线性代数的知识点全归纳

1、实用标准文案线性代数知识点1、行列式1. n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式;2. 代数余子式的性质： 、Aj和a®的大小无关; 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0 ； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；3.代数余子式和余子式的关系:A = (-1)s jMij精彩文档4. 设n行列式D :n （n 1） 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为Di，则Di =（_1） 2 D ；n（ nA）将D顺时针或逆时针旋转 90，所得行列式为 D2，则D2 =（-1） D ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3，则

2、DD ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4二D ；5.行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积;、副对角行列式：副对角元素的乘积上、下三角行列式（、二i ）n（n-1）（-iL ；:主对角元素的乘积;匚和丄 :副对角元素的乘积汉（7）A CO B拉普拉斯展开式:n( n ±)2 ；=(-1严| Ab范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积; 特征值；n6. 对于n阶行列式A，恒有：（-1）0'2，其中Sk为k阶主子式;k =17. 证明A =0的方法:、A_A ；、反证法;、构造齐次方程组 Ax = 0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A） : n ; 、

3、证明0是其特征值;2、矩阵1. A是n阶可逆矩阵：=A = 0 （是非奇异矩阵）；:二r（A） =n （是满秩矩阵）二A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax= 0有非零解；二-b Rn，Ax=b总有唯一解；二A与E等价；二A可表示成若干个初等矩阵的乘积；=A的特征值全不为0 ；:二ATA是正定矩阵；:二A的行（列）向量组是 R的一组基;：=A是Rn中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A : AA* =A* A = AE无条件恒 成立;3.(A丁 =(A*)丄(AB)T =BT AT(A丁 =(AT )* * *(AB) =B ATT *(A) -(A )(AB )J = B 丄 A

4、亠5.A、B可逆:4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;关于分块矩阵的重要结论，其中均A '若 A =A2 -，则：F<As丿n、AA、LABOJ（主对角分块）、b A=a b八；（副对角分块）40丿3丄O丿么C F 么丄 -A 1CB丄"、(拉普拉斯)(拉普拉斯)1 f =1,2 B丿I。B丄丿么 0A - O 1C B 厂 i_B £A B -3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F = Er 0V00 丿m>n等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，

5、称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A、B，若r(A) = r(B) = A B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换)r 、若(A , E) (E , X)，贝U A可逆，且 X =A丄；c 、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A丄B，即：(A, B) -(E, A丄B)；r 、求解线形方程组：对于 n个未知数n个方程Ax =b，如果(A, b)(E, x)，则A可逆，且x =A；4.初等矩阵和

6、对角矩阵的概念: 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 、人=.，左乘矩阵A，人乘A的各行元素；右乘，扎乘A的各列元素;Ir<扎丿、倍乘某行或某列，符号(1 、丄r 1 、E (i, j)，且 E (i, j宀 E(i, j)，例如:1=1 ；b< 1丿、对调两行或两列，符号1H41E (i (k)，且 E (i (k)= E (i ()，例如:kk、倍加某行或某列，符号E (ij (k),且 E(ij(k)宀 E(ij(-k)，如:1-k i1(k 式 0)；15.矩阵秩的基本性质: 、0 乞 r(Am n)空 min( m, n)；

7、、r(AT ) = r (A)； 、若 AU B，则 r(A) =r(B); 、若P、Q可逆，则r(A) = r(PA) =r(AQ) =r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) 、max( r (A), r (B) < r (A, B) < r (A) - r (B);(探) 、r(A - B) < r(A) - r(B);(探) 、r (AB)乞 mi n( r (A), r (B);(探) 、如果 A是m n矩阵，B是n s矩阵，且 AB =0U：(探)I、B的列向量全部是齐次方程组 AX =0解(转置运算后的结论)；、 r (A) - r (B) < n 、若A

8、、B均为n阶方阵，则r (AB) _ r (A) r (B) -n ;6.三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵(向量)行矩阵(向量) 的形式，再采用结合律;彳a c 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式;7.n、n(n(n -m 1)化2_3_-5组合的性质：cm二c；、禾u用特征值和相似对角化：n!m!(n -m)!C° =Cn =1Cnm1 =cm -Cnm±rCnr =ncn：;伴随矩阵：In 、伴随矩阵的秩：r (A*) = 1I0 、伴随矩阵的特征值：(AXr (A) = nr (A)= n 1;r (A): n-1、8.关于A矩阵秩的描

9、述： 、r(A) =n , A中有n阶子式不为0, n 1阶子式全部为0;(两句话) 、r(A) n , A中有n阶子式全部为0; 、r(A) _n , A中有n阶子式不为0;仪0 b二项展开式：n(a+b)n =c：an+C；a2b1十山州|+C：七1+心防=瓦ClVV;m -0注：I、(a b)n展开后有n 1项;9.线性方程组：Ax =b，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组 Ax =b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;10. 线性方程组Ax二b的求解:、对增广矩阵B进行初等行变换只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解

10、; 、特解：自由变量赋初值后求得;11. 由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程:、1 a11a121 1 1a1n心1 '1a21a 221 朴 a2 nX 2b2:S：:=:' ' - -fm 1am2| " amn Jg丿&丿、III 它佃乂.a ii &a？ X2 IIIai “x.a 2i x ia?2 x 2 illa? nxn =b2IIII川川III川I山IIIHIII川川am1 xiam2 x2Ax 二 b（向量方程，A为m n矩阵m个方程，n个未知数）、Xi 'g a?川a,2邛（全部按列分块，其中p込nbj

11、b)R丿、6xi a2x2 | *nXn 二：（线性表出）、有解的充要条件：r（A）二r（A, J岂n （ n为未知数的个数或维数）向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A :1,2川 l,：m 构成 n m 矩阵 A=（冷，2,山,:m ）；m个n维行向量所组成的向量组B :怦,，”I, Pm 构成 mn矩阵 B=.含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示:二Ax=O有、无非零解；（齐次线性方程组）=Ax=b是否有解；（线性方程组）二AX =B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵 入n与B| n行向量组等价的充分必要

12、条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解；（P|01例14）4.r(ATA) =r(A) ； ( P101 例 15)5. n维向量线性相关的几何意义： 、线性相关0 ; 、:线性相关 u :坐标成比例或共线（平行）； 、|二线性相关二：,'：,共面;6. 线性相关与无关的两套定理：若1,2川1, ：s线性相关，则 W2,l|l,s s 1必线性相关；若川I, :s线性无关，则:1,2川1,s必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上 n _r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则 B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A也线性相关；（向

13、量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r ）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，则r乞s；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） _r（B）；向量组A能由向量组B线性表示二 AX 二B 有解； 二 r（A） =r（A, B）向量组 A能由向量组 B等价二r（A）二r（B） = r（A, B）8.方阵A可逆=存在有限个初等矩阵Pi, P2,山,Pi，使 A 二 PRill R ；、矩阵行等价:rA B：= PA = B （左乘，P 可逆）二 Ax 二 0与 Bx 二 0 同解 、矩阵列等价：A B= AQ二B （右乘，Q可逆）；

14、 、矩阵等价： APAQ =B （ P、Q可逆）； 9.对于矩阵Am n与Bin : 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则 Ax= 0与Bx= 0同解，A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性; 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；B为系数矩阵； at为系数矩阵；（转置）10.若 AmsBsn =C m n ， 则： 、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示, 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,11.齐次方程组Bx =0的解一定是 ABx =0的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 、ABx =0只有零解 =Bx =0只有零解；

15、 、Bx = 0 有非零解 =ABx =0 一定存在非零解；12.设向量组Bn r : b，b, j|, br可由向量组 Ans : a1, a2,|, as线性表示为： (b1 , b2 J H，br) =(ai , a2 ,| |, as) K ( B =AK )其中K为s r，且A线性无关，则 B组线性无关 U r(K)二r ; ( B与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性： ：r =r(B)二r(AK) < r(K), r(K) < r, r(K) =r ;充分性：反证法)注：当r二s时，K为方阵，可当作定理使用；13.、对矩阵Am n，存在Qnm，AQ =Em、对矩

16、阵Am n，存在Pn m，PA =En二r(A) = m、Q的列向量线性无关;=r(A) = n、P的行向量线性无关；14. ：-i, ：-2dn，:s线性相关:二存在一组不全为0的数ki,k2,|,ks ,使得ki kzd 7|l ks：i二0成立；(定义) x i 二©心，川a) X2 =0有非零解，即Ax= 0有非零解；卜込s=r(：'1, ：'2|，: s) <s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设m n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的秩为：r(S) = n-r ；16. 若*为Ax=b的一个解，；，；,1山心为Ax=

17、0的一个基础解系，则*, 1, 2,川，心线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正父矩阵：=A A =E或A_ = A (定义)，性质：1i = j 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTajJ(i, j= 1,2,|n)；0心j 、右 A为正父矩阵，则 A =A也为正交阵，且 A = 1 ； 、若A、B正交阵，则 AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化 和单位化；2. 施密特正交化：(a ,a2,l|l,ar)b =a1 ；b a b1, a2】| bb ab1,ar bb2 a r |bb - 4 r bb2 = a 2 + +- + a =ar lb 山2b ；b

18、,bb1,b1 b2 b2br_1br_1 '3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关; 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. 、A与B等价二A经过初等变换得到 B ；二 PAQ 二 B , P、Q 可逆；实用标准文案=r（A）二r（B） , A、B 同型； 、A与B合同 =CtAC=B，其中可逆；:二xT Ax与xtBx有相同的正、负惯性指数； 、A与B相似：二P丄AP =B ；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CTAC =B= aLI b，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）6. A为对称阵，则 A为二次型矩阵；7. n元二次型xt Ax为正定：=A的正惯性指数为n ；=A与E合同，即存在可逆矩阵 C，使CTAC二E ；A的所有特征值均为正数；二A的各阶顺序主子式均大于 0；=aii .0, A 0 ；（必要条件）第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必然事件随便用，选择先试不可能。第二、三章