电磁场与电磁波课后习题与答案七章习题解答

1、电磁场与电磁波习题解答第七章 正弦电磁波7.1 求证在无界理想介质沿任意方向en ( en为单位矢量)传播的平面波可写成j( en r t)E Emeo解 Em为常矢量。在直角坐标中故则而故可见，已知的j( en rEmet)满足波动方程故E表示沿en方向传播的平面波。7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z方向传播的椭圆极化波的电场可表示为式中取显然，E和E分别表示沿+z方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。7.33.在自由空间中，已知电场E(z,t)叩0 sin( tz)V/m，试求磁场强度H(z,t)。解以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式这是一

2、个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90。与之相伴的磁场为1 A/m7.4 均匀平面波的磁场强度H的振幅为3，以相位常数30rad/m在空气中沿$e方向传播。当t= 0和z=0时，若H的取向为y，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式与之相伴的电场为由rad/m得波长和频率f分别为则磁场和电场分别为7.5一个在空气中沿(1 )求和在t 3ms时,ey方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为 0的位置；(2)写出E的瞬时表示式。1n83 10Hz107解(1)在t =3ms时，欲使 H=0,则要求 若取 n=0,解得 y=899992

3、.m。260mnrad/m rad/m 0.105rad /m30，故考虑到波长因此，t =3ms时，Ht=0的位置为0.2m。当该电磁波进入某理想介质后，波长r以及在该介质中的波速。(2)电场的瞬时表示式为7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为 变为0.09m。设r 1,试求理想介质的相对介电常数8解在自由空间，波的相速Vp0 c 3 10 m/s，故波的频率为 在理想介质中，波长0.09m，故波的相速为而10kHz、100kHz、1MHz7.7 海水的电导率4S/m，相对介电常数 r 81。求频率为10MHz 100MHz 1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。解先判定海水在

4、各频率下的属性可见，当f 10 Hz时，满足f=10kHz 时 f=100kHz时 f=1MHz时 f=10MHz 时1，海水可视为良导体。此时当f=100MHz以上时, f=100MHz时 f =1GHz 时1不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时,27.8 求证：电磁波在导电媒质传播时场量的衰减约为55dB/入。证明 在一定频率围将该导电媒质视为良导体，此时故场量的衰减因子为即场量的振幅经过 z =入的距离后衰减到起始值的0.002。用分贝表示。7.9 在自由空间中，一列平面波的相位常数00.524rad /m ,当该平面波进入到理想电介质后，其相位常数变为1.81rad /m。设r 1，求

5、理想电介质的r和波在电介质中的传播速度。解自由空间的相位常数1.81rad/s，故0 0 0，故在理想电介质中，相位常数电介质中的波速则为7.10 在自由空间中，某均匀平面波的波长为12cm；当该平面波进入到某无损耗媒质时，波长变为8cm,且已知此时的| E | 50V /m , | H | 0-1A / m。求该均匀平面波的频率以及无损耗媒质的r、 r。解自由空间中，波的相速 Vp在无损耗媒质中，波的相速为故83 10 m/s，故波的频率为2 108无损耗媒质中的波阻抗为| E|H|r 0501 r 00.1500联解式(1)和式(2),得7.11 一个频率为f=3GHz, e方向极化的均匀

6、平面波在r(1)(2)2.5 ,损耗正切tan10的非磁性媒质中沿(ex)方向传播。求:(1)波的振幅衰减一半时，传播的距离；（2 ）媒质的本征阻抗，波的波长和相速；（3 ）设在x=0处的Eey50si n(6109t -) V/m写出Hx,t）的表示式。解（1）2 f r 029193 109 2.510 936故而该媒质在f=3GHz时可视为弱导电媒质，故衰减常数为183 2.5107.14一圆极化波垂直入射到一介质板上，入射波电场为x 1 e由2得（2）对于弱导电媒质，本征阻抗为 而相位常数故波长和相速分别为（3）在 x=0 处，故则故4S / m）中沿+y方向传播,7.12 有一线极化

7、的均匀平面波在海水 （r 80, r 11 其磁场强度在y=0处为（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m 时的位置；（3）写出解 （1）可见，在角频率（2）由 0.01日y,t)和H(y,t)的表示式。4 36和90.181010 80 10 9101010100.1e480 0时，海水为一般有损耗媒质，故y即e y 0.1得H （y,t） ex0.1e 83.9y sin（1010 t 300 y ）A/m（3）3其复数形式为故电场的复数表示式为则7.13 在自由空间（z<0）沿+z方向传播的均匀平面波，垂直入射到z=0处的导体平

8、面上。导体的电导率61.7MS/ m， r 1。自由空间E波的频率f=1.5MHz，振幅为1V/m；在分界面（z=0）处，E由下式给出 对于z>0的区域，求H2（z,t）。704.4 10921.5 106 061.7 106可见，在f=1.5MHz的频率该导体可视为良导体。故 分界面上的透射系数为入射波电场的复数表示式可写为 则z>0区域的透射波电场的复数形式为 与之相伴的磁场为平面上(介质的1解0,120n0),求反射波和透射波的电场振幅。求反射波与透射波的电场，它们的极化情况又如何？解设媒质1为空气，其本征阻抗为0 ；介质板的本征阻抗为 2。故分界面上的反射系数和透射系数分别

9、为式中都是实数，故,也是实数。反射波的电场为可见，反射波的电场的两个分量的振幅仍相等，相位关系与入射波相比没有变化，故反射波仍然是圆极化波。但波的传播方向变为-z方向，故反射波也变为右旋圆极化波。而入射波是沿+z方向传播的左旋圆极化波。透射波的电场为式中，2 2 20 r2 0是媒质2中的相位常数。可见，透射波是沿 +z方向传播的左旋圆极化波。j o u7.15均匀平面波的电场振幅Em 100e V/m，从空气中垂直入射到无损耗的介质22(2)反射系数为透射系数为故反射波的电场振幅为透射波的电场振幅为7.16 最简单的天线罩是单层介质板。若已知介质板的介电常数2.8 0，问介质板的厚度应为多少

10、方可使频率为3GHz的电磁波垂直入射到介质板面时没有反射。当频率分别为3.1GHz及2.9GHz时，反射增大多少？题7.16图解 天线罩示意图如题 7.16图所示。介质板的本征阻抗为2，其左、右两侧媒质的本征阻抗分别为1和3。设均匀平面波从左侧垂直入射到介质板，此问题就成了均匀平面波 对多层媒质的垂直入射问题。设媒质1中的入射波电场只有 为而媒质1中的反射波电场为 与之相伴的磁场为故媒质1中的总电场和总磁场分别为x分量，则在题7.16图所示坐标下，入射波电场可表示E1已 E1exEm1e j 1(z d)e E ej 1(z d)x m1H1H1 H1eye11(zd)Em1 ej 1(z d

11、)1(1 )同样，可写出媒质E22中的总电场和总磁场exEm2e j 2zE2 E2exEm1eH2H 2 H2Em2j 2zEm2e eej 2Z媒质3中只有透射波E3ex Em3e(3)H3Em3j 3Zeye3通常已知入射波电场振幅Em1，而Em2、Em2、Em2和Em3为待求在式（1）、（ 2）、（ 3）中，量。利用两个分界面和上的四个边界条件方程即可确定它们。H3y。由式（2）和（3）得在分界面处，即Z = 0处，应有E2xE3x,H2yEm2 Em2Em31 1丄（Em2 Em2）丄 E2由式（4）可得出分界面上的反射系数Em2322 em232m33(4)(5)在分界面处，即z=

12、-d处，应有E1xEm1 Em1E m 2eEm2eE2xH1y2dEm2(ejH2y。由式(1 )2ej2d)和（2）得2d-(Em1 Em1)丄乍皿?"1 2Em2e j 2d)Em2 j 2d(e22e2d将分界面上的总电场与总磁场之比定义为等效波阻抗（或称总场波阻抗）,由式（(6)1) 得ef将式（6）代入式（7）Em1Em1丄(Em11得Eml)Em1 E£m1Em1(7)ef将式（5）代入式（8），efj2e2dej 2d2 尹2e j2d(8)并应用欧拉公式，得j j 3 tan 2d2 tan 2d(9)再由式（7）得分界面上的反射系数Em11ef 1ef

13、1(10)显然，若分界面上的等效波阻抗 无反射。ef等于媒质1的本征阻抗1，则0，即分界面上通常天线罩的、外都是空气，即由式（9）得2dn ,n欲使上式成立，必须频率f°=3GHz时 则当频率偏移到f1=3.1GHz时, 故 而故此时的等效波阻抗为1,2,3L。故应用相同的方法可导出分界面上的等效波阻反射系数为即频率偏移到3.1GHz时，反射将增大6%同样的方法可计算出频率下偏到仏 29GHz时，反射将增加约5%讨论（1） 上述分析方法可推广到 n层媒质的情况，通常是把坐标原点0选在最右侧的分界 面上较为方便。（2）应用前面导出的等效波阻抗公式（9），可以得出一种很有用的特殊情况（注

14、意：此时13）。d 取 4，则有 由式（9）得若取ef tanh 2d21 3，则此时，分界面上的反射系数为即电磁波从媒质1入射到分界面时，不产生反射。可见，厚度d2,4的介质板，当其本征阻抗2- 1 3时，有消除反射的作用。7.17 题7.17图所示隐身飞机的原理示意 图。在表示机身的理想导体表面覆盖一层厚度d33,4的理想介质膜，又在介质膜上涂一层厚度为d2的良导体材料。试确定消除电磁波从 良导体表面上反射的条件。解题7.17图中，区域（1）为空气，其波 阻抗为区域（2）为良导体，其波阻抗为区域（3）为理想介质，其波阻抗为区域（4）为理想导体（4），其波阻抗为利用题7.16导出的公式（9）

15、，分界面上 的等效波阻抗为2d2（3）(1)抗计算公式可得efef 2 tanh 2d2式中的2是良导体中波的传播常数，tanh 2d2为双曲正切函数。将ef代入式（1），得ef2tanh 2d2( 2)由于良导体涂层很薄，满足2d21，故可取tanh 2d22d2，则式（2）变为2ef分界面上的反射系数为可见，欲使区域（1）中无反射，必须使故由式（3）得2d22j45/ ej452 J e将良导体中的传播常数2 乂 2 2e 和波阻抗V代入式（4）,得3 .这样，只要取理想介质层的厚度 d3 34，而良导体涂层的厚度 d2 265 10 2 就可消除分界面上的反射波。即雷达发射的电磁波从空气

16、中投射到分界面时，不会产生回波，从而实现飞机隐身的目的。 此结果可作如下的物理解释： 由于电磁波在理想导体表面（即分界面上产生全反射，则在离该表面"4处（即分界面出现电场的波腹点。而该处放置了厚度为d2的良导体涂层，从而使电磁波大大损耗，故反射波就趋于零了。7.18 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质平面时，在自由空间形成驻波。 设驻波比为2.7，且介质平面上有驻波最小点；求介质的介电常数。解自由空间的总电场为 式中是分界面上的反射系数。驻波比的定义为得据此求得因介质平面上是驻波最小点，故应取反射系数得则7.19 如题7.19图所示，z>0区域的媒质介电常数为常数为1的介质板

17、。对于一个从左面垂直入射过来的d 142，在此媒质前置有厚度为TEM波，试证明当rd、介电时，没有反射（ 解媒质1中的波阻抗为为自由空间的波长）。(1)4时2(4)媒质2中的波阻抗为当r1 2时，由式（21（2）得1)和20(2)(3)而分界面O处（即zd 14、即处）的等效波阻抗为ef分界面O处的反射系数为efef 0(5)将式（3 ）和（4）代入式（5）,则得时，分界面 O上无反射。d 4的介质层称为匹配层。7.20 垂直放置在球坐标原点的某电流元所产生的远区场为 试求穿过r=1 000m的半球壳的平均功率。解将电场、磁场写成复数形式平均坡印廷矢量为故穿过r=1000m的半球壳的平均功率为

18、 式中dS为球坐标的面积元矢量，对积分有贡献是 故7.21在自由空间中，E ex150sin（ t z）V/m。试求z 0平面的边长为30mm和 15mm长方形面积的总功率。解 将已知的电场写成复数形式 得与E（z）相伴的磁场 故平均坡印廷矢量为2则穿过z=0平面上S 30 15mm的长方形面积的总功率为7.22 均匀平面波的电场强度为（1） 运用麦克斯韦方程求出H： （2）若该波在z=0处迁到一理想导体平面，求出z<0区域的E和H;（ 3）求理想导体上的电流密度。解（1）将已知的电场写成复数形式由 E j oH得写成瞬时值表示式（2）均匀平面波垂直入射到理想导体平面上会产生全反射，反射

19、波的电场为即z 0区域的反射波电场为 与之相伴的反射波磁场为 至此，即可求出z 0区域的总电场 E和总磁场H= 故同样故（3）理想导体平面上的电流密度为7.23 在自由空间中，一均匀平面波垂直投射到半无限大无损耗介质平面上。已知在平1面前的自由空间中，合成波的驻波比为3,无损耗介质透射波的波长是自由空间波长的6。试求介质的相对磁导率r和相对介电常数 r。解 在自由空间，入射波与反射波合成为驻波，驻波比为由此求出反射系数设在介质平面上得到驻波最小点，故取2。而反射系数为式中的1°120 ，则得求得又得r r 36(1)(2)7.24均匀平面波的电场强度为exlOej6z该波从空气垂直入

20、射到有损耗媒质（r 2.5,损耗角正切tan0.5)联解式（1）和（2 ）得2的分界面上（z=0），如题7.24图所示。（1）求反射波和透射波的电场和磁场的瞬时表示式；（2）求空气中及有损耗媒质中的时间平均坡印廷矢量。解（1）根据已知条件求得如下参数。在空气中（媒质1）在有损耗媒质中分界面上的反射系数为透射系数为故反射波的电场和磁场的复数表示式为则其瞬时表示式为而媒质2中的透射波电场和磁场为故其瞬时表示式为Sav1(2)SavSavReE2* I*H 尹EH 7.25一右旋圆极化波垂直入射到位于为z=0的理想导体板上,其电场强度的复数表示式（1）确定反射波的极化方式；（2）求导体板上的感应电流；（3）以余弦为基准，写出总电场强度的瞬时值表示式。解 （1）设反射波的电场强度为据理想导体的边界条件，在 z=0时应有故得则可见，反射波是一个沿z方向传播的左旋圆极化波。（2）入射波的磁场为反射波的磁场为故合成波的磁场为则导体板上的感应电流为（3）合成电场的复数表示式为故其瞬时表示式为7.26 如题7.26图所示，有一正弦均匀平面波由空气斜入射到z=0的理想导体平面上,其电场强度的复数表示式为（1）求波的频率和波长；（2）以余弦函数为基准，写出入射波电场和磁场的瞬时表示式；（3）确定入射角；（4）求反射波电场和磁场的复数