怀化学院省级精品课程-高等代数教案：第三章线性方程组

1、第三章线性方程组§1消元法一、线性方程组的初等变换现在争论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为a11 x1 a21 x1a12 x2a 22 x2a1n xn a 2n xnb1 ,b2 ,1a s1 x1as 2 x2a sn xnbs的 方 程 组 ， 其 中x1 , x2 , xn代 表 n 个 未 知 量 ， s 是 方 程 的 个 数 ，aij i1,2,s; j1,2, n 称为线性方程组的系数，b j j1,2, s 称为常数项 .方程组中未知量的个数n 与方程的个数s 不肯定相等 .系数aij的第一个指标i 表示它在第 i 个方程，其次个指标j 表示它是xj

2、的系数 .所 谓 方程 组 1 的 一 个 解 就 是 指 由 n 个 数k1 , k2 , kn组 成 的 有 序 数 组k1 , k2 , k n ，当x1 , x2 , xn 分别用k1 , k2 , kn 代入后， 1中每个等式都变成恒等式 . 方程组 1 的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.假如两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的.明显，假如知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了 .准确地说，线性方程组 1可以用下面的矩阵a11 a 21a12 a22a1nb1a2nb22a s1a s2a sn

3、bs来表示 .实际上，有了2之后，除去代表未知量的文字外线性方程组1就确定了，而采纳什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减 消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解 线性方程组更有普遍性 .下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.例如，解方程组2 x1x23 x31 ,4 x12 x25x34 ,2 x1x22 x35 .其次个方程组减去第一个方程的2 倍，第三个方程减去第一个方程，就变成2 x1x24 x22 x23 x31 ,x32 ,x34 .其次个方程减去第三个方程的2 倍，把其次第三两个方程的次序互换，即得2 x1x2 2

4、 x23 x31 ,x34 ,x36 .这样，就简洁求出方程组的解为（9，-1，-6） .分析一下消元法， 不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 用一非零数乘某一方程；2. 把一个方程的倍数加到另一个方程；3. 互换两个方程的位置 .定义 1 变换 1，2，3 称为线性方程组的初等变换.二、线性方程组的解的情形消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组 .下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组.对于方程组 1，第一检查x1 的系数 .假如x1 的系数a11 , a21 ,as1 全

5、为零，那么方程组 1 对x1 没有任何限制，x1 就可以取任何值，而方程组1 可以看作x2 , xn 的方程组来解 .假如x1 的系数不全为零，那么利用初等变换3，可以设a110.利用初等变换 2，分别把第一个方程的ai1a11倍加到第 i 个方程 i2 , n .于是方程组 1就变成a11 x1a12 x2 a 22 x2a1n xn a2 n xnb1 ,b2 ,3a s2 x2其中asn xnbs ,aijaijai1a11a1 j , i2 , s, j2 , n这样，解方程组 1的问题就归结为解方程组a 22 x2a s2 x2a2n xna sn xnb2 ,bn4的问题 .明显4

6、的一个解，代入 3的第一个方程就定出x1 的值，这就得出 3的一个解； 3的解明显都是 4的解.这就是说， 方程组 3有解的充要条件为方程组4有解，而 3与1是同解的，因之，方程组1有解的充要条件为方程组4有解.对4再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最终就得到一个阶梯形方程组 .为了争论起来便利，不妨设所得的方程组为c11 x1c12 x2 c22 x2c1r xrc2 r xrc1n xnc2n xnd1 ,d2 ,crr xrcrn xn0d r ,dr 1 ,500 ,00 .其中 cii0 , i1, 2, r .方程组 5 中的“ 0=0”这样一些恒等式可能不显现，也可能

7、显现，这时去掉它们也不影响5的解.而且1与5是同解的 .现在考虑 5的解的情形 .如5中有方程 0dr 1 ，而 d r 10 .这时不管x1 , x2 , xn 取什么值都不能使它成为等式 .故5无解，因而 1无解.当 d r 1 是零或5中根本没有“ 0=0”的方程时，分两种情形：1） rn .这时阶梯形方程组为c11 x1c12 x2c1n xnd1 ,c22 x2c2 n xnd 2 ,6cnn xnd n ,其中 cii0 , i1, 2, n .由最终一个方程开头，xn , xn 1, x1 的值就可以逐个地唯一打算了 .在这个情形，方程组 6也就是方程组 1有唯独的解 .例 1

8、解线性方程组2 x1x23 x31 ,4 x12 x25x34 ,2） r2 x1n .这时阶梯形方程组为x22 x35 .c11 x1c12 x2c1r xrc1,r1 xr 1c1n xnd1 ,c22 x2c2 r xrc2,r1 xr 1c2 n xnd2 ,crr xrcr ,r1 xr 1crn xnd r ,其中 cii0 , i1, 2, r .把它改写成c11 x1c12 x2c1r xrd1c1,r1 xr 1c1n xn ,c22 x2c2 r xrd2c2, r1 xr 1c2 n xn ,7crr xrd rcr , r1 xr 1crn xn .由此可见，任给xr

9、1 , xn 一组值，就唯独地定出x1 , x2 , xr的值，也就是定出方程组 7的一个解 .一般地，由 7我们可以把x1 , x2 , xr 通过xr 1 , xn 表示出来，这样一组表达式称为方程组1的一般解 ，而 xr 1 , xn 称为一组 自由未知量 .例 2 解线性方程组2x1x23 x31 ,4x1 2x12x2x25 x34 ,4 x31 .从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不肯定就是5的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成5的样子 .以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，第一用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最终的一些恒等式“0

10、=0” 假如显现的话 去掉 .假如剩下的方程当中最终的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否就有解 .在有解的情形下， 假如阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个数，那么方程组有唯独的解；假如阶梯形方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解 .定理 1 在齐次线性方程组a11 x1 a 21 x1a12 x2a 22 x2a1n xn0 ,a2 n xn0 ,as1 x1a s2 x2a snxn0中，假如 sn ，那么它必有非零解 .矩阵a11 a21a12 a 22a1nb1a 2nb210a s1a s 2a snbs称为线性方程组 1的增广矩阵 .

11、明显，用初等变换化方程组1成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵10成阶梯形矩阵 .因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行， 而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解仍是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解.例 3 解线性方程组2 x1 4 x1 2 x1x22 x2x23 x31 ,5 x34 ,4 x30 .§2n 维向量空间定义 2所谓数域 p 上一个 n 维向量就是由数域p 中 n 个数组成的有序数组a1 , a2 , an 1ai 称为向量 1的重量 .用小写希腊字母,来代表向量 .定义 3 假如 n 维向量 a1 , a2 , an ,b1 ,b2 , bn

12、 的对应重量都相等，即aibii1, 2,n .就称这两个向量是相等的，记作.n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.定义 4 向量 a1b1, a2b2 , anbn 称为向量 a1 , a2 , an ,b1 ,b2 , bn 的和，记为由定义立刻推出：交换律：.2结合律：.3定义 5 重量全为零的向量0,0,0称为零向量，记为0;向量 a1,a2 ,an 称为向量a1 ,a2 , an 的负向量，记为.明显对于全部的，都有0.40 .525是向量加法的四条基本运算规律.定义 6定义 7 设 k 为数域 p 中的数，向量 ka1 , ka2 ,kan 称为向量a1 ,a2

13、, an 与数 k 的数量乘积，记为k由定义立刻推出：k kk,6kl kl,7klkl ,81.969是关于数量乘法的四条基本运算规章.由69或由定义不难推出：01k 00 ,10,110 .12假如 k0 ,0 ，那么k0 .13定义 8 以数域 p 中的数作为重量的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域p 上的 n 维向量空间 .在 n3 时， 3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间.以上已把数域p 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域 p 上 n 维向量空间 .向量通常是写成一行：a1 , a2 , an .

14、有时也可以写成一列：a1 a 2.a n为了区分，前者称为行向量，后者称为列向量；它们的区分只是写法上的不同.§ 3线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量， 这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要；一、线性相关与线性无关两个向量之间最简洁的关系是成比例. 所谓向量与成比例就是说有一数k 使k.定义 9向量称为向量组1 ,2 ,s 的一个线性组合，假如有数域p 中的数 k1 , k2 , ks ，使k11k22k ss ,其中 k1 , k2 , ks 叫做这个线性组合的系数.例如，任一个 n 维向量a1 , a2 , an 都是向量

15、组11, 0 ,20 ,1, 0 , 0 ,（1）的一个线性组合 .n0 ,0 ,1向量1 ,2 ,n 称为 n 维单位向量 .零向量是任意向量组的线性组合.当向量是向量组1 ,2 ,s 的一个线性组合时，也说可以经向量组1 ,2 ,s 线性表出 .定义 10假如向量组1,2 ,t 中每一个向量i i1,2 ,t 都可以经向量 组1 ,2 ,s 线 性 表出 ， 那 么 向 量 组1 ,2 ,t 就称 为 可以 经向 量组1 ,2 ,s 线性表出 . 假如两个向量组相互可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出. 同时，假如向量组1 ,2 ,t 可以经向量组1

16、,2 ,s 线性表出，向量组1 ,2 ,s 可以经向量组1 ,2 ,p 线性表出，那么向量组1 ,2 ,t 可以经向量组线性表出 .向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价.2 ）对称性：假如向量组1 ,2 ,s 与1,2 ,t 等价，那么向量组1 ,2 ,t 与1,2 ,s 等价.3）传递性：假如向量组1 ,2 ,s 与1 ,2 ,t 等价，1 ,2 ,t 与1 ,2 ,p 等价，那么向量组1,2 ,s 与1 ,2 ,p 等价.例 1 判定向量能否由向量组1,组合2 ,3 线性表出，如能，写出它的一个线性2,1,3,4 ，11,2,3,1,25,5,12,11,31

17、,3,6,3解：设k11k22k33 ，即有方程组：k1 2k1 3k15k2 5k2 12k2k323k316k33（1）k111k23k34对方程组（ 1）的增广矩阵作初等行变换化为最简行阶梯阵151225311263027990000113406220000a311512015551512031115213301113300000000所以方程组（ 1）有解（1）的一般解为：2k1k3332k1 k313， k3 为自由求知量1 ,3令 k31，得（ 1）的一个特解（ 1,0，1），从而有13 .例 2：向量组11,0,20,1与向量组11,1,21,3 等价.解：设11,0k11k22

18、 k1 , k1 k2 ,3k2 k1k2 , k13k2 k 1k21，3k12，故31.kk13k2012211222设20,1k 1k2k11k22 ,0k1，12 ，故11.kk13k2112211222又112 ,2132 ,故这两个向量组等价定义 11假如向量组1 ,2 ,s s2 中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组1,2 ,s 线性相关 .从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组肯定是线性相关的. 向量组1 ,2 线性相关就表示1k2 或者2k1 这两个式子不肯定能同时成立.在 p 为实数域， 并且是三维时， 就表示向量1 与2 共线. 三个向量1 ,2 ,3

19、 线性相关的几何意义就是它们共面.定义 11 向量组1 ,2 ,s s1 称为线性相关的，假如有数域p 中不全为零的数k1 , k2 , ks ，使k11k22kss0这两个定义在 s2 的时候是一样的 .定义12 一向量组1 ,2 ,s s1) 不线性相关，即没有不全为零的数k1 , k2 , ks ，使k11k22kss0就称为线性无关；或者说，一向量组1 ,2 ,s 称为线性无关，假如由k11k22kss0可以推出k1k2ks0由定义有，假如一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关. 换句话说，假如一向量组线性无关， 那么它的任何一个非空的部分组也线性无关. 特殊地， 由于两个

20、成比例的向量是线性相关的，所以， 线性无关的向量组中肯定不能包含两个成比例的向量.定义 11包含了由一个向量组构成的向量组的情形.单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.不难看出，由 n 维单位向量1 ,2 ,n 组成的向量组是线性无关的.详细判定一个向量组是线性相关仍是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题 . 要判定一个向量组i ai 1 , ai 2 , ain i1, 2 , s2是否线性相关，依据定义11，就是看方程x11x22xss03有无非零解 .3式按重量写出来就是a11 x1 a12 x1a21 x2 a 22 x2a s1 xs0 ,as 2 xs0 ,4a1n

21、x1a 2n x2asn xs0.因之，向量组1 ,2 ,s 线性无关的充要条件是齐次线性方程组4 只有零解 .例 3判定p 3 的向量11,2,3,22,1,0,31,7,9是否线性相关；例 4在向量空间p x 里，对于任意非负整数n1, x, x 2 , x n线性无关 .例 5 如向量组1 ,2 ,3 线性无关，就向量组 2 12 ,253 ,433 1 也线性无关 .线性相关性的有关性质1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量2) 两个向量1 ,2 线性相关1 ,2 成比例3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出

22、4）一个向量组中如部分向量线性相关，就整个向量组也线性相关；一个向量组如线性无关，就它的任何一个部分组都线性无关（由定义即可得之）5）假如向量组1 ,2 ,s 线性无关， 而向量组1,2 ,s ,线性相关，就可经向量组1 ,2 ,s 线性表出（p155 习题 3）6） 向量组i程组ai1 ,ai 2 ,ain ,i1,2, s 线性无关的充要条件是齐次线性方a11 x1a12 x1a21 x2a 22 x2as1 xs0a s2 xs0（2）a1 n x1a 2n x2a sn xs0只有零解；向量组iai1, ai 2 , ain , i1,2, s 线性相关的充要条件是齐次线性方程组（ 2

23、）有非零解特殊地：向量组i向量组i ai1 , ai 2 , ain , iai1, ai 2 , ain , i1,2, n线性无关行列式1,2, n 线性相关行列式aij0 ；aij0 7） 如向量组iai1 , ai 2 , ain , i1,2, s 线性无关，就向量组iai1, ai 2 , ain , ai,n1 , i1,2, s也线性无关 （向量 组1 ,2 ,s 常 称为向 量 组1 ,2,s 的延 伸 组 ， 而1 ,2 ,s 称为1,2 ,s 的缩短组 ）反之，如向量组1,2 ,s 线性相关，就向量组1 ,2 ,s 也线性相关因（ 2）仅有零解，a11 x1 a12 x1

24、a1n x1a21 x2a 22 x2a2n x2as1 x s0as2 xs0asn xs0，也仅有零解a1n1 x1a 2n1 x2asn1 x s0定理 2 设1 ,2 ,r 与1 ,2 ,s 是两个向量组 . 假如1）向量组1,2 ,r 可以经1 ,2 ,s 线性表出，2）rs，那么向量组1,2 ,r 必线性相关 .证：由 1，有sit jijj 1t1i1t2 i2t sis ,i1,2,r要证1 ,2 ,r 线性相关，即证有不全为0 的数k1, k2 , kr ，使k11k22k rr0 rrs作线性组合x11x 22xrrxiii 1i 1xit j ij j 1x1 t111t

25、212ts1s x2 t121t222t s2s xr t1 r1t2 r2t srs rssrxit jijxi t jij（ * ）i 1 j 1j 1i 1t11 x1t12 x2t1r xr 1t 21 x1t 22 x2t2r xr 2t s1x1t s2 x2t sr xr s如存在不全为 0 的数x1 , x2, xr ，t1 x11tx1 22t r x r01作齐次线性方程组t2 x11tx2 22 t r x r02（ 3）ts1x1 tsx 22tsr x r0假如（3）有非零解k1 , k2 , kr ，由（ * ）式，就存在不全为0 的数 k1 , k2 , kr使：

26、k11k22krr0 ，就向量组1 ,2 ,r 线性相关而在（ 3）中方程的个数s未知量的个数r，所以（ 3）有非零解从而1,2 ,r 线性相关推论1假如向量组1,2 ,r 可以经向量组1 ,2 ,s 线性表出，且1 ,2 ,r 线性无关，那么 rs.推论 2 任意 n1 个n 维向量必线性相关 .任意 n1 个 n 维向量1 ,2 ,n 可 由单位向量1 ,2 ,n 线 性表示，n1 > n ,由定理 2，1 ,2 ,n 必线性相关推论 3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.（反之不然即含向量个数相同的两个线性无关的向量组未必等价反例 ：向量组1 0,1,0,20,1,

27、1 与向量组10,1,0,21, ,10均为含两个向量的线性无关向量组，但它们不等价 ）定理 2 的几何意义是清晰的：在三维向量的情形，假如s2 ，那么可以由向量1,2 线性表出的向量当然都在1,2 所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当r2 时，这些向量线性相关 . 两个向量组1 ,2 与1,2 等价，就意味着它们在同一平面上.二、极大线性无关组定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组， 假如这个部分组本身是线性无关的， 并且从这个向量组中任意添一个向量 假如仍有的话 ，所得的部分向量组都线性相关 .一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身.极大线性无关组

28、的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价 .例 6看 p 3 的向量组11,0,0,20,1,0,31,1,0在这里1 ,2 线性无关，而312 ，所以1 ,2 是一个极大线性无关组 . 另一方面，1,3 ，2 ,3 也都是向量组1 ,2 ,3 的极大线性无关组.由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯独的. 但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的 .定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.定理 3说明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的挑选无关，它直接反映了向量组本身的性质. 因此有

29、定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价. 由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价. 所以，等价的向量组必有相同的秩.如向量组1,2 ,r 可经向量组1 ,2 ,s 线性表出，就秩1 ,2 ,r 秩1 ,2 ,s .证明：因的极大无关组1 ,2 ,r 可由1,2 ,s 的极大无关组线性表示，由推论 1 有秩1 ,2 ,r 秩1 ,2 ,s .含有非零向量的向量组肯定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组. 全部由零向量组

30、成的向量组没有极大线性无关组. 规定这样的向量组的秩为零.现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组a11x1 a 21 x1a12 x2a 22 x2a1n xn a 2n xnd1 ,d 2 , a1 a2 a s1x1as 2 x2a sn xnd s , as 各个方程所对应的向量分别是1 a11 , a12 , a1n , d1 ,2a21 , a22 , a2n ,d 2 ,s as1 , as 2 , asn , ds .设有另一个方程b1 x1b2 x2bn xnd , b它 对 应 的 向 量 为b1 ,b2 ,bn , d . 就是1 ,2 ,s 的 线 性

31、 组 合 ，l11l 22l ss 当且仅当 bl 1 a1 l 2 a2 l s as ，即方程 b是方程 a1 , a2 , as 的线性组合 . 简洁验证，方程组 a1 , a2 , as 的解一定满意 b.进一步设方程组b11 x1 b21 x1b12 x2b22 x2b1n xn b2n xnc1 ,c2 ,b1 b 2 br 1 x1br 2 x2brn xncr , b r 它的方程所对应的向量为1 ,2 ,r . 如1 ,2 ,r 可经1 ,2 ,s 线性表出，就方程组 a1 , a2 , as 的解是方程组b1 , b2 , br 的解. 再进一步，当1 ,2 ,s 与1 ,

32、2 ,r 等价时，两个方程组同解.例 7 （1）设1 ,2 ,3 线性无关，证明1,12 ,123 也线性无关；对 n 个线性无关向量组1 ,2 ,n ，以上命题是否成立？（ 2 ） 当1 ,2 ,3 线 性 无 关 ， 证 明12 ,23 ,31 也 线 性 无 关 ， 当1 ,2 ,n 线性无关时，12 ,23 ,n 1n ,n1 是否也线性无关？例 8 设在向量组1 ,2 ,n 中， 10 且每个i 都不能表成它的前 i1 个向量1,2 ,i 1 的线性组合，证明1 ,2 ,n 线性无关 .§4矩阵的秩一、矩阵的秩假如把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组

33、成 的.同样，假如把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的.定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩 .例 1 设 a1131021400050000,1 ,2 ,3 ,4 记 a 的行向量 ,1234 记 a 的列向量 . 求 a 的行秩和列秩 .100110011解： a21 , 3 3 102140005000500000000,3 3 1 2 21 020411,1,1, 20,2,4, 0,0,5做 成 的 三 阶 子 式 不 为0,从 而,3,123线性无关 ,于是它的反向延长向量组1 ,2 ,3 也线性无关 .因40 ,

34、故41 ,2 ,3 ,4 线性相关 .a 的行向量组1,2 ,3 ,4 的极大无关组为1 ,2 ,3 .1110 ,22 ,440151做成的三阶子式不为0,从而1 ,2, 线性无关 ,于是它的反向延长向量组1 ,2,4 也线性无关 .1331221 0 ,7131222, 从 而 a 的 列 向 量 组1234 的极大无关组为1 ,2,4 .从而 a 的行秩a 的列秩 =3.矩阵 a 的行秩等于列秩，这点不是偶然的.引理 假如齐次线性方程组a11 x1 a 21 x1a12 x2a22 x2a1n xn0 ,a 2n xn0 ,（1）as1 x1a s 2 x2a sn xn0的系数矩阵a1

35、1aa 21a12 a 22a1n a 2n的行秩 rn ，那么它有非零解 .a s1a s2asn证明： 因 a 的行秩 = r , 不妨设1 ,2 ,r 是 a 的行向量组1 ,2 ,s 的极大无关组 , 就r 1 ,s 可由1 ,2 ,r 线性表示 , 从而1 齐次线性方程组a11 x1a21 x1a12 x2a22 x2a1 n xn0a2 n xn02ar 1 x1a r 2 x2asn xn0同解, 因2 的方程的个数 rn 未知量的个数 , 由定理 1, 2 有非 0 解., 从而1有非 0 解.因 a 的行向量是 n 维向量 , 所以必有 a 的行秩n , 引理的逆否命题 :如

36、（ 1）只有零解，就 rn .定理 4 矩阵的行秩与列秩相等 .a1 1a 1 2a n 1证明：设aa2 1a 2 2a n 2as1as 2asn不 妨 设1 ,r是 a 的 列 向 量 组1,2 ,s 的 极 大 无 关 组 , 就x11xrr0 仅有零解 ,即齐次线性方程组a11 x1a21 x1a12 x2a22 x2a1 r xr0a2 r xr02as1 x1as2 x2a sr xr0仅有零解 ,2的系数矩阵的 :行秩=列秩=未知量的个数 = r ，不妨设1a11 , a12 ,a1r ,rar 1 , ar 2 , arr 为系数矩阵的行向量的极大无关组 ,从而1 ,r 线性

37、无关 ,故它们的延长组 :1a11 , a12 , a1r , a1r 1, a1n ,rar 1 , ar 2 , arr, arr 1 , arn 也线性无关 ,从而 a 的行秩ra 的列秩 .平行的 ,从 a 的行向量组的极大无关组动身,可证 a 的列秩a 的行秩 , 从而a 的行秩a 的列秩 .由于行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.二、矩阵的秩与行列式的联系定理 5nn 矩阵a11 a 21aa12 a 22a1n a 2na n1an 2a nn的行列式为零的充要条件是a 的秩小于 n .（ a0r an ， a 也称为 满秩矩阵）证明: “”:设 r a < n ,就

38、a 的行向量线性无关 ,当 n1时,因一个向量线性相关0 ,故 a00 .当 n >1,a至 少 有 一 行 向 量 可 由 其 余 行 向 量 线 性 表 示 ,不 妨 设nk11kn 1n 1 ,作行初等变换 :rnk1r1 a11kn a121 rn 10 ,就a1naan 1,1an 1,20an 1,n000“”: 对 n 作数学归纳法,nr a =0<1.1 时,因 a0 , 知 a 仅有一个元素为0,故假设对 n1 结论成立 ,来看 n 的情形 ,如 a 的第 1 列元素全为 0,就 r a < n .如果 a 的第 1 列元素不全为 0,至少有一元素非零 ,不妨设a110 ,作行初等变换 ,ra212a11r1 ,rnan1r1 ,a11a110就a0a22an2a12a21a12a11an1 a12a11a2nanna1na21a1n a11a n1 a1na11a11a22 an 2a 2n,ann其中:0, a, a =a21,0, a, a =an1.222 n21a11n 2nnn1a11因 a0 ,a22 aan2a2nann0 ,由归纳假设r < n1 ,故