DEA模型学习入门篇

1、生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。DEA 三大模型时提出者名称间1查恩斯C2R 模978 （ A.Charnes）、库伯型（ ）、罗兹（ E.Rhodes）1A.Charnes( 查恩C2GS2 模985斯 )、型W.W.Cooper(库伯 )、拉尼 (B.Golany) 、赛福德(L.Seiford) 、斯图茨 (J.Stutz)查恩斯、C2WH1987库伯、模型魏权龄、黄志明模型内涵用于评价相同部门间的相对有效性；从生产函数的角度看 ,这一模型是用来研究具有多个输入 ,特别是具有多个输出的“生产部门” ，同时为“规模有效”与“技术有效” 的十分理想且卓有成效的方法研究生产部门间

2、的“技术有效性”锥比率的数据包络模型；可用来处理具有过多的输入及输出的情况 ,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好” . 灵活地应用这一模型 ,可以将 C2R 模型中确定出的 DEA 有效决策单元进行分类或排队1.C2R 模型：评价决策单元技术和规模综合效率辅助理解案例 1例 1 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值 x1、流动资金 x2、职工人数 x3）和产出（总产值 y1、利税总额 y2）的有关数据如下表：希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。（

3、由于投入指标和产出指标都不止一个， 故通常采用加权的办法来综合投入指标值和产出指标值。）对 于 第 一 个企 业 ， 产 出 综合 值 为60u1+12u2, 投 入综 合 值4v1+15v2+8v3，其中 u1、 u2 代表产出权重系数； v1、 v2 v3 代表投入的权重系数。我们定义生产效率为 总产出与总投入的比 ：因而第一个企业的生产效率： h160u1 12u2，4v1 15v28v3第二个企业的生产效率： h222u1 6u2，15v1 4v22v3第三个企业的生产效率： h324u1 8u2。27v1 5v24v3我们限定所有的hj 值不超过 1，即 max h1，这意味着：j若

4、第 k 个企业 hk=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若 hk<1，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：60u1 12u2maxh14v115v28v360u112u2h14v115v28v3122u16u2h215v14v22v3124u1 8u2h327v15v24v3 1这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能

5、求解。1tui , wi t vi设 t，i4v1 15v28v3则此分式规划可化为如下的线性规划max h160112260112 24w1 15w2 8w3st.2216215w14w22w32418 227w1 5w24w34w115w28w31辅助案例结束希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。总结归纳n 个企业及其输入- 输出关系假设有 n 个部门或单位 (称为决策单元 , Decision Making Units), 这 n 个单元都具有可比性，对于每个企业都有 m 种类型的“输入”（表

6、示该单元对“资源”的消耗）以及 s 种类型的“输出” （表示该单元在消耗了“资源”之后的产出） 。在上表中 ,xij(i=1,2,.,m,j=1,2,., n)表示第 j 个决策单元对第 i 种输入的投入量， 并且满足 xij >0;yrj (r=1,2,.,s, j=1,2,., n)表示第 j 个决策单元对第 r 种输出的产出量，并且满足 yrj>0;vi(i=1,2,.,m)表示第 i 种输入的一种度量 (或称为权 );ur(r=1,2,., s)表示第 r 种输出的的一种度量 (或称为权 ).将上表中的元素写成向量形式，如下表所示.在上表中 , Xj , Y j(j=1,2

7、,.,n)分别为决策单元j 的输入、输出向量，v, u 分别为输入、输出权重。每个决策单元的效率评价指数定义为：sur yrjh jr1， j=1,2,nmvi xiji1向量表示： hjuTYj, j 1,2, , nTX jv希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。而第 j0 个决策单元的 相对效率优化评价模型为：sur yrj 0max hj 0r1mvi xij 0i1sur yrjr 11, j 1,2,., n（ 1）mvi xiji1s.t.vi ,ur 0, i=1,2,m; r=1,

8、2,s ,上述模型中 xij ,yrj 为已知数（可由历史资料或预测数据得到） ，vi,ur为变量。模型的含义是以权系数vi ,ur 为变量，以所有决策单元的效率指标 hj 为约束，以第j0 个决策单元的 效率指数 为目标。即评价第j0 个决策单元 的生产效率是否有效， 是相对于其他所有决策单元而言的。这是一个分式规划模型， 我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此，令tm1t urw i t viri 1v i x ij 0则模型（ 1）转化为：希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。pr yrj

9、 0max h j 0r 1pr yrjmwi xijr 1i 10,j 1,2,., nm（ 2）wi xij 0s.ti 11r , wi 0,i 1,2,.m;r1,2,., p写成向量形式有 :max hj0T Y0T YT Xj0jst.T X 01j 1,2,., n0,0定义 1: 若该模型中 VC 2 R1, 则称决策单元 j 0 是弱 DEA 有效的 .定义 2: 若该模型中存在最优解0,0, 并且 , 有则称决策单元j 0 是弱DEA 有效的 .辅助理解案例 2例 2 某地区为了优化产业结构，对该地区的建筑、食品、纺织、医药、电子和房地产产业进行分析， 确定相对优势的产业，

10、 为制定地区产业发展战略服务。对建筑业的线性规划模型为：希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。max V3573 169702st.81241125602842033573 16970206061 1523010130 142602432033510158702582034210191202 02 02034220561112310121022125601351033126802176011216804325022004632117902126408124112560284201 ,2 ,3,1,2

11、0337920 121320 201其他行业的模型可仿此建立， 共需针对六个行业，建立六个模型。六个模型的求解结果为：电子、房地产业的最优值为1，为 DEA有效；建筑、食品、纺织、医药行业的最优值小于1，为 DEA无效。DEA无效的含义是与其他行业相比，本行业投入的综合评价为1时，最大产出小于1，说明该行业效率较低，需进一步研究内部管理是否有问题和是否适应本地条件等问题。DEA 有效说明与其他行业相比， 本行业投入的综合评价为1 时，最大产出等于 1，投入与产出是较匹配，效率较高的。辅助理解案例 3( 多指标评价问题 ) 某市教委需要对六所重点中学进行评价, 其相应的指标如下表所示 , 表中的

12、生均投入和非低收入家庭百分比是输入指标 , 生均写作得分和生均科技得分是输出指标 . 请根据这些指标 , 评价中哪些学校是相对有效的 .希望是本无所谓有，无所谓无的。这正如地上的路；其实地上本没有路，走的人多了，也便成了路。生命赐给我们，我们必须奉献生命，才能获得生命。学校ABCDEF生均投入 (百元 /年 )89.3986.25108.13106.3862.447.19非低收入家庭百分比(/%)64.39999.69696.279.9生均写作得分/分26.427.225.2生均科技得分/分223287317291295222对中学评价的线性规划模型为：max V25.212232s