第三章傅里叶变换信号与系统GongpuWangBJTUv

1、Dr. Gongpu WangPh.D. from University of AlbertaAssociate Professor in Beijing Jiaotong UniversityEmail: 2第三章第三章 傅利叶变换傅利叶变换 3.33.3周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱傅里叶变换傅里叶变换 3.53.5典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换 3频域分析频域分析 从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这

2、方面的问题也称为傅里叶分基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解（分解为三角析（频域分析）。将信号进行正交分解（分解为三角函数或复指数函数的组合）。函数或复指数函数的组合）。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。调制和频分复用等重要概念。4发展历史发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学

3、家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理在研究热传导理论时发表了论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。到广泛应用。19世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一

4、系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。5主要内容主要内容 本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。叶变换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初

5、步掌握通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。6 一、三角函数形式的傅氏级数一、三角函数形式的傅氏级数 二、二、 指数函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数 三、两种傅氏级数的关系三、两种傅氏级数

6、的关系 四、频谱图四、频谱图 五、函数的对称性与傅里叶级数的关系五、函数的对称性与傅里叶级数的关系 六、周期信号的功率六、周期信号的功率 七、傅里叶有限级数与最小方均误差七、傅里叶有限级数与最小方均误差7一、三角函数形式的傅氏级数一、三角函数形式的傅氏级数1、三角函数集 是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集, t在一在一个周期内，个周期内，n=0,1,. 由积分可知由积分可知:0sincos2211dttmtnTTnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos2211nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin2211sin,cos11tntn8在满足在满足狄氏条件狄氏条件时，可

7、展成时，可展成直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2、级数形式 1112 , , TTtf 基基波波角角频频率率为为周周期期为为周周期期信信号号 sincos)(1110nnntnbtnaatf TttttfTa00d)(10 TttnttntfTa00dcos)(21 TttnttntfTb00dsin)(21 93、其他形式、其他形式余弦形式余弦形式00ac 22nnnbac nnnab1tg nnnca cos nnncb sin 2 cos)(110 nnntncctf 10狄利克雷（狄

8、利克雷（DirichletDirichlet）条件条件条件条件3 3: :在一周期内，信号绝对可积在一周期内，信号绝对可积; ;条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；限个；并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。被展开并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。被展开的函数的函数f f（t t）需要满足如下的一组充分条件，这组条需要满足如下的一组充分条件，这组条件被称为件被称为“狄利克雷（Dirichlet）条件”：条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有

9、限个。11间断点的数目有限间断点的数目有限12绝对可积绝对可积13幅度频率特性和相位频率特性幅度频率特性和相位频率特性关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为幅度频谱图关系曲线称为相位频谱图关系曲线称为相位频谱图可画出频谱图可画出频谱图周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性 的线性组合的线性组合基波角频率的整数倍）基波角频率的整数倍）（）和各次谐波）和各次谐波，基波（，基波（周期信号可分解为直流周期信号可分解为直流:11 n nc n14二、指数函数形式的傅氏级数二、指数函数形式的傅氏级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集2 2级数形式级数形式3 3系数系数

10、 2, 1, 0 1j netn )()(1j1tnnenFtf d)(1)(110j1TtnntetfTnFF 的的线线性性组组合合。区区间间上上的的指指数数信信号号周周期期信信号号可可分分解解为为tne1j, 变换对。唯一确定，两式是一对，则如给出tfnF)(115三两种系数之间的关系及频谱图三两种系数之间的关系及频谱图 TtntetfTnF0j1d)(1)(1 TTttntfTttntfT0101dsin)(1jdcos)(1 nnjba 21 TTttntfTttntfTnF01011dsin)(1jdcos)(1)( nnbaj21 nenFnF j11)( 是复数是复数)(),(1

11、1 nFnF 16幅频特性和相频特性幅频特性和相频特性相频特性相频特性幅频特性幅频特性nnncbanF2121)(221 nnnab1tg 的奇函数的奇函数关于关于的偶函数的偶函数关于关于取正值）取正值）的奇函数（实际的奇函数（实际关于关于取正值）取正值）的偶函数（实际的偶函数（实际关于关于 )( 11nnFnbnann17 四、频谱图四、频谱图1 13 nc0c1c3cO1 13 n O幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱曲线曲线或或 nnFc曲线曲线 n18总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（2）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离

12、散谱，三个性质（3）引入负频率）引入负频率 1110sincos)(nnntnbtnaatf = 110)cos(nnntncc tnnenFtf1j1)()( 的谱线唯一唯一性：处现在（离散性），频率只出谐波性：收敛性：)(,11tfnnFn 的实函数的性质不变。，才能保证和数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指)(11jjtfeetfnn19五、五、函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系 1偶函数0n信号波形相对于纵轴是对称的信号波形相对于纵轴是对称的)()(tftf0 nb 2010dcos)(4TnttntfTa nnnnajbanFF2121)(1 为为实实函函数

13、数。项项。项项，只只含含直直流流项项和和余余弦弦傅傅里里叶叶级级数数中中不不含含正正弦弦)(1 nF)(tfOtTET 20 2奇函数)()(tftf对称的：波形相对于纵坐标是反为虚函数。为虚函数。量，量，傅里叶级数中无余弦分傅里叶级数中无余弦分)(1 nF 0= d)(1 220 TTttfTa0dcos)(2221 TTnttntfTa TnttntfTb01dsin)(2 nnnnjbjbanFF2121)(1 )(tfOtTT 11 21六、六、周期信号的功率周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现体现;表明：周期信号平均功率表

14、明：周期信号平均功率=直流、基波及各次直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的也就是说，时域和频域的能量是守恒的.TttfTP02d)(1 绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示 各次各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谐波的平均功率随频率分布的情况，称为功率谱系数。谱系数。2nFnnnnnFbaa21222021|2nF22七、傅里叶有限级数与最小方均误差七、傅里叶有限级数与最小方均误差 1110sincosnnntnbtnaatf)() 12(tfN项来逼近取前NnnnNtnbtnaaS1110sincos NNStft)

15、(100d)(1)(212TttNNNttTtENnnnNNbaatftE122202221)(误差函数方均误差23周期信号的频谱与功率谱周期信号的频谱与功率谱主要内容:本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：频谱的特点，主要讨论：频谱的特点，频谱结构，频谱结构， 频带宽度，能量分布。频带宽度，能量分布。24周期矩形脉冲信号的频谱周期矩形脉冲信号的频谱)(tf2/ 2/ t1T1T E1TE周期为周期为脉冲高度为脉冲高度为脉宽为脉宽为 nnaab, 00只有偶函数偶函数1三角形式的谱系数2指数形式的谱系数 2Sa11 nTE 2211111d)(1)(TT

16、tjntetfTnF 25指数形式的谱系数指数形式的谱系数 推导过程推导过程2211221111d1 = tjntjnejnTEtEeT 221111 jnjneeTjnE2sin2111 nTnE 22sin111 nnTE 2Sa11 nTE 2211111d)(1)(TTtjntetfTnF 263频谱及其特点 2Sa111 nTEnF 5 T图中图中)(1 nF O1TE 1时时取取值值当当 n 。处处，为为其其最最大大值值在在10 )2(TEn 相相位位数数），幅幅度度函函是是复复函函数数（此此处处为为实实）（/)(51 nF 2)4 第第一一个个零零点点坐坐标标：（ 22令令 。相

17、位为相位为，相位为，相位为 000nnFF(1)(1)包络线形状：抽样函数包络线形状：抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性） 21 12 27矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性，谐波性，收敛性离散性，谐波性，收敛性 1112TT 谱谱线线间间隔隔幅幅度度 非非周周期期信信号号。由由周周期期信信号号为为无无限限小小，时时，当当 tfTET1110 28第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。 )

18、(1 nF O1TE 21 12 21212121432 FFFF2181. 0E 21212121254320 FFFFFPn nTnFdttfTP2102)(1 20212 . 0)(11EdttfTT %5 .905 ppn次次谐谐波波为为例例，取取前前以以 5 41,2011sTs 29在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。信号来表示，此频率范围称为频带宽度。频带宽度对于一般周期信号，将幅度下降为对于一般周期信号，将幅度下降为 的的频率区间定义为频带宽度。频率区间定义为频带宽度。 max1101

19、nF一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： ，带宽与脉宽成反比。，带宽与脉宽成反比。或或 12 fBB语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号 5015,000Hz，扩大器与扬声器扩大器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。系统的通频带信号的带宽，才能不失真max1| )(|101nF303.4 3.4 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 傅里叶变换傅里叶变换 傅里叶变换傅里叶变换 傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件主要内容:一傅里叶变换：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号连续

20、谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱. 引出 1T0再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。引入频谱密度函数。 1 nF0)(tf 22j11111d)(1)(TTtntetfTnF 谱系数谱系数11 2 T 谱线间隔谱线间隔32 0)( , 0111 nFTf 22j11111d)(1)(TTtntetfTnF 11lim1nFTFT 22j1111d)(limTTtnTtetf 连连续续， 111dnnfnFTnFnFT111111时，时，当当 1T 有界函数有界函数

21、fnF1 tetftd)(j33傅里叶变换对傅里叶变换对)(d)()(jtfFtetfFt FFeFtft1jd21)( Ftf 简简写写练习:)(tF求34二二傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。 绝对可积绝对可积即即tf )( d充分条件充分条件有限值有限值 ttf 型型大大大大扩扩展展了了。变变换换的的函函数数类类函函数数的的概概念念后后，允允许许作作当当引引入入 35 矩形脉冲矩形脉冲 单边指数信号单边指数信号 直流信号直流信号 符号函数符号函数 升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号36一矩形脉冲信号E0 tft2 2 22jd tEeF

22、t22jj teEj2.222jj eeE 22sin E 2Sa E 2Sa EF , 2 , 1 , 022212212240 nnnnn 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：37频谱图频谱图 F E 2O 4 2 20 4 2 F E 2O 4 2 幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱 12 fBB或或 2Sa EF 频宽：频宽：38二单边指数信号二单边指数信号 dtetuEetfFtt j)(F 0 000ttEetft jd0j EtEet tfOtE39频谱图幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： 22 EF 0, 0 FEF 1tg 2,2,0, 0 F0 E 0 2 2 40

23、三直流信号三直流信号 tEtf,)(0Et tftO tf1 E EE2)(F不能直接用定义求不满足绝对可积条件，41 teEFtdjlim jjlimteE jjjlim eeE sin2lim E sin2lim E E2 O E 2 F EE2推导推导时域无限宽，频带无限窄时域无限宽，频带无限窄 )(Salim 42处理方法：处理方法：t11 )sgn(tO 0j0j1ddteeteeFtttt 222jj1j1 j22j22010limlim FFtete 0, 10, 1sgn)(ttttf)(),(,)sgn()(1| |1FFettft求极限得到求做一个双边函数：四符号函数四符号

24、函数43频谱图O 2 2 2 )( FO 2j22jj2sgn et 是偶函数是偶函数 F 是奇函数是奇函数 222F 0, 2/0 , 2/02tg1 44五升余弦脉冲信号五升余弦脉冲信号OtE tf 2E2 2 ttEtf0 cos12 tetfFtdj t etEtdcos12j teeEteeEteEtttttd4d4d2jjjjjSaSaSa22EEE45频谱图频谱图O F E 2 E 2 3 4 221Sa1sin EEF其频谱比矩形脉冲更集中。其频谱比矩形脉冲更集中。 463.53.5冲激函数和阶跃函数冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换的傅里叶变换冲激函数冲激函数的傅里叶变换冲激偶冲

25、激偶的傅里叶变换单位阶跃函数单位阶跃函数的傅里叶变换主要内容:47一一冲激函数冲激函数的傅里叶变换的傅里叶变换冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。不满足绝对可积条件，不能用定义求。 tetFtd)(j tO 1 tf F1 O48 比较1)(t 21)(tO 1 tf F1 OO 1 F t tf 21O49二冲激偶的傅里叶变换二冲激偶的傅里叶变换 0dftttf jj d0jj tttetettF50三单位阶跃函数 ttusgn2121 0t210t2121 tsgn210t1 tu 21 j1sgn21t j

26、1)(tu0 0 0 F 51对称性质对称性质 线性性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性时移特性频移特性 微分性质时域积分性质微分性质时域积分性质52意义意义 傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：的性质，目的在于：(1)了解特性的内在联系；了解特性的内在联系；(2)利用性质求利用性质求F()；(3)了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。53一对称性质一对称性

27、质1 1性质性质2 2意义意义)()( Ftf若若 ftF2则则 ftF2则则 tFtF )()(相同，相同，形状与形状与若若 2, )(幅度差幅度差形状相同，形状相同，的频谱函数形状与的频谱函数形状与则则ttftF 为偶函数为偶函数若若tf , 1t 21tF3 3例题例题54二线性性质二线性性质1 1性质性质2 2例题例题)()(, )()(2211 FtfFtf若若为为常常数数则则2122112211,)()()()(ccFcFctfctfc jF1 tu tsgn212155三奇偶虚实性三奇偶虚实性 )(d)()(j FtetftfFt )(d)(d)()(jj Fueuftetftf

28、Fut)()()()(FtfFtf，则若由定义可以得到：证明：证明：dtetfFtj)()(实函数傅里叶变换的幅度谱为偶函数 相位谱为奇函数)()()(FtfFtf均有为实函数或者复函数，无论56 tetfFtd)()(j tttftttfdsinjdcos tttfXtttfRdsindcos FF FtfF已知已知 FtfF当当f(t)是实函数时，是实函数时， RR 的的偶偶函函数数关关于于 XX的的奇奇函函数数关关于于 57四尺度变换性质四尺度变换性质 为为非非零零函函数数则则若若aaFaatfFtf,1),()( 意义意义(1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。

29、FFtftfa , 1 )3(58(1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 ot4 4 tf 2Eo 2 E 4 221 F 460)()(j)(* FXR 为奇函数为奇函数为偶函数为偶函数 XR ,)(j)()( XRF 共轭共轭为实函数时为实函数时当当 *,FFtf * , 1 )3(FFFtftfa 61五五时移特性时移特性)()(FtfF如果0)()(0tjeFttfF那么0)()(0tjeFttfF那么)()(FtfF如果62时移特性的证明（1）dtettfttfFtj)()(00证明：)()(FtfF如果0)()(0tjeFttfF那么dxtxddttxttt

30、x)(,000那么令63时移特性的证明（2）dtettfttfFtj)()(00dxexftxj)(0)(dxeexftjxj0)(dxexfexjtj)(0)(0Fetj0)()(0tjeFttfF同理证明：64时移特性的物理意义时移特性的物理意义信号沿着时间轴右移 ，就是延时 ，那么它的频谱乘以因子 ，幅度谱不变， 相位产生附加变化。 0t0t0tje| )(| )(|)(|00FeFeFtjtj)()()(jeFF0)(j0)()(teFttf)()(FtfF如果0)()(0tjeFttfF那么65时移特性 例题 解 1)(t）的傅里叶变换（求2t201)2(jet)(tt|)(|F)(

31、信号幅度谱相位谱66时移特性 例题1)(t201)2(jet)(tt|)(|F)(信号幅度谱相位谱)(tt2|)(|F)(2167时移加尺度变换 )()(FtfF如果abeaFabatfj1那么abxtbatxaa/ )(,00有令两种情况，和提示：分68六频移特性 )()(FtfF如果)()(00 FetfFtj那么)()(FtfF如果)()(00FetfFtj那么69频移特性的证明dtetftfFFtj)()()(dtetfFtj)(00)()(dteetftjtj0)(dteetftjtj)(0)(0tjetfF70频移特性频移特性物理意义：物理意义： 频谱搬移频谱搬移 )( FO0j,

32、)(0左移频域频谱搬移乘时域tetf0j,)(0右移频域频谱搬移乘时域tetf0 )(0 F0 O )(0 F0 71频移特性频移特性 例题例题t)(tGo2 2 E矩矩形形脉脉冲冲信信号号的的波波形形 G E 2O 4 2 为的频谱已知矩形脉冲GtG 2SaEG 的频谱求矩形调幅信号ttGtf0cos ，宽度为为为矩形脉冲，脉冲幅度EtG72 t tfo2 2 E矩矩形形调调幅幅信信号号的的波波形形 tteetGtf00jj21 ttGtf0cos矩形调幅信号 为频谱根据频移性质，Ftf 002121GGF0二，向左、右各平移将包络线的频谱一分为 20 0 O0 2 E F矩矩形形调调幅幅信

33、信号号的的频频谱谱73思考：思考： 2Sa22Sa2 21210000EEGGF 20 0 O0 2 E F矩矩形形调调幅幅信信号号的的频频谱谱 的频谱又会如何？那么已知，矩形调幅信号)cos()(cos00ttfttGtf74引申引申)(21)cos(000tjtjeet根据频移特性：)()(21)cos()(000FFttfF)()(2)sin()(000FFjttfF)sin()cos()(00tttf或者乘以所谓载频信号将信号频谱搬移实现的原理：75 )(F)(F121276七微分性质七微分性质时域微分性质时域微分性质频域微分性质频域微分性质)(j)()()( FtfFtf ，则，则)

34、,()( Ftf若若 djd)(Fttf则则 dd)(Ftjtf nnnFtfjt dd)( 或或 nnnFtftj)(771 时域微分时域微分)(j)()()( FtfFtf ，则，则 )(j )( Ftfnn一般情况下一般情况下 :)(j)( FtfF 090j ,相相位位增增加加幅幅度度乘乘 nntfFFj)()(则)()(tfFn若已知)( tF求练习：练习：78注意注意如果如果f(t)中有确定的中有确定的直流分量直流分量，应先取出单独求傅里叶，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。变换，余下部分再用微分性质。 j1t j1)(, 1t),sgn(2121)()( 21t22

35、22 utftftfttutfFu微微分分余余下下部部分分直直流流1ot tu79求三角函数的频谱密度函数求三角函数的频谱密度函数o tft2 2 Eo F2 E 4 4 o tft2 2 E方波方波三角形函数三角形函数求导求导 o tf t2 2 E2冲激函数冲激函数方波方波求导求导 o tf t2 2 E2 E2 E4分析：分析：80 FF22j 2j2j22421 eEEeEF tetEtEtEtfFtd22422j 2j2j2221 eeE2224j4j24sinj222 EeeE222224Sa2444sin8 EE2j2j242eEEeE解：解：812 2频域微分性质频域微分性质)

36、,()( Ftf若若 djd)(Fttf则则 dd)(jFttf 或或 nnnFtft dd)(j nnnFtftj)(或或推广推广 tftF2 ？，求，求已知已知 tftFFtf2)()( FF2ddj tfttfF2 解：解：例题：例题：82八时域积分性质八时域积分性质 ，则，则若若 Ftf jd00FfFt 时，时， j0d00FFfFt 时，时， )(j1)( F也可以记作：也可以记作： 求单位阶跃函数的傅里叶变换求单位阶跃函数的傅里叶变换解：解：例题：例题： ttttud)()( 已知已知1)(t)(j11)(j1)(tu则83时域卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积

37、时域卷积对应频域频谱密度函数乘积频域卷积定理频域卷积定理 2211, FtfFtf若若 2121 FFtftf 则则 2211, FtfFtf若 212121 FFtftf 则则倍。倍。各频谱函数卷积的各频谱函数卷积的时间函数的乘积时间函数的乘积 21 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。系统和信号处理研究领域中得到大量应用。84卷积定理的应用卷积定理的应用求系统的响应求系统的响应将时域求响应，转化为频域求响应将时域求响应，转化为频域求响应 tf th tg thtftg GFtgHFG185 . 2

38、Sa)(111 FtftftfEtf频谱密度函数频谱密度函数的的，求，求已知已知 2Sa22211 EFFtfF解：解：例题：例题：用时域卷积定理求频谱密度函数用时域卷积定理求频谱密度函数t)(1tfO2 2 E 1F E 20 4 2 o F22 E 2 2 t tftf11 2EO 86 。或者说最低抽样率为，即其抽样间隔必须不大于唯一地表示。可用等间隔的抽样值来的范围，则信号，若频谱只占据一个频带受限的信号mmmmsmmmfffTftftf222121)(tfS(t)oTSoSFST1mSSmStf(t)ooF1mm87奈奎斯特奈奎斯特( (Nyquist) ) 抽样率和抽样间隔抽样率和

39、抽样间隔重建原信号的必要条件：重建原信号的必要条件：不满足此条件，就要发生频谱混叠现象不满足此条件，就要发生频谱混叠现象mmsssffT 22222 msmsfTff21,2 或或抽抽样样间间隔隔是是必必要要条条件件抽抽样样频频率率即即隔”称为“奈奎斯特抽样间是最大抽样间隔 , 21msfT 特特抽抽样样频频率率”称称为为“奈奈奎奎斯斯是是最最低低允允许许的的抽抽样样频频率率 , 2 msff 88例如音频信号：例如音频信号：0 03.4KHz3.4KHz，,2KHz,4 . 3msmfff ,21Hz,6800maxminmssfTf sTfss 12580001 Hz,8000 则则若若取

40、取举例：举例：例题：例题： 确定Sa(100t)信号的奈奎斯特抽样率。89傅里叶变换分析法傅里叶变换分析法 线性时不变系统的模型：)()( )( )()( )( 012012txbtxbtxbtyatyatya 两边取傅里叶变换：)()(),()(XtxYty)()()()()()()()()()(01220122XbXjbXjbYaYjaYja90系统函数系统函数H(w) H(w)称为系统的系统函数，也称为频率响应特性。01220122)()()()()()(ajajabjbjbXY)()()()()()()()()()(01220122XbXjbXjbYaYjaYja01220122)()()()()()()(ajajabjbjbXYH91系统函数系统函数H(w) H(w)称为系统的系统函数，也称为频率响应特性。 它只与系统本身的特性有关，而与激励无关，因而是表征系统特性的一个重要参数。01220122)()()()()()()(ajajabjbjbXYH92H(w)和和h(t)()(,)()(thtyttx时)()(, 1)(HYX这时)()(),()(HthYty所以因为的傅里叶变换。是系统冲激响应系统函数)()(thH9