商品的情况种商

29、品的情况成效函数成效函数U(q1,q2) U(q1,q2) 几种常用的方几种常用的方式式3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地域水资源贫乏，淡化海水的波斯湾地域水资源贫乏，淡化海水的本钱为每立方米本钱为每立方米0.1英镑。英镑。 专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖船千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水运送冰山，取代淡化海水 从经济角度研讨冰山运输的可行性。从经济角度研讨冰山运输的可行性。建模预备建模预备1. 日租金和最大运量日租金和最大运量船船 型型小小 中中 大大日租金英镑日租金英镑 最大运量米最大运量米34.06.28.051051061072. 燃料耗费英镑燃料耗费英镑

30、/千米千米3. 融化速率米融化速率米/天天与南极间隔与南极间隔 (千米千米)船速船速(千米千米/小时小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模预备建模预备建模建模目的目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较模型模型假设假设 航行过程中船速不变，总间

31、隔航行过程中船速不变，总间隔9600千米千米 冰山呈球形，球面各点融化速率一样冰山呈球形，球面各点融化速率一样到达目的地后，每立方米冰可融化到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料耗费燃料耗费租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化规律冰山融化规律 船速船速u (千米千米/小时小时

32、)与南极间隔与南极间隔d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天天r是是 u 的线性函数；的线性函数；d4000时时u与与d无关无关.utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化规律冰山融化规律 tkktrRR10冰山初始半径冰山初始半径R0，航行，航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积30034RV334ttRVt天时体积天时体积总航行天数总航行天数313

33、004334),(tkkrVtVuV选定选定u,V0, 航行航行t天时冰山体积天时冰山体积313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料耗费燃料耗费 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料耗费燃料耗费 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性线性, 对对lo